Каким свойством обладает неполное частное
ВОПРОСЫ
1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком?
Неполное частное – это наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого.
2. Сравните остаток и делитель.
Остаток всегда меньше делителя.
3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.
Правило нахождения делимого при делении с остатком: чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.
4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого?
5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?
Говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое, если при делении первого числа на второе остаток равен нулю.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
2. В числе 72 560 000 зачеркнули три последних нуля. Как изменилось, увеличилось или уменьшилось, это число и во сколько раз?
Число уменьшилось в 1000 раз.
3. Один насос за 1 мин перекачивает 120 л воды, а второй – 180 л. За какое время они вместе могут наполнить водой цистерну, ёмкость которой равна 6 000 л?
4. Уменьшаемое на 129 больше вычитаемого. Чему равна разность?
Разность данных чисел равна 129.
5. Делитель в 48 раз меньше делимого. Чему равно частное?
Частное данных чисел равно 48.
6. В первый день турист был в дороге 7 ч, а во второй – 4 ч, двигаясь с такой же скоростью, как и в первый день. Во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. С какой скоростью двигался турист?
УПРАЖНЕНИЯ
521. Выполните деление с остатком:
522. Выполните деление с остатком:
523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.
2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.
524. Найдите остаток при делении на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2 764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.
525. Запишите остатки, которые можно получить при делении на: 1) 7; 2) 13; 3) 24.
526. Запишите остатки, которые можно получить при делении на: 1) 5; 2) 19.
527. Блокнот стоит 26 р. Сколько блокнотов можно купить на 140 р.?
528. Один грузовик можно нагрузить 5 т песка. Сколько требуется таких грузовиков, чтобы перевезти 42 т песка?
529. В один ящик помещается 20 кг яблок. Сколько надо ящиков, чтобы разложить в них 176 кг яблок?
530. Заполните таблицу.
531. Найдите делимое, если делитель равен 12, неполное частное – 7, а остаток – 9.
532. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное – 4, а остаток – 11.
533. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а – делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток, если а = 82, b = 8.
534. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а – делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток, если а = 45, b = 7.
535. Пр каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 48 + а делится нацело на 6;
2) 65 – а делится нацело на 8;
3) 96 – а при делении на 9 дает остаток 4?
536. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 53 + а делится нацело на 7;
2) а + 24 при делении на 5 дает остаток 2?
537. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?
538. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?
539. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4. На какое число делил Павел?
540. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?
541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днем недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?
542. Известно, что чило а – делимое, число b – делитель, причем а < b. Найдите неполное частное и остаток при делении числа а на число b.
543. Докажите, что последняя цифра числа а равна остатку при делении этого числа на 10.
544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в кототрое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выраэение, значение которого:
1) при делении на 3 дает в остатке 1;
2) при делении на 8 дает в остатке 3;
3) при делении на 11 дает в остатке 7;
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
545. Упростите выражение и найдите его значение:
546. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
547. Известно, что веревка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью: 1) одной веревки отмерить 2 мин; 2) двух таких веревок отмерить 3 мин?
Источник
- Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
- Переход на главную страницу сайта
Вопросы к параграфу
1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком?
Неполное частное — это наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого.
2. Сравните остаток и делитель.
Остаток всегда меньше делителя.
3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.
Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.
4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого?
a = bq + r
- a — делимое
- b — делитель
- q — неполное частное
- r — остаток. Внимание! r <b
5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?
Одно натуральное число делится нацело на другое, если остаток при делении равен нулю.
Решаем устно
1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
2. В числе 72 560 000 зачеркнули три последних нуля. Как изменилось, увеличилось или уменьшилось, это число и во сколько раз?
72 560 000 = 72 560 — при зачёркивании трёх последних нулей число 72 560 000 уменьшилось в 1 000 раз.
3. Один насос за 1 мин перекачивает 120 л воды, а второй — 180 л. За какое время они вместе могут наполнить водой цистерну, ёмкость которой равна 6 000 л?
1) 120 + 180 = 300 (л) — перекачают два насоса вместе за 1 минуту.
2) 6 000 : 300 = 20 (минут) — потребуется двум насосам, чтобы наполнить цистерну.
Ответ: за 20 минут.
4. Уменьшаемое на 129 больше вычитаемого. Чему равна разность?
Разность равна 129.
5. Делитель в 48 раз меньше делимого. Чему равно частное?
Частное равно 48.
6. В первый день турист был в дороге 7 ч, а во второй — 4 ч, двигаясь с такой же скоростью, как и в первый день. Во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. С какой скоростью двигался турист?
1) 7 — 4 = 3 (часа) — меньше двигался турист в второй день.
2) 12 : 3 = 4 (км/ч) — скорость туриста.
Ответ: 4 км/ч.
Упражнения
521. Выполните деление с остатком:
522. Выполните деление с остатком:
523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.
- 31 = 10 • 3 + 1
- 47 = 10 • 4 + 7
- 53 = 10 • 5 + 3
- 148 = 10 • 14 + 8
- 1 596 = 10 • 159 + 6
- 67 389 = 10 • 6 738 + 9
- 240 750 = 10 • 24 075 + 0
2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.
- 14 = 5 • 2 + 4
- 61 = 5 • 12 + 1
- 86 = 5 • 17 + 1
- 235 = 5 • 47 + 0
- 2 658 = 5 • 531 + 3
- 54 769 = 5 • 10 953 + 4
- 687 903 = 5 • 137 580 + 3
524. Найдите остаток при делении на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2 764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.
- 106 = 100 • 1 + 6
- 202 = 100 • 2 + 2
- 421 = 100 • 4 + 21
- 836 = 100 • 8 + 36
- 2 764 = 100 • 27 + 64
- 100 098 = 100 • 1 000 + 98
- 672 305 = 100 • 6 723 + 5
- 1 306 579 = 100 • 13 065 + 79
- 562 400 = 100 • 5 624 + 0
525. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:
- 7: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
- 13: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
- 24: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
526. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:
- 5: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4
- 19: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
527. Блокнот стоит 130 р. Сколько блокнотов можно купить на 700 р.?
700 = 130 • 5 + 50
Значит на 700 рублей можно купить 5 блокнотов и получить сдачу 50 рублей.
Ответ: 5 блокнотов.
528. На один грузовик можно нагрузить 5 т песка. Какое наименьшее количество требуется таких грузовиков, чтобы перевезти 42 т песка?
42 = 5 • 8 + 2
Значит, что для того, чтобы перевести 42 тонны песка потребуется 8 + 1 = 9 грузовиков (в 8 грузовиков поместится только 40 кг песка).
Ответ: 9 грузовиков.
529. В один ящик помещается 20 кг яблок. Какое наименьшее количество надо таких ящиков, чтобы разложить в них 176 кг яблок?
176 = 20 • 8 + 16
Значит, для того, чтобы разложить в ящики 176 кг яблок потребуется 8 + 1 = 9 ящиков (в 8 ящиков поместиться только 160 кг яблок).
Ответ: 9 ящиков.
530. Заполните таблицу.
531. Найдите делимое, если делитель равен 12, неполное частное — 7, а остаток — 9.
12 • 7 + 9 = 84 + 9 = 93
Ответ: делимое 93.
532. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное — 4, а остаток — 11.
18 • 4 + 11 = 72 + 11 = 83
Ответ: делимое 83.
533. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства а = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток, если а = 82, b = 8.
82 = 8q + r
Можно также найти значение q и r:
- q = 10
- r = 2
Равенство будет записано так:
82 = 8 • 10 + 2
534. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, г — остаток, если а = 45, b= 7.
45 = 7q + r
Можно также найти значение q и r:
- q = 6
- r = 3
Равенство будет записано так:
45 = 7 • 6 + 3
535. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 48 + а делится нацело на 6: при а = 6, так как 46 + 6 = 54 = 6 • 9 + 0, то есть деление даёт остаток 0.
2) 65 — а делится нацело на 8: при а = 1, так как 65 — 1 = 64 = 8 • 8 + 0, то есть деление даёт остаток 0.
3) 96 — а при делении на 9 даёт остаток 4: при а = 2, так как 96 — 2 = 94 = 9 • 10 + 4, то есть деление даёт остаток 4.
536. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 53 + а делится нацело на 7: при а = 3, так как 53 + 3 = 56 = 7 • 8 + 0, то есть деление даёт остаток 0.
2) а + 24 при делении на 5 даёт остаток 2: при а = 3, так как 3 + 24 = 27 = 5 • 5 + 2, то есть деление даёт остаток 2.
537. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?
Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.
В нашем примере делимое а = 211, а остаток r = 26. Можем найти bq:
bq = а — r = 211 — 26 = 185.
Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r < b. Это значит, что искомый делитель b должен быть больше числа 26 (остатка).
Подберём два множителя, один из которых больше 26, а произведение которых равно 185:
37 • 5 = 185.
Проверка:
211 = 37 • 5 + 26
Ответ: Катя делила на число 37.
538. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?
Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.
В нашем примере делимое а = 111, а остаток r = 7. Можем найти bq:
bq = а — r = 111 — 7 = 104.
Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r < b. Это значит, что искомый делитель b должен быть больше числа 7 (остатка).
Подберём два множителя, один из которых больше 7, а произведение которых равно 104:
- 104 • 1 = 104.
- 52 • 2 = 104.
- 26 • 4 = 104.
- 13 • 8 = 104.
- 8 • 13 = 104.
Проверка:
- 111 = 104 • 1 + 7
- 111 = 52 • 2 + 7
- 111 = 26 • 4 + 7
- 111 = 13 • 8 + 7
- 111 = 8 • 13 + 7
Ответ: Миша мог делить число 111 на числа: 8, 13, 26, 52 и 104.
539. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4. На какое число делил Павел?
Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.
В нашем примере делимое а = 70, а остаток r = 4. Можем найти bq:
bq = а — r = 70 — 4 = 66.
Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r < b. Это значит, что искомый делитель b должен быть больше числа 4 (остатка).
Подберём два множителя, один из которых больше 4, а произведение которых равно 66:
- 66 • 1 = 66.
- 33 • 2 = 66.
- 22 • 3 = 66.
- 11 • 6 = 66.
- 6 • 11 = 66.
Проверка:
- 66 = 66 • 1+ 4
- 66 = 33 • 2 + 4
- 66 = 22 • 3 + 4
- 66 = 11 • 6 + 4
- 66 = 6 • 11 + 4
Ответ: Павел мог делить число 70 на числа: 6, 11, 22, 33 и 66.
540. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?
Невисокосный год включает в себя 365 дней, а високосный — 366 дней. Посчитаем сколько это недель:
- 365 = 7 • 52 + 1
- 366 = 7 • 52 + 2
Это значит, что если год невисокосный, то наибольшее количество понедельников может быть 53, но только при условии, что этот год начинается с понедельника.
Если год високосный, то наибольшее количество понедельников также 53, но год может начинаться либо с понедельника, либо со вторника.
Ответ: 53 понедельника.
541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?
Осенние месяцы: сентябрь, октябрь и ноябрь. В сентябре и ноябре по 30 дней, а в октябре — 31 день. Посчитаем сколько недель может быть в этих месяцах:
- 30 = 7 • 4 + 2
- 31 = 7 • 4 + 3
То есть в сентябре и ноябре 4 недели и 2 дня, а в октябре 4 недели и 3 дня.
По условию, суббот и понедельников в этом месяце больше, чем пятниц. Значит, это должен быть октябрь и начинаться он должен в субботу. В этом случае пятниц будет 4 штуки, а суббот и понедельников по 5 штук.
Выясним, каким днём недели будет 19-е число:
- 19 = 7 • 2 + 5
Мы выяснили, что месяц должен начинаться в субботу, значит 19-у число — это пятый день от субботы включительно. Значит 19-е число будет в среду.
Ответ: Девятнадцатое число — это суббота, а месяц — октябрь.
542. Известно, что число а — делимое, число b — делитель, причём а < b. Найдите неполное частное и остаток при делении числа а на число b.
Правило нахождения делимого: a = bq + r.
По условию делимое а меньше делителя b. Это возможно только в том случае, если делимое равно нулю, а остаток равен самому делимому а:
a = 0 • q + r
a = r
Ответ: неполное частное равно 0, а остаток равен а.
543. Докажите, что последняя цифра числа а равна остатку при делении этого числа на 10.
Для того, чтобы разделить число оканчивающееся нулём на 10, надо отбросить ноль, находящийся в разряде единиц, и записать получившееся число. Например:
- 70 : 10 = 7
- 150 : 10 = 15
- 1 760 : 10 = 176
- и т.д.
Мы знаем, что правило нахождения делимого: a = bq + r и при делении нацело остаток r = 0. Это значит, что правило нахождения делимого при делении на 10 числа, оканчивающегося на ноль будет записываться так:
- a = b • 10 + 0
Если же мы будет делить на 10 число не оканчивающееся нулём, то можем представить его как сумму числа, оканчивающуюся нулём и остаток:
- 75 = 70 + 5 = 7 • 10 + 5
- 123 = 120 + 3 = 12 • 10 + 3
- 6534 = 6530 + 4 = 653 • 10 +4
Мы видим, что последняя цифра всегда равна остатку при делении этого числа на 10.
- a = b • 10 + r, где r — это количество единиц в записи числа.
544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:
1) при делении на 3 даёт в остатке 1
3х + 1
2) при делении на 8 даёт в остатке 3
8х + 3
3) при делении на 11 даёт в остатке 7
11х + 7
Упражнения для повторения
545. Упростите выражение и найдите его значение:
1) 14а • 6b, если а = 2, b = 3
14а • 6b = 84аb
если а = 2, b = 3
84аb = 84 • 2 • 3 = 84 • 6 = 504
2) 25m • 3n, если m = 8, n = 1
25m • 3n = 75mn
если m = 8, n = 1
75mn = 75 • 8 • 1 = 75 • 8 = 600
3) 5х + 8х — 3х, если x = 17
5х + 8х — 3х = 13x — 3x = 10x
если x = 17
10x = 10 • 17 = 170
4) 16y — y + 5у, если у = 23
16y — y + 5у = 15y + 5y = 20y
если у = 23
20y = 20 • 23 = 460
546. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть ширина прямоугольника равна х см, тогда длина прямоугольника — (х + 3) см. По условию, периметр прямоугольника 54 см. Сумма длины и ширины прямоугольника равна половине его периметра.
Составим уравнение:
х + (х + 3) = 54 : 2
х + х + 3 = 27
2х + 3 = 27
2х = 27 — 3
2х = 24
х = 24 : 2
х = 12 (см) — ширина прямоугольника.
х + 3 = 12 + 3 = 15 (см) — длина прямоугольника.
Ответ: длина прямоугольника 15 см, а ширина — 12 см.
Задача от мудрой совы
547. Известно, что верёвка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью:
1) одной верёвки отмерить 2 мин
Можно поджечь эту верёвку одновременно с друх сторон. Тогда эта верёвка сгорит ровно за половину отведённого времени 4 : 2 = 2 (минуты).
2) двух таких верёвок отмерить 3 мин?
Можно поджечь одновременно первую веревку с двух сторон, а вторую с одной стороны.
Когда же первая верёвка догорит (через 2 минуты) вторую верёвку надо поджечь с другой стороны.
Скорость сгорания её остатка уменьшится в 2 раза и она догорит через 2 : 2 = 1 (минуту).
В результате вторая верёвка догорит через 3 минуты от начала эксперимента.
- Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
- Переход на главную страницу сайта
Источник
В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.
Общее представление о делении с остатком
Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, 8 конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по 2 конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток 2, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:
Определение 1
Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.
В чем состоит смысл деления с остатком?
В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его a), а после его деления образуется остаток, условно d. У нас остались числа b и c. Есть два основных подхода к их обозначению:
1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.
2) если b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.
Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число 13 было разделено на 4. В итоге мы имеем два числа – 3 и 1. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:
1) тринадцать предметов были сгруппированы по 4. У нас получилось 3 группы, а в исходном множестве остался всего 1 предмет;
2) тринадцать предметов разложили по 4 группам. У нас получилось, что в каждой группе по 3 предмета, а остаток равен 1.
Если натуральное число a всегда можно разделить с остатком на любое натуральное b, то можно выделить следующие ситуации:
1. A можно разделить на b без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда d будет равно 0. Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.
2. A может быть меньше b. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число c будет равно нулю, а остаток равен a (то есть числу предметов в исходном множестве).
3. A может делиться на b с остатком. Тогдазначения a, b, c и d будут натуральными числами.
Подводим итог:
Определение 2
Результат деления натуральных чисел a и b с остатком – это два числа c и d, которые либо оба являются натуральными, либо одно из них равно нулю.
Основные понятия, используемые при делении с остатком
Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.
То натуральное число, которое делят на части, принято называть делимым, а то, на которое делят – делителем. Получившиеся в результате два числа мы называем соответственно остатком и неполным частным. К примеру, если мы разделим 8 на 3, то в итоге неполным частным будет 2, и остатком тоже 2.
Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение «÷», смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение 16:3 означает деление одного натурального числа на другое с остатком.
Обозначим неполное частное буквой с, остаток – d, исходное число – a, а делитель – b. Тогда суть процесса деления в буквенном виде мы можем выразить как a:b=c (ост. d).
Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель = неполное частное (ост. остаток).
Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.
Задачи, в которых используется деление с остатком
В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:
1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.
Например:
Пример 1
У нас есть 67 шаров, которыми мы будем наряжать елки. Если на каждую елку нужно 15 шаров, сколько всего елок можно нарядить? Результат мы получим после деления с остатком.
Другой пример:
Пример 2
У нас есть 162 книги, которые нужно упаковать в 40 ящиков. Число книг, которое мы будем класть в каждую коробку, можно определить в результате деления 162 на 40.
Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)
Например, на заводе произведено 6 113 л молока. Его нужно разлить в бутылки по 2 л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится 3 часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.
2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.
Например:
Пример 3
У нас есть 197 конфет, которые раскладываются по коробкам. Мы знаем число этих коробок – оно равно 20. Деление 197 на 20 подскажет нам, сколько конфет остались неупакованными.
Пример 4
Чтобы изготовить бетонную плиту, надо израсходовать 750 кг цемента. Если мы закупили 12 900 кг, на сколько плит нам хватит? Результат мы вычислим в результате деления с остатком.
Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления
Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.
У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как a:b=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.
Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.
Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:
Определение 3
Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.
Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:
Пример 5
Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.
Решение
Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).
Ответ: делимое будет равно 79.
Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.
Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.
Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:
Определение 4
Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.
У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.
Пример 6
Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.
Решение
Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.
Ответ: остаток от деления равен 7.
Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d):b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d):b.
Определение 5
Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.
Пример 7
Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.
Решение
Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13):52=208:52=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).
Ответ: неполное частное равно 4.
Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d):c=b. Также будет верно b=(a−d):c. Сформулируем правило:
Определение 6
Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.
Возьмем пример решения такой задачи.
Пример 8
Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.
Решение
Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:
Ответ: делитель равен 25.
Источник