Каким свойством обладает колебательное движение
Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, качелей, маятника часов, крыльев насекомых во время полёта и многих других тел.
В движении этих тел можно найти много различий. Например, качели движутся криволинейно, а игла швейной машины — прямолинейно; маятник часов колеблется с большим размахом, чем крылья стрекозы. За одно и то же время одни тела могут совершать большее число колебаний, чем другие.
Но при всём разнообразии этих движений у них есть важная общая черта: через определённый промежуток времени движение любого тела повторяется.
Действительно, если шарик отвести от положения равновесия и отпустить, то он, пройдя через положение равновесия, отклонится в противоположную сторону, остановится, а затем вернётся к месту начала движения. За этим колебанием последует второе, третье и т. д., похожие на первое.
Промежуток времени, через который движение повторяется, называется периодом колебаний.
Поэтому говорят, что колебательное движение периодично.
В движении колеблющихся тел кроме периодичности есть ещё одна общая черта.
Обрати внимание!
За промежуток времени, равный периоду колебаний, любое тело дважды проходит через положение равновесия (двигаясь в противоположных направлениях).
Повторяющиеся через равные промежутки времени движения, при которых тело многократно и в разных направлениях проходит положение равновесия, называются механическими колебаниями.
Под действием сил, возвращающих тело в положение равновесия, тело может совершать колебания как бы само по себе. Первоначально эти силы возникают благодаря совершению над телом некоторой работы (растяжению пружины, поднятию на высоту и т. п.), что приводит к сообщению телу некоторого запаса энергии. За счёт этой энергии и происходят колебания.
Пример:
чтобы заставить качели совершать колебательные движения, нужно сначала вывести их из положения равновесия, оттолкнувшись ногами, либо сделать это руками.
Колебания, происходящие благодаря только начальному запасу энергии колеблющегося тела при отсутствии внешних воздействий на него, называются свободными колебаниями.
Пример:
примером свободных колебаний тела являются колебания груза, подвешенного на пружине. Первоначально выведенный из равновесия внешними силами груз в дальнейшем будет колебаться только за счёт внутренних сил системы «груз-пружина» — силы тяжести и силы упругости.
Условия возникновения свободных колебаний в системе:
а) система должна находиться в положении устойчивого равновесия: при отклонении системы от положения равновесия должна возникать сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия — возвращающая сила;
б) наличие у системы избыточной механической энергии по сравнению с её энергией в положении равновесия;
в) избыточная энергия, полученная системой при смещении её из положения равновесия, не должна быть полностью израсходована на преодоление сил трения при возвращении в положение равновесия, т. е. силы трения в системе должны быть достаточно малы.
Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая получила название колебательной системы.
Системы тел, которые способны совершать свободные колебания, называются колебательными системами.
Одно из основных общих свойств всех колебательных систем заключается в возникновении в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия.
Пример:
в случае колебаний шарика на нити шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити. Их равнодействующая направлена к положению равновесия.
Колебательные системы — довольно широкое понятие, применимое к разнообразным явлениям.
Частным случаем колебательных систем являются маятники.
Маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил
колебания около неподвижной точки или вокруг оси.
Пример:
груз, подвешенный на пружине и совершающий колебательные движения по вертикали под действием сил упругости, называется пружинным маятником.
Источники:
Физика. 9 кл.: учебник / Перышкин А. В., Гутник Е. М. — М.: Дрофа, 2014. — 319 с.
www.fizmat.by, сайт «Подготовка к ЦТ (ЕГЭ), задачи по физике и математике»
www.gavewrites.com
www.netnado.ru
www.astersoft.net, сайт «Умные программы для умных детей»
www.m.gifmania.ru
www.playcast.ru
www.litsait.ru
www.ru.solverbook.com
Источник
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.
Колебания – это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.
Колебания механических систем, или механические колебания – это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.
Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия – это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.
Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.
Амплитуда колебаний тела – это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.
Период колебаний – это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.
Частота колебаний – это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.
Гармонические колебания.
Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.
Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них – синус и косинус – являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.
Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.
Гармонические колебания – это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
(1)
Выясним смысл входящих в эту формулу величин.
Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому – амплитуда колебаний.
Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .
Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда
(2)
(3)
Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):
.
График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.
 |
| Рис. 1. График гармонических колебаний |
Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.
Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:
.
График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.
 |
| Рис. 2. Закон косинуса |
Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:
.
График колебаний представлен на рис. 3.
 |
| Рис. 3. Закон синуса |
Уравнение гармонических колебаний.
Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:
. (4)
Теперь дифференцируем полученное равенство (4):
. (5)
Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
. (6)
Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
. (7)
C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:
-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;
-никакая другая функция решением данного уравнения не является.
Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий – по начальным значениям координаты и скорости.
Пружинный маятник.
Пружинный маятник – это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.
Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.
Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .
Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.
 |
| Рис. 4. Пружинный маятник |
В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:
. (8)
Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:
Тогда соотношение (8) принимает вид:
или
.
Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
.
Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
. (9)
Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
. (10)
Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).
Математический маятник.
Математический маятник – это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.
|
| Рис. 5. Математический маятник |
Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Запишем для маятника второй закон Ньютона:
,
и спроектируем его на ось :
.
Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:
.
Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:
.
Итак, при любом положении маятника имеем:
. (11)
Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):
,
или
.
Это – уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
.
Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
. (12)
Отсюда период колебаний математического маятника:
. (13)
Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.
Свободные и вынужденные колебания.
Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.
Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.
Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.
В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).
 |
| Рис. 6. Затухающие колебания |
Вынужденные колебания – это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
.
В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.
 |
| Рис. 7. Резонанс |
Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс – явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .
Источник
Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.
Отличительными признаками колебательного движения являются:
- повторяемость движения;
- возвратность движения.
Для существования механических колебаний необходимо:
- наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
- наличие малого трения в системе.
Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.
Виды волн
- Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.
Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.
- Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.
Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.
Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.
Гармонические колебания
Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:
где ( x ) – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ( A ) – амплитуда колебаний; ( omega t+varphi_0 ) – фаза колебаний; ( omega ) – циклическая частота; ( varphi_0 ) – начальная фаза.
Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.
Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.
Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:
где ( v ) – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.
Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:
где ( a ) – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.
Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:
где ( F ) – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.
Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:
где ( W_k ) – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.
Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:
- потенциальная энергия равна нулю;
- кинетическая энергия максимальна.
При максимальном отклонении от положения равновесия:
- кинетическая энергия равна нулю;
- потенциальная энергия максимальна.
Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:
Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.
Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.
Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).
Амплитуда и фаза колебаний
Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ( A, (X_{max}) ), единицы измерения – м.
Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ( varphi ), единицы измерения – рад (радиан).
Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний.
Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.
( varphi_0 ) – начальная фаза колебаний.
Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.
Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.
Период колебаний
Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ( T ), единицы измерения – с.
Период гармонических колебаний – постоянная величина.
Частота колебаний
Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ( nu ), единицы времени – с-1 или Гц (Герц).
1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:
Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:
Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ( omega ), единицы измерения – рад/с.
Свободные колебания (математический и пружинный маятники)
Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.
Условия возникновения свободных колебаний:
- при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
- силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.
Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
Период колебаний математического маятника:
Частота колебаний математического маятника:
Циклическая частота колебаний математического маятника:
Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:
Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:
Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:
Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:
Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:
Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ( h ), определяется по формуле:
где ( l ) – длина нити, ( alpha ) – угол отклонения от вертикали.
Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.
Период колебаний пружинного маятника:
Частота колебаний пружинного маятника:
Циклическая частота колебаний пружинного маятника:
Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:
Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:
Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:
Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.
Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.
Резонанс
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.
Условие резонанса:
( v_0 ) – собственная частота колебаний маятника.
На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.
Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.
Длина волны
Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ( lambda ), единицы измерения – м.
Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.
Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.
Звук
Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.
Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:
- наличие источника звука;
- наличие упругой среды между источником и приемником звука;
- наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
- мощность звука должна быть достаточной для восприятия.
Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.
Классификация звуковых волн:
- инфразвук (( nu ) < 16 Гц);
- звуковой диапазон (16 Гц < ( nu ) < 20 000 Гц);
- ультразвук (( nu ) > 20 000 Гц).
Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.
Скорость звука зависит
- от упругих свойств среды:
в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;
- от температуры среды:
в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.
Характеристики звуковой волны
- Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
- Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
- Тембр – это окраска звука.
Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.
Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»
Механические колебания и волны
2.6 (52.5%) 8 votes
Источник