Каким свойством обладает радиус проведенный в точку касания

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».

И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.

В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

 Итак, приступим!

Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

• при внешнем касании: ( displaystyle {{O}}{{O}_{1}}=R+r);
• при внутреннем касании: ( displaystyle {{O}}{{O}_{1}}=R-r).

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор.

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке – зеленого) угла ( displaystyle AOB).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Пишем:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись.

Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).

• ( displaystyle OB=OC) – равные катеты
• ( displaystyle OA) – общая гипотенуза

( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)

(заглядываем в тему “Прямоугольный треугольник”, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай! ????