Каким свойством обладает график четной функции и график нечетной функции

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется четной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=f(x)).

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется нечетной, если при всех (x) из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x)).

(blacktriangleright) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если (f(x)) — четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin
mathbb{R})) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0).

(blacktriangleright) Функция (f(x)) называется периодической на (X), если для некоторого числа (Tne 0) выполнено (f(x)=f(x+T)), где (x,
x+Tin X). Наименьшее (T), для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

(blacktriangleright) Область определения (D(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений аргумента (x), при которых функция имеет смысл (определена).

(blacktriangleright) Область значений (E(f)) функции (f(x)) — это множество, состоящее из всех значений функции (f(a)), где (ain
D(f)).

(blacktriangleright) Если область значений функции (f(x)) не превышает некоторого числа (A), т.е. (f(x)leq A) при всех (xin
D(f)), а функция (g(x)geq A) при всех (xin D(g)), то уравнение [{large{f(x)=g(x)}} Leftrightarrow begin{cases} f(x)=A\g(x)=Aend{cases}]

Заметим, что так как (x^2) и (cos x) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0), оно также будет иметь и корень (-x_0).
Действительно, пусть (x_0) – корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm{tg},(cos x_0)+a^2=0) верно. Подставим (-x_0): (2
(-x_0)^2+amathrm{tg},(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm{tg},(cos
x_0)+a^2=0).

Таким образом, если (x_0ne 0), то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0). Тогда:

[2cdot 0+amathrm{tg},(cos 0)+a^2=0 quad Rightarrow quad
a^2+amathrm{tg},1=0 quad Rightarrow quad left[
begin{gathered}begin{aligned}
&a=0\
&a=-mathrm{tg},1 end{aligned} end{gathered}right.]

Мы получили два значения параметра (a). Заметим, что мы использовали то, что (x=0) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a) в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a) корень (x=0) действительно будет единственным.

1) Если (a=0), то уравнение примет вид (2x^2=0). Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0). Следовательно, значение (a=0) нам подходит.

Ответ:

(ain {-mathrm{tg},1;0})

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x)) для любого (x) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin{aligned}
&3mathrm{tg},left(-dfrac{ax}5right)+2sin dfrac{8pi a+3x}4=
-left(3mathrm{tg},left(dfrac{ax}5right)+2sin dfrac{8pi
a-3x}4right)quad Rightarrowquad -3mathrm{tg},dfrac{ax}5+2sin
dfrac{8pi a+3x}4=
-left(3mathrm{tg},left(dfrac{ax}5right)+2sin dfrac{8pi
a-3x}4right) quad Rightarrow\[3ex]
Rightarrowquad &sin dfrac{8pi a+3x}4+sin dfrac{8pi a-3x}4=0
quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac{8pi
a+3x}4+dfrac{8pi a-3x}4right)cdot cos dfrac12
left(dfrac{8pi a+3x}4-dfrac{8pi a-3x}4right)=0 quad
Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0
end{aligned}]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x) из области определения (f(x)), следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow
a=dfrac n2, ninmathbb{Z}).

Ответ:

(dfrac n2, ninmathbb{Z})

Так как (f(x)) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при (-dfrac83leqslant
xleqslant 0) (f(x)=ax^2). Таким образом, при (-dfrac83leqslant
xleqslant dfrac83), а это отрезок длиной (dfrac{16}3), функция (f(x)=ax^2).

1) Пусть (a>0). Тогда график функции (f(x)) будет выглядеть следующим образом:

Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график (g(x)=|a+2|cdot sqrt[3]x) проходил через точку (A):

Следовательно, [dfrac{64}9a=|a+2|cdot sqrt[3]8 quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} &9(a+2)=32a\
&9(a+2)=-32a end{aligned} end{gathered}right.
quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} &a=dfrac{18}{23}\[2ex]
&a=-dfrac{18}{41} end{aligned} end{gathered}right.] Так как (a>0), то подходит (a=dfrac{18}{23}).

2) Пусть (a<0). Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Нужно, чтобы график (g(x)) прошел через точку (B): [dfrac{64}9a=|a+2|cdot sqrt[3]{-8} quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} &a=dfrac{18}{23}\[2ex]
&a=-dfrac{18}{41} end{aligned} end{gathered}right.] Так как (a<0), то подходит (a=-dfrac{18}{41}).

3) Случай, когда (a=0), не подходит, так как тогда (f(x)=0) при всех (x), (g(x)=2sqrt[3]x) и уравнение будет иметь только 1 корень.

Ответ:

(ain left{-dfrac{18}{41};dfrac{18}{23}right})

Ответ:

(ain {-7}cup[14-7sqrt3;14+7sqrt3])

Сделаем замену ((sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t), (t>0). Тогда уравнение примет вид [t^2+(a-10)t+12-a=0quad (*)] Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*)) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*)) имеет два различных решения (положительных!, так как (t) должно быть больше нуля) (t_1) и (t_2), то, сделав обратную замену, мы получим: [left[begin{gathered}begin{aligned}
&(sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_1\[2ex]
&(sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_2end{aligned}end{gathered}right.] Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2) в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^{log_{sqrt2} t_1}), то первое уравнение совокупности перепишется в виде [x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t_1] Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*)) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*)) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение ((*)) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: [D=a^2-16a+52>0quadLeftrightarrowquad
ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0)). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin{cases} 12-a>0\-(a-10)>0end{cases}quadLeftrightarrowquad a<10]

Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня (t_1) и (t_2).

3) Давайте посмотрим на такое уравнение [x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t] При каких (t) оно будет иметь три различных решения?
Рассмотрим функцию (f(x)=x^3-3x^2+4).
Можно разложить на множители: [x^3-3x^2+4=x^3+x^2-4x^2+4=x^2(x+1)-4(x+1)(x-1)=(x+1)(x-2)^2] Следовательно, ее нули: (x=-1;2).
Если найти производную (f'(x)=3x^2-6x), то мы получим две точки экстремума (x_{max}=0, x_{min}=2).
Следовательно, график выглядит так:

Мы видим, что любая горизонтальная прямая (y=k), где (0<k<4), пересекает график в трех точках. При всех остальных значениях (k) будет меньше трех точек пересечения. Следовательно, для того, чтобы уравнение (x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t) имело три различных решения, нужно, чтобы (0<log_ {sqrt2}t<4).
Таким образом, нужно: [begin{cases} 0<log_{sqrt2}t_1<4\ 0<log_{sqrt2}t_2<4end{cases}qquad (**)] Давайте также сразу заметим, что если числа (t_1) и (t_2) различны, то и числа (log_{sqrt2}t_1) и (log_{sqrt2}t_2) будут различны, значит, и уравнения (x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t_1) и (x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t_2) будут иметь несовпадающие между собой корни.
Систему ((**)) можно переписать так: [begin{cases} 1<t_1<4\
1<t_2<4end{cases}]

Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения ((*)) должны лежать в интервале ((1;4)). Как записать это условие?
В явном виде выписывать корни мы не будем.
Рассмотрим функцию (g(t)=t^2+(a-10)t+12-a). Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале ((1;4))? Так:

Во-первых, значения (g(1)) и (g(4)) функции в точках (1) и (4) должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы (t_0) должна также находиться в интервале ((1;4)). Следовательно, можно записать систему: [begin{cases}
1+a-10+12-a>0\[1ex]
4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0\[2ex]
1<dfrac{-(a-10)}2<4end{cases}quadLeftrightarrowquad 4<a<8]

Таким образом, нам нужно пересечь значения параметра (a), найденные в 1-ом, 2-ом и 3-ем пунктах, и мы получим ответ: [begin{cases} ain (-infty;8-2sqrt3)cup(8+2sqrt3;+infty)\ a<10\
4<a<8end{cases}quadLeftrightarrowquad 4<a<8-2sqrt3]

Ответ:

((4;8-2sqrt3))

Заметим, что данное уравнение при любых значениях (a) всегда имеет как минимум один корень (x=0). Значит, для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение [25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)=0 qquad (*)]

имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с (x=0) арифметическую прогрессию.

Заметим, что функция (y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)) является четной, значит, если (x_0) является корнем уравнения ((*)), то и (-x_0) будет являться его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями этого уравнения были упорядоченные по возрастанию числа: (-2d, -d, d, 2d) (тогда (d>0)). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью (d)).

Чтобы этими корнями являлись числа (-2d, -d, d, 2d), нужно, чтобы числа (d^{,2}, 4d^{,2}) являлись корнями уравнения (25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0). Тогда по теореме Виета:

[begin{cases}
-dfrac{4(a-7)}{25}=d^{,2}cdot 4d^{,2}\[4pt]
-dfrac{25(a-1)}{25}=d^{,2}+4d^{,2}
end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
d^{,4}=dfrac{7-a}{25}\
dfrac{7-a}{25}=left(dfrac{1-a}{5}right)^2
end{cases} quad Rightarrow quad
left[begin{gathered}begin{aligned} &a=-2\&a=3
end{aligned} end{gathered} right.]

Причем при (a=-2) (d=pm sqrt{frac35}), а при (a=3) (din
varnothing). Значит, подходит значение (a=-2) и (d=sqrt{frac35}) (т.к. должно быть (d>0)).

Ответ:

(ain {-2})

Ответ:

(ain {-2}cup[22-4sqrt{30};22+4sqrt{30}])