Каким свойством обладает медиана равнобедренного треугольника

Девиз: «Источник и цель математики
–  в практике!» С. Соболев

Цели:

• повторить признаки равенства треугольников,
  определение и построение высоты, медианы и
  биссектрисы;
• выяснить замечательное свойство, которым
  обладает медиана в равнобедренном
   треугольнике;
• решение задач с применением этого свойства;
• способствовать выработке у учащихся желания
  развивать самостоятельность и творчество в практической
  деятельности;
• следить за математической речью учащихся и
  эстетическим выполнением чертежей.

Оборудование: карточки – задания,
индивидуальные доски и интерактивная доска,
кроссворд, чертежные инструменты, конверты у
каждого на столе с видами треугольников.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент, цели, девиз.

2. Проверка домашнего задания

• 3 ученика на доске выполняют задания по
  карточкам
• 3 ученика на индивидуальных досках по корточкам
• 3 ученика работают с большими бумажными
  треугольниками путем перегибания (задание по
  карточкам)

3. Доказательство свойства медианы
равнобедренного треугольника.

• кроссворд
• королевство кривых зеркал
• решение практических задач

4. Итог урока

5. Домашнее задание

Учитель: На прошлом уроке мы с вами 
много на практике учились строить высоты,
биссектрисы и медианы в равнобедренных
треугольниках. Сейчас мы и посмотрим как вы это
научились делать. (3 ученика на доске выполняют
задания по карточкам; 3 ученика на индивидуальных
досках по карточкам; 3 ученика работают с
большими бумажными треугольниками путем
перегибания, задание по карточкам)

Учитель: фронтальный опрос

• Дать определение треугольника.
• Дать определение медианы в треугольнике.
• Дать определение высоты в треугольнике.
• Дать определение равнобедренного треугольника.
• Сформулировать свойство равнобедренного 
  треугольника.
• Сформулировать признак равнобедренного
  треугольника.
• Сформулировать первый признак равенства
  треугольников.
• Сформулировать второй признак равенства
  треугольников.

Учитель:  А теперь мы постараемся с
вами разгадать кроссворд, который составил один
из вас. (Кроссворд на доске и заготовки
трафареты на столах, работа по парам)

1. Геометрическая фигура.
2.  Разновидность треугольника по сторонам.
3. Луч, выходящий из вершины угла треугольника и
   делящий его пополам.
4. Перпендикуляр, опущенный из вершины
   треугольника на прямую, содержащую
   противолежащую сторону.
5. Одна из сторон равнобедренного треугольника.
6. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с
   серединой противолежащей стороны.

Учитель: А теперь ребята, выньте из
конверта «треугольники по сторонам»
равнобедренный треугольник и обведите его в
тетради.

1 ряд – опустите из вершины треугольника
перпендикуляр на противолежащую сторону
треугольника.
2 ряд – проведите из вершины треугольника
медиану на противолежащую сторону треугольника.
3 ряд –  постройте биссектрису угла при
вершине треугольника.

Учитель:

• Чем отличаются отрезки, проведенные из вершины
  треугольника на основание?
• Чем еще  является медиана в каждом из
  треугольников, изображенных на доске?
• Кто это проверит предположение?
• Выясним, что было дано.
• Чем является медиана в равнобедренном
  треугольнике?

Вот почему сегодняшний урок называется
«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ОТРЕЗОК». Итак записываем.

Учитель:

• Обведите еще раз равнобедренный треугольник.
  Постройте высоту из вершины треугольника.
  Убедитесь, что отрезки при основании равны.
• Обведите еще раз равнобедренный треугольник.
  Постройте медиану из вершины треугольника.
  Убедитесь, что углы при вершине равны с помощью
  транспортира.
• Обведите еще раз равнобедренный треугольник.
  Постройте биссектрису из вершины треугольника.
  Убедитесь, что углы при точке D равны.

Учитель: А сейчас мы с вами ребята,
попали в королевство кривых зеркал. Все
треугольники здесь искривились. Докажите, что
все треугольники равнобедренные.

Решение задач:

Индивидуальные задания по карточкам у
доски и в тетради.

Итог урока:

– Что нового узнали?
– Прочтите ее формулировку.
– Как вы думаете, для чего нужно это
замечательное свойство?

Оценки учащимся.

Домашнее задание: выучить свойство
медианы в равнобедренном треугольнике, № 25,28
стр.40 учебника, по желанию составить кроссворд.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Тип урока: урок изучения нового
материала и первичное его закрепление

Цели:

• Образовательные:
  • повторить основные понятия по теме
    «Равнобедренный треугольник»;
  • сформулировать и доказать свойство медианы
    равнобедренного треугольника;
  • показать на примере применение данной теоремы;
• Развивающие:
  • развивать математическую речь и навыки устного
    и письменного счёта;
  • развивать умения обобщать, анализировать,
    делать выводы.
• Воспитательные:
  • воспитывать аккуратность при оформлении
    записи, как в тетради, так и на доске;
  • способствовать воспитанию творческой
    активности, инициативности;
  • формировать умение оценивать свой ответ и ответ
    товарища.

Оборудование: проектор, компьютер,
чертёжные инструменты, тетради, карточки.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин.)
2. Актуализация знаний (5 мин.)
3. Постановка учебной задачи. Изучение нового
   материала (16 мин.)
4. Первичное закрепление нового материала (17 мин.)
5. Итог урока. Рефлексия (4 мин.)
6. Задание на дом (2 мин.)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Цель: мотивация

Учитель: Ребята, я очень рада
очередной встречи с вами на нашем уроке
геометрии. Это обычный и не совсем обычный урок.
Поэтому девизом нашего урока будут служить слова
Алексея Ивановича Маркушевича,редактора
«Энциклопедии элементарной математики»:

«Кто с детских лет занимается математикой,
тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою
волю, воспитывает настойчивость и упорство в
достижении цели». (Презентация.
Слайд 2)

Сегодня у всех вас ребята есть возможность этим
заняться. Поэтому я прошу вас быть очень
внимательными. Мы начинаем урок и продолжаем
изучать свойства равнобедренного треугольника,
но для начала повторим всё, что мы знаем об этом
необычном треугольнике. (Слайд 3)

2. Актуализация знаний

Цель: повторить основные понятия,
связанные с данной темой и позволяющие легкому
усвоению свойства медианы равнобедренного
треугольника.

Учитель: Ребята, внимание на экран.
Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Задание №1 (устно):

а) Какие из треугольников являются
равнобедренными? Почему? (Слайд 4)
б) В равнобедренных треугольниках назовите
основание и боковые стороны.
в) Назовите равные углы. Почему?

Задание №2 (устно): (Слайд 5)

а) Назовите треугольник, на котором изображена
биссектриса. Почему?
б) Назовите треугольник, на котором изображена
медиана. Почему?
в) Назовите треугольник, на котором изображена
высота. Почему?

Учитель: Открываем тетради,
записываем число. «Классная работа».
К доске приглашается один ученик а остальные в
тетрадях выполняем следующее задание:

Задание №3 (в тетрадях): Начертите
равнобедренный треугольник АВС, с основанием АВ.
Проведите в данном треугольнике медиану из
вершины С к основанию АВ.
На этом же чертеже проводим высоту из вершины С к
основанию АВ. И биссектрису угла С.

(В процессе построения учитель ведёт диалог с
учеником у доски и всем классом, объясняя каждый
шаг построения).

Учитель: Ребята, что вы увидели? Какой
вывод можно сделать, исходя из построения?

(Ребята предлагают ответы. В ходе обсуждения
выясняется, что не все получили совпадение
медианы, биссектрисы и высоты.)

Как говорил Дьёрдь
Пойавенгерский,швейцарскийи американский
математик. (Слайд 6)

Мы это с вами сейчас сделали. Но геометрия – эта
наука, в которой нельзя делать вывод, исходя из
решения одной задачи. Всё, кроме аксиом,
необходимо доказать. Поэтому переходим к
изучению нового материала.

3. Постановка учебной задачи. Изучение
нового материала

Цель: сформулировать и доказать
свойство медианы равнобедренного треугольника.

Учитель: Ребята, запишите в тетрадях
тему нашего урока «Свойство медианы
равнобедренного треугольника».Ребята, скажите,
пожалуйста, изучив сегодняшнюю тему, на какой
вопрос в конце урока вы сможете ответить?

(Ребята предлагают ответы, а учитель подводит
итог и называет цель урока.)

Да, действительно цель нашего урока
сформулировать и доказать свойство медианы
равнобедренного треугольника, и на примерах
показать его применение.

Учитель: Запишите на полях номер
теоремы 3.5. (Под диктовку учащиеся записывают
формулировку.)

В равнобедренном треугольнике медиана,
проведённая к основанию, является биссектрисой и
высотой.(Все делают чертёж
равнобедренного треугольника. Работа по
формулировке. Ребята формулируют теорему,
используя «ЕСЛИ» и «ТО» и соответственно делая
вывод, что в теореме является условием, а что
заключением. Затем записывают «дано» и
«доказать».) (Слайд 7)

Дано:

Δ АВС – равнобедренный,
АВ – основание,
СD – медиана

Док-ть:

СD – биссектриса,
СD – высота

Доказательство теоремы сегодня необычное. Ваша
задача внимательно слушать, внимательно следить
по чертежу.

Учитель: (доказательство в стихах)

В моей любимой теореме
Смысл совсем, совсем простой.
Медиана в равнобедренном треугольнике –
Является биссектрисой и высотой.
Рассмотрим –
необычный.
На вид он очень симпатичный.
АВ основанием является
Треугольник равнобедренным называется.
Нам СD – медиана дана.
Интересным свойством обладает она.
Смотри на чертёж, и увидишь ты сам
Как медиана делит основание пополам.
Нам доказать с вами очень надо,
Что медиана является биссектрисой и высотой.
За это доказательство ждёт нас награда.
Пятёрка в дневник, приз очень простой.
Итак, приступаем к доказательству.
Прошу внимательно следить
Хотя здесь букв всего четыре
Ни одну нельзя нам упустить.
и СВD равны
В этом нет сомнения.
Первый признак применить
Надо непременно.
АС = СВ по условию ясно
АD = ВD, ведь D середина, не спорьте напрасно.
А = В,
как углы при основании
(Ничего не выпало у нас из внимания)
Посмотрим внимательно мы на чертёж
Вывод практически готов.
Равенство треугольников за собой влечёт
Равенство углов, честь им и почёт.
Так как АСD = ВСD, то СD – биссектриса,
Часто ребята зовут её «крысой».
Углы АDС и ВDС равны вот и прекрасно
Ещё они смежные – по чертежу это ясно.
Углы то прямые и замечательно.
Теперь теорему запомним обязательно.
Не доказательство, а красота.
Смотрите СD к тому же высота.

Вывод: Наше сегодняшнее открытие, что
медиана, биссектриса и высота совпадают,
получило подтверждение данной теоремой. И тут
возникает вопрос, ответ на который уже давно дала
наша замечательная наука геометрия. Ребята, вы
знаете, что в треугольнике три стороны и три угла.
Соответственно можно провести три медианы,
биссектрисы и высоты. Как вы думаете, утверждение
«медиана, проведённая к боковой стороне,
является биссектрисой и высотой» будет верно или
нет!
Выслушав ответы учащихся, учитель делает вывод.

4. Первичное закрепление нового материала

Цель: Показать на примерах применение
теоремы при решении задач.

Учитель: Геометрия полна приключений,
потому что за каждой задачей скрывается
приключение мысли. Решить задачу – это значит
пережить приключение. (В. Произволов)(слайд
8)
Все внимание на экран. Решаем задачу устно.
(Работает весь класс)

Задача № 3

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием
АС = 12см и < АВС = 60° проведена медиана ВМ. Найдите
в треугольнике АВМ длину стороны АМ, градусную
меру <АВМ и градусную меру <АМВ.(слайд 9)
Решение: В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС = 12см проведена медиана ВМ. Это
значит, точка М является серединой стороны АС. 12 :
2 = 6см (АМ). Так как в равнобедренном треугольнике
медиана является биссектрисой < АВС = 60°, то по
Т3.5 60 : 2 = 30° (градусная мера <АВМ). Так как в
равнобедренном треугольнике медиана является
высотой, то по Т3.5 <АМВ = 90°.

Учитель: Молодцы ребята. А мы
продолжаем решать следующую задачу все вместе в
тетради, а к доске приглашается ученик.

Задача №4: В равнобедренном Δ АВС, с
основанием АВ проведена биссектриса СМ. АС = 10 см,
АМ = 4см. Найдите периметр Δ АВС. (Слайд 10)

Дано: Δ АВС
АВ – основание, СМ – биссектриса,
АС = 10см, АМ = 4см
Найти: периметр Δ АВС

Решение:

1. Рассмотрим Δ АСМ и Δ ВСМ
АС = СВ (т.к. треугольник равнобедренный)
СМ – общая
< АСМ = < ВСМ (т.к. СМ – биссектриса)
Δ АСМ = Δ ВСМ (1 признак равенства Δ)
Из равенства треугольников следует равенство
сторон АМ = МВ, значит М – середина, СМ – медиана.

2. СВ = АС = 10см (т.к. треугольник равнобедренный)
3. МВ = АМ = 4см (т.к. СМ – медиана)
4. РАВС = АС + СВ + АВ = 10 + 10 + (4 + 4) = 28 см

Ответ: 28 см

(К решению задачи подключается весь класс)

5. Итог урока

Цель: рефлексия.

Учитель: Наш урок подходит к концу.
Надеюсь, каждый из вас достиг поставленной цели.
(слайд 11) А я прошу вас каждый про себя
закончите предложения…

Я узнал(а.)…
Я могу…
Я буду…

Есть ли желающие озвучить эти предложения? (Если
ребята пожелают необходимо выслушать 2-3
человека)
Спасибо большое. А сейчас быстро отвечаем на
вопросы. (Cлайд 12)

• Какой треугольник называется равнобедренным?
• Каким свойством обладает равнобедренный
  треугольник?
• Сколько медиан в треугольнике можно провести?
• Каким свойством обладает медиана
  равнобедренного треугольника?
• Этим свойством обладают все медианы в
  равнобедренном треугольнике?
• Верно ли утверждение «Биссектриса, проведённая
  к основанию равнобедренного треугольника,
  является медианой и высотой?»
• Верно ли утверждение «Высота, проведённая к
  основанию равнобедренного треугольника,
  является медианой и биссектрисой?»

Чтоб последнее предположение доказать вам
необходимо решить задачу, которая вместе с
доказательством находится на карточке. Но это
уже домашнее задание.

6. Домашнее задание: (слайд 13) (Приложение)

Для всех: №27, стр. 40
Самостоятельно оформить и выучить краткую
запись Т 3.5. с доказательством.
Для продвинутых:
Задача: Докажите, что высота,
проведённая к основанию равнобедренного
треугольника, является медианой и биссектрисой.

Используемая литература:

• Учебник “Геометрия. 7-9” А.В. Погорелов М.:
  Просвещение, 2009.
• Поурочные разработки по геометрии. 7 класс.
  Гаврилова Н.Ф. М.: “ВАКО”, 2004.
• “Малые жанры русского фольклора»: Хрестоматия
  Составитель В.Н. Морохин- М.:Высшая школа, 1986.

Интернет-ресурсы:

• matematik-sait.ucoz.ru›
• Картинка с
  сайта
• images.yandex.ru
• liubavyshka.ru›