Каким свойством обладает мнимая единица

Мы уже обсуждали этапы расширения числовых систем: от натуральных чисел, которые можно складывать и умножать, но не всегда можно вычитать и делить, к целым, которые вычитать можно без ограничений и потом к рациональным, которые вычитать и делить уже можно без ограничений (только на нуль делить нельзя). Потом еще есть любопытная история с пополнением, потому что рациональные числа явно не исчерпывают всех чисел: пи, е, логарифмы и корни не рациональны (в виде дроби a/b не записываются), хотя явно являются числами (начиная со диагонали квадрата с единичным ребром). Не рационально также и число 0.1234…, в котором мы записываем торец к торцу натуральные числа.

Кстати, как доказать, что корень из двух – не рациональное число? Ну, если оно рационально, то его можно записать в виде несократимой дроби a/b. Если дробь можно сократить, сократим, чтобы стала несократимой. По определению, a²/b²=2. Но тогда a²=2b² четное. Если квадрат числа четный ,то и само число четное: a=2c, при каком-то с. Но тогда b²=2с² тоже четное, а значит, четное и b. Получается, что дробь a/b можно сократить на два. Противоречие.
Если вам не нравится метод от противного, можно иначе: дробь можно сократить на два, но полученная по той же причине опять может быть сокращена на 2. И опять, и снова. Но при сокращении числитель и знаменатель уменьшаются, и не могут неограниченно много раз делиться на два. Следовательно, такой дроби нет.

Пополненное множество чисел называется множеством вещественных чисел или числовой прямой. Прямой — потому что точки прямой удобно соотносятся с числами.

В самом деле, выберем точку и назовем ее нулем; отрезок длины 1 даст нам единицу, а в другую сторону — минус единицу. И так далее.

Числовая ось. Вправо — это условность. Можно и влево, и вниз, и косо. Не суть.

Однако некоторые операции, такие, как корень квадратный, все равно вычисляются не всегда. Что еще хуже, степень должна бы быть любой вещественной, а это тоже не всегда имеет смысл: например, корень — это степень 0.5, а корень из -1 мы пока не можем вычислить. Логарифмы от отрицательных чисел также не имеют смысла.

Логично сделать следующий шаг, введя мнимую единицу i и декларативно определив ее как корень квадратный из минус единицы. Увязывая концы с концами, мы приходим к комплексной плоскости (одна из прямых на ней — вещественная прямая).

“Увязать концы с концами” — это выяснить, как складывать любые комплексные числа, как умножать и делить их, как возводить любое комплексное число в любую комплексную степень. Это все делается, причем только одним способом.

Может возникнуть подозрение, что путь в никуда: ведь мы легализовали квадратные корни из отрицательных чисел, но есть же много других: корни четвертой степени, например, или корни из самих новообразованных комплексных чисел — сколько еще шагов надо сделать, чтобы все операции, кроме деления на нуль, были возможны? И есть ли вообще конец этого пути?

Но подозрение не оправдывается. Приятный результат: комплексная плоскость замкнута относительно всех операций. Все корни вычисляются, как и логарифмы и многое другое. Не вычисляется только то, что дает бесконечный результат, непосредственно или как промежуточный. Это и деление на нуль, и логарифм нуля, и отрицательные степени нуля.

И даже более того: у многочлена степени n всегда есть ровно n комплексных корней (возможно, совпадающих). Это мощное обобщение операции извлечения корня! Ведь извлечение корней находит корни многочленов вида x^n-Q=0. А гарантируются корни любых многочленов! Причем кратный корень — это не формальность (считаем корень два раза), а так и есть: кратный корень, например, является корнем производной; считать каждый корень три раза, например — не пойдет.

В этом смысле утверждение “у слона есть крылья, но они равны нулю” не совсем верно: у слона нет крыльев. А вот у человека хвост — есть. но равен нулю.

Теперь следим за мыслью. Мы вполне можем, решая целочисленную задачку, пользоваться по ходу дела дробями — главное, чтобы их не было в ответе. Или применять отрицательные числа, стремясь к положительному ответу. Точно так же мы можем пользоваться комплексными числами и функциями, хотя в ответе их не будет.

Очень большая часть физики описывается линейными уравнениями. Если упрощенно, то это уравнения, в которых неизвестная величина и ее скорость входят линейно: в первой степени и в числителе.

Иногда эти уравнения фундаментальны, а иногда они просто дают хорошее приближение.

Линейные уравнения обладают свойством суперпозиции: сумма их решений образует решение, поэтому решения можно “размножать”. Теория линейных уравнений у меня изложена, например, здесь. На более простом примере, нежели дифференциальные уравнения — на примере разностных уравнений. Но принцип тот же.

Простой пример линейного дифф.уравнения: закон радиоактивного распада: x’=-kx

x — количество вещества, x’ — скорость разложения, k — коэффициент, показывающий, какая доля вещества распадется за единицу времени.

Это линейное уравнение. Решений у него много, для любого начального количества свое. Но если мы знаем одно решение, то можем умножить его на константу и получить новое решение.

При этом, если мы знаем начальное количество, то можем определить решение однозначно, поэтому, если есть одно решение — можно получить любое другое, умножив на подходящую константу.

Важный вывод: найдите одно решение — и вы нашли все!

Одно решение подбирается легко, это экспонента e^{-kt}.

Значок ^ обозначает степень, а скобки {} просто для группировки.

Ну, и всё: любое решение обязано иметь вид Ce^{-kt}, а константа С равна начальному количеству. Можно переписать в другом виде: C2^{-t/T}, где C — начальное количество, а T — период полураспада. За время Т распадается половина вещества.

Вот так выглядит решение — экспонента. Начальное значение 5, период полураспада 1. За каждую единицу времени количество снижается вдвое.

Если мы предположим, что прирост численности вида пропорционален численности (в среднем на каждую особь приходится столько-то потомков), ресурсов хватает и никто их не ест — то получим модель Мальтуса, которая от модели радиоактивного распада отличается только знаком. Решением будет тоже экспонента, но не убывающая, а растущая. А растет экспонента быстро, так что очень быстро ресурсы начинают ограничивать рост, даже если их много.

Однако в механике или электродинамике уравнения обычно второго порядка (закон Ньютона — там ускорения) или системы из двух и более уравнений. Что же, рассмотрим простой осциллятор (маятник):

x” = -w^2x.

Здесь x” — ускорение, вторая производная. Уравнение линейно и степеней свободы две, ведь нужно знать начальное положение и начальную скорость, чтобы определить динамику. Стало быть, подберите два решения и они дадут вам все — без исключения.

Осциллятор — маятник на пружине (или любая другая колебательная система).

Пробуем экспоненту: e^{at} с каким-то пока неизвестным числом а. Производная экспоненты пропорциональна ей самой: (e^{at})’=ae^{at}. При подстановке в уравнение экспонента сократится и получим уравнение для числа а:

a^2 = -w^2.

Вооруженные комплексными числами, мы не испугаемся, а выпишем два корня: a = +wi, a=-wi.

У нас есть две экспоненты, а значит, и два решения, и это все, что нам надо:

Me^{iwt} + Ne^{-iwt} — при каких-то значениях констант M и N это любое мыслимое решение уравнения.

Но экспоненты комплексные, а это неприятно.

Когда мы увязывали концы с концами, определяя операции над комплексными числами (а это можно сделать только одним способом), у нас получилась формула Эйлера, которая задает возведение в степень:

e^{iy}=cos(y)+isin(y)

Через нее можно возвести любое число в любую степень. Как именно — расскажу в отдельной заметке.

Применим же эту формулу и перегруппируем слагаемые:

(M+N)cos(wt) + i(M-N)sin(wt) = Ccos(wt)+Dsin(wt)

Здесь мы переобозначили константу M+N на C, а i(M-N) — на D.

Можно еще немного поиграть с тригонометрией, и свести формулу для решения к более физичной:

Asin(wt+f),

где A и f — новые две константы, но с физическим смыслом: это амплитуда и начальная фаза колебания.

График решения (черная линия) и его производной (скорости, красная лииня). Черная линия — положение маятника, а красная — его скорость. Амплитуда А=2, фаза f=1. Трения нет, маятник вечно колеблется вокруг нулевого равновесия. И скорость тоже колеблется.

Давайте еще пример. Рассмотрим систему двух уравнений, линейных, конечно:

x’=y
y’=-x

Пусть x — это положение маятника, а y — его скорость. Тогда эта система сводится к уже решенному уравнению. Но можно ее решить непосредственно. Решения — вектор-функции, а из-за линейности они образуют пространство, причем размерности два — ведь нужно знать x и y в начальный момент, и тогда узнаем всё. Два решения подбираются довольно легко, но это тема для отдельной заметки. И да, там тоже будут комплексные экспоненты.

Таким образом, комплексная экспонента пронизывает всю теорию колебаний, в том числе — линейную теорию электрических контуров, о которой во второй части (to be soon).

Если есть трение, корни становятся не чисто мнимыми, все становится немного сложнее и интереснее, как и в случае вынуждающих сил — как для систем, так и для уравнений. Но это тема для другой беседы.

Продолжение следует…

Путеводитель по каналу

Тема: Мнимая единица, еестепени.Комплексныечисла.

Алгебраическаяформакомплексногочисла.

Цели: расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней, понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму комплексного числа; развивать умения обобщать полученные знания, способствовать развитию логического мышления;

воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

План (изучаемые вопросы)

1. Мнимые числа. Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.

2. Определение комплексного числа.

3. Алгебраическая форма комплексного числа.

1.Мнимые числа

Определение. Число, квадрат которого равняется -1, называется мнимой единицей и

обозначается і; і 2= -1

Определение. Числа, которые имеют вид bі, где b – действительное число, называются

мнимыми числами.

Например:

Известно, что действительные числа изображаются точками на оси ОХ. Мнимые числа изображаются точками на оси ОУ, в связи с чем ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ – мнимой осью. Множество мнимых чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством действительных чисел.

Определение. Два мнимых числа b1i и b2i называются равными, если b1=b2

Определение. Мнимое число (-bi) называется противоположным мнимому числу bі.

Например: и и .

Теорема. Любая натуральная степень числа і может быть преобразована к

одной из четырех видов 1; і; -1; -і.

Доказательство.

Рассмотрим выражение іm, где m – натуральное число. Понятно, что возможны четыре случая:

1) m = 4k, k=1,2,…

2) m=4k +1, k=0, 1,2,…

3) m4k +2, k = 0,1,2,…

4) m=4k+3, k=0,1,2,….

Пусть m = 4k, тогда ім=іАк=(іА) к=1к=1

Пусть m=4k+1, тогдаім = іАк+1 = іАкі=1і=і

Пустьm= 4k +2, тогда ім=іАк+2 = іАкі2 =1(-1)=-1

Пусть m=4k+3, тогда ім

Пример. Вычислить значение выражения

Решение:

.

Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно пользоваться таким правилом:

1) разделить показатель степени на 4;

2) заменить ім на ір, где р – остаток, полученный при делении т на 4, то есть число р находится из равенства т = 4к + р.

2.Комплексные числа

Определение. Комплексным числом называется число, которое имеет вид а+bi, где а, b –

действительные числа, i – мнимая единица. При этом число “а” называется

действительной частью комплексного числа, “b” – мнимой частью

комплексного числа.

Символически действительную и мнимую части комплексного числа обозначают так: (ре зет), (им зет).

В основе этих обозначений использованы первые буквы латинских слов , что означает “действительный” и “Imaginaries”, что означает “мнимый”.

Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z= а+ bі называют bi.

Определение. Два комплексных числа Z1 = a1+ b1i и z2 = а2 + b1iназываются равными, если

Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2.

Для комплексных чисел не существует понятий больше и меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.

Определение. Комплексное число (-а-bi) называется противоположным комплексному числу

а + bі.

Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые

части противоположные, называются комплексно сопряженными числами и

обозначаются соответственно и .

3.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Комплексное число, представленное в виде называется комплексным числом в алгебраической форме.

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется

комплексное число .

Итак, (1)

Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.

Сумма сопряженных чисел всегда является действительным числом

то есть, . (2)

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число , которое в сумме с числом дает число .

Вычитание комплексных чисел всегда возможно.

Теорема. Для любых комплексных чисел и всегда существует разница , которая определена однозначно.

Таким образом, для того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть мнимую часть разности

Получается, (3)

Разность двух сопряженных чисел всегда является мнимым числом. ,

то есть, (4)

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число, которое определяется формулой: (5)

Чтобы умножить комплексные числа следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив при этом на -1 и привести подобные члены.

В процессе умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение. Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом

.

Пример. Найти значение выражения .

Решение: .

.

Деление комплексных чисел

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число z, которое в произведении с дает .

Всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.

Теорема. Частное определено и к тому же однозначно для всех комплексных чисел и , если только , то есть .

(7)

Пример. Вычислить значение выражения .

Решение:

Над комплексными числами в алгебраической форме возможно выполнять и такие действия, как возведение в степень, извлечения корня. Но выполнение этих действий в алгебраической форме довольно трудоемкое.

Закрепление изученного материала.

1. Вычислить:

2. Среди приведенных примеров укажите :

а) чисто мнимые комплексные числа;

б) чисто действительные комплексные числа;

в) сопряженные комплексные числа;

г) равные комплексные числа:

3. Выполнить действия: Ответ.

4. На основании равенства комплексных чисел найти действи­тельные числа и если Ответ.

5. Решить квадратные уравнения и проверить выполнение тео­ремы Виета:

а) б) Ответ. а) б)

Контрольные вопросы:

1.Дать определение комплексного числа.

2.Сформулировать определение мнимой единицы.

3.Как найти степень мнимой единицы.

4.Какие комплексные числа называют равными, сопряженными?

5.Записать формулу для нахождения произвольного степени мнимой единицы.

6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.

7. Дать определение суммы, произведения и частного двух комплексных чисел.

Литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

2. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).

3. Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.