Каким свойством обладает сторона описанного около окружности

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106). 

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107). 

Свойства вписанной окружности

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны. 

Например, на рисунке 8.106 . 

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны. 

Например, на рисунке 8.107 . 

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:

1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике: 

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108); 

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника. 

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают : 

1) для равностороннего треугольника со стороной :

, (8.34)

; (8.35)

2) для произвольного треугольника со сторонами  и площадью : 

, (8.36)

; (8.37)

3) для прямоугольного треугольника с катетами  и гипотенузой : 

, (8.38)

; (8.39)

4) для квадрата со стороной  и диагональю : 

, (8.40)

; (8.41)

5) для прямоугольника с диагональю : 

; (8.42)

6) для ромба с высотой : 

; (8.43)

7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность: 

. (8.44)

Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами  и площадью , по формуле  найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);

8) для правильного шестиугольника со стороной : 

, (8.45)

. (8.46)

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка  является центром вписанной в него и описанной около него окружностей. 

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .

Решение. Так как площадь круга радиуса  находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной  находят по формуле , то согласно условию задачи запишем: , .

А так как , то , , , , .

Ответ: .

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника. 

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами  и  находят по формуле .

Пусть , тогда  (рис. 8.118).

Получим: , , откуда , следовательно, , .

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: , . Согласно формуле 8.42 .

Ответ: .

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8. 

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

, , .

По формуле  найдем площадь ромба: .

Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .

Ответ: 2,4.

Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна .

Решение. Площадь правильного треугольника со стороной  находят по формуле: .

Зная площадь треугольника, найдем его сторону: , , . 

По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: .

По формуле 8.30 найдем длину окружности: .

Ответ: .

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой  находят по формуле 8.38. Тогда . 

Так как треугольник равнобедренный, то его катеты  и  раны и по теореме Пифагора , откуда , . 

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае , .

Ответ: .

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка  является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).

Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат  со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то .

Пусть отрезок . По свойству касательных  и .

Тогда по теореме Пифагора  или , откуда , .

Найдем катет : .

Найдем площадь треугольника: , .

Ответ: 60.

Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: , откуда . 

Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.

В свою очередь по формуле Герона  найдем площадь треугольника. Так как , то .

Тогда .

Ответ:  .

Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции. 

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , .

По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , .

Согласно формуле  найдем площадь трапеции: .

Ответ: 45.

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию  (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции .

Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36:

, .

Зная, что  и вводя коэффициент пропорциональности , получим , .

Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то , откуда . Тогда , .

Поскольку четырехугольник  является прямоугольником, то , тогда .

Согласно теореме Пифагора запишем:

, ;

, .

По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :

.

Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .

Ответ: .

Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна .

Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: . 

По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как , то . 

Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда , а .

Найдем площадь кольца: , .

Ответ: .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. 

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

Длину окружности радиуса  находят по формуле: 

. (8.30)

Площадь круга радиуса  находят по формуле: 

. (8.32)