Каким свойством обладает внешний угол
Основные определения
Прежде чем рассмотреть определение внешнего угла треугольника, напомним несколько основных определений из начального курса геометрии, а именно:
- угла и треугольника;
- смежных углов;
- параллельных прямых.
Угол и треугольник являются геометрическими фигурами. Угол состоит из точки (вершины) и двух лучей (сторон угла), которые исходят из данной точки. Треугольник представляет собой три точки (вершины), соединённые отрезками (сторонами). Треугольник имеет три угла.
Определение 1
Смежными называют два угла, имеющие одну общую сторону, а другие две стороны являются продолжениями друг друга.
На рисунке ниже смежными углами являются углы $ADB$ и $BDC$. $angle ADB + angle BDC = angle ADC = 180^{circ}$.
Рисунок 1. Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Параллельными называются две непересекающиеся прямые на одной плоскости. Секущей по отношению к двум прямым называется прямая, которая пересекает две прямые в двух точках. Если две прямые параллельны, то в случае пересечения пары этих прямых секущей, получившиеся в результате этого действа накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.
Теорема о сумме углов треугольника
Понятие внешнего угла треугольника встречается в теореме о сумме углов треугольника, которая звучит следующим образом:
Теорема 1
Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$.
Приведём её доказательство.
Пусть дан произвольный $triangle ABC$. Нужно доказать, что $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$.
Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Проведём прямую $b$ через вершину $B$, которая будет параллельна стороне $AC$.
Рисунок 3. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что углы 1 и 5 – накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прмяых секущей $BC$. Делаем вывод, что: $angle 5 = angle 1, angle 4 = angle 3$.
Очевидно, глядя на рисунок, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{circ}$. Отсюда следует, что $angle 1 +angle 2 +angle 3 = 180^{circ}$ или $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$. Ч.т.д.
Внешний угол треугольника
В доказательстве теоремы о сумме углов треугольника есть два примера внешнего угла треугольника. Это углы 4 и 5. Дадим определение:
Определение 2
Внешний угол треугольника – это угол, являющийся смежным с каким-нибудь углом данного треугольника.
Имеем теорему:
Теорема 2
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов данного треугольника, не являющихся смежным с внешним углом.
Докажем эту теорему.
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 4. Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Мы видим, что угол 4 является внешним углом, смежным с 2 углом треугольника. Очевидно, что $angle 4 +angle 2 = 180^{circ}$. По теореме о сумме углов:
$(angle 1 +angle 3)+angle 2=180^{circ}$. Отсюда следует, $angle 4 = angle 1 +angle 3$. Ч.т.д.
Рассмотрим пример задачи на данную тему.
Пример 1
Задача. $triangle ABC$ – равнобедренный. $AC$ – основание этого треугольника. $AC$=37 см, внешний угол при $B$ равняется $60^{circ}$. Нужно найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 5. Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке прямая, обозначающая расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ обозначена как $CD$. В математике такое расстояние называют высотой. По определению высоты треугольника, прямая высоты перпендикулярна той стороне, на которую опущена. То есть $angle ADC = 90^{circ}$.
По теореме о внешнем угле треугольника находим $angle B$: $angle B=180-60=120^{circ}$. По теореме о сумме углов треугольника получается, что $angle A + angle C = 180-120=60$. Так как треугольник равнобедренный, углы у основания равны по $30^{circ}$.
Рассмотрим $triangle ADC$. Из вышеуказанного следует, что он прямоугольный. Из свойства прямоугольных треугольников известно, что катет такого треугольника, который лежит против угла $30^{circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $СD$ является катетом против угла $30^{circ}$, а $AC$ – гипотенуза. Поэтому справедливо утверждать, что $CD=37/2=18,5$ см.
Ответ: 18,5 см.
Таким образом, в данной статье мы получили полное представление о том, что такое внешний угол треугольника и разобрали сопутствующие теоремы.
Источник
Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.
Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d – / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.
Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ÂÑD = 2d — / 3.
Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.
Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
| Ðàñ÷åò âñåõ óãëîâ, ñòîðîí è ïëîùàäè ïî èçâåñòíûì óãëàì è ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ÷åðòåæ òðåóãîëüíèêà | |
| Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Òðåóãîëüíèê | |
| Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
| Òðåóãîëüíèê | |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
| Íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû íå îäèíàêîâîé äëèíû, ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçíîñòîðîííèìè. | |
| Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
Источник
Тема урока: «Внешний угол треугольника»
Цели урока: познакомить учащихся с новым понятием — «внешний угол треугольника»; доказать свойство внешнего угла треугольника; закрепить это свойство при решении задач.
Оборудование: кодоскоп или мультипроектор, с помощью которого на доске демонстрируются те же задания, что и у учащихся на листах с печатной основой.
Ход урока
Актуализация знаний, необходимых для введения нового понятия
Задание 1. Постройте два смежных угла.
Задание 2. а) Постройте угол, смежный данному.
б) Сколько углов, смежных данному, можно построить в каждом случае?
Ответ: _______
в) Что можно утверждать о величинах смежных углов?
Ответ. Сумма смежных углов равна _____
Задание 3. Постройте углы, смежные углам треугольника CDE.
Введение нового понятия
Определение. Внешним углом треугольника называется угол, _______________ с углом треугольника.
Проверка усвоения признаков понятия
Задание 4. Поставьте рядом с рисунком знак «+», если выделенный угол является внешним углом треугольника.
Ответ. Внешние углы изображены на рисунках ________.
Задание 5. Вычислите неизвестный внешний угол.
Создание проблемной ситуации
Задание 6. Постройте треугольник MPN и внешний угол AMP при вершине M. Заполните таблицу в соответствии с рисунком.
N
P
M
AMР
P +N
90°
60°
40°
80°
50°
100°
10°
90°
55°
65°
Какую закономерность можно подметить по таблице?
Свойство внешнего угла треугольника.
Внешний угол треугольника равен _____ двух углов, не ___________ с ним.
Дано: ∆MPN, АMР — _____.
Доказать: АMР = _____ + _____.
Доказательство.
M + N + ___ = 180° (по теореме _____).
M + АMР = ____(по свойству ________ углов).
Отсюда имеем:
M + ___ + ____ = ___ + АMР,
_____ + _____ = АMР.
Следствие. Внешний угол треугольника _____ любого внутреннего угла треугольника_______ с ним.
Вопросы учителя
1. Выделите условие теоремы.
2. Заключение теоремы.
3. Как можно выразить угол треугольника?
4. Как по-другому можно выразить угол треугольника?
5. Что можно сказать об этих равенствах?
Первичное закрепление
Задание 7. Найдите неизвестные углы треугольника
Закрепление
№ 33. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
План решения задачи:
1. Найти угол А.
2. Найти угол В.
3. Найти угол С.
Анализ и поиск решения:
1. С чего начинаем работу над задачей?
[Выполняем чертеж и отмечаем все данные на чертеже.]
2. Что можно найти по данным задачи?
[Два внутренних угла треугольника.]
3. Можно ли ответить на вопрос задачи?
[Нет. Неизвестен третий угол треугольника.]
4. Как найти неизвестный угол?
[По теореме о сумме углов треугольника.]
Оформление решения:
1. 180° – 150° = 30° — величина угла A.
2. 180° – 120° = 60° — величина угла B (как смежные).
3. 30° + 60° = 90° — сумма углов A и B.
4. 180° – 90° = 90° — величина угла C (по теореме о сумме углов треугольника).
Ответ: 30°, 60°, 90°.
Исследование:
1. Можно ли было найти неизвестные иначе?
[Да. Можно.]
2. Как?
[По свойству внешнего угла треугольника.]
3. Как применить это свойство к решению задачи?
[В треугольнике ABC B+C=150° и A+C=120° A+B+C+C=270°. C=90°.]
Решить № 37 самостоятельно.
Итоги урока
1. С каким новым понятием вы познакомились?
2. Что такое внешний угол треугольника?
3. Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
Задание на дом: п. 34, № 32, 34, 35.
Источник
Конспект урока математики
Основные дидактические цели урока:
сформировать потребность у учащихся в осуществлении творческого преобразования учебного материала с целью овладения новыми знаниями;
создать условия для закрепления знаний учащихся о сумме углов треугольника при решении задач, введения понятия внешнего угла треугольника, доказательства теоремы о внешнем угле треугольника;
сформировать у учащихся навык решения задач.
Структура урока:
актуализация знаний учащихся
введение понятия внешнего угла
доказательство теоремы о внешнем угле
отработка навыка решения задач
самостоятельная работа
итог урока
домашнее задание
В качестве эпиграфа к нашему уроку хочу привести слова великого русского поэта А.С. Пушкина «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии». Поэтому желаю вам вдохновения и хорошего настроения в работе.
Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырехтысячелетней давности. Китайцы гордятся китайским треугольником и считают, что он есть первоначалом всех фигур, и все остальные фигуры — лишь его частные случаи. Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов, а в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей.
Знает в мире каждый школьник,
Очень важен треугольник.
Ты на доску посмотри
И углы его найди.
Я предлагаю порешать задачи по готовым чертежам. Вычислите все известные углы треугольника
Какие из предложенных задач отличаются от других?
В чем это отличие ?
-Какая же тема сегодняшнего урока?
Вычислите все известные углы треугольника
– Даны углы вне треугольника.
Формирование понятия «внешний угол треугольника»
Фронтальная практическая работа.
Начертите в тетради треугольник АВС с углом В равным 110º и продолжите сторону АВ.
– Какой угол получили?
– Чему равны:
а) сумма остальных внутренних углов треугольника;
б) внешний угол при вершине В?
Попробуйте сформулировать определение внешнего угла треугольника.
Постройте внешние углы при вершинах А и С.
По готовому чертежу решаем задачу: в
равнобедренном треугольнике KDC с основанием СК, угол К равен 30º. Найти внутренние углы и внешний угол CDF треугольника КDC.
Что заметили? Сравните величину внешнего угла и сумму внутренних углов, не смежных с ним.
Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника.
внешний
70 º
70º
Формулируют определение.
Внешний угол равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
Доказывают теорему.
Отработка навыка решения задач.
1.Решить задачу № 232 (на доске и в тетрадях).
Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?
– Как будет формулироваться обратное утверждение?
– Верно ли обратное утверждение?
2.Решить задачу № 234 на доске и в тетрадях.
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115º. Найдите углы треугольника.
(рассмотреть два случая)
Дано: ∆АВС, <BCD больше < А в 2 раза.
Доказать: ∆АВС — равнобедренный.
Доказательство.
Примем <А = х, тогда <BCD = 2х.
По свойству внешнего угла:
< BCD = < A + < B, тогда
2х = х+ < B, тогда < В = х, значит,
< A = <B, т. е. ∆АВС — равнобедренный.
– Если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в два раза больше угла при основании.
Обратное утверждение верно.
Дано: ∆АВС, АВ=ВС, <BCD = 115º
Найти: < A, < B, <C.
Решение:
1.< C, <BCD – смежные. Значит,
<C = 180° – 115° = 65°.
<A = <C = 65°( по свойству равнобедренного треугольника)
3. < B = 180° – ( <A+ < C)
< B = 180° – 130° = 50°
Ответ : 65°, 65°, 50°.
Дано: ∆АВС, АВ=ВС,
Найти: < A, < B, <C.
Решение:
1.< B, <CBD — смежные, значит,
< В = 180° – 115°= 65°
2.Т. к. <A = <C ( по свойству равнобедренного треугольника), то
= (180° – 115°) :2 = 57,5 °= 57° 30´
Ответ: 65º, 57 º 30´, 57º 30´
– Итак, что мы узнали?
Научились ли мы применять свойство внешнего угла треугольника для решения задач?
Предлагаю самостоятельно решить задачи.
Поменяйтесь тетрадями, оцените работу соседа по парте.
У кого эти задачи вызвали затруднения?
Что именно вызвало затруднения?
Вариант 1.
1.Один из углов равнобедренного треугольника 96º. Найдите два других угла.
2.В ∆СDE c углом <Е = 32º проведена биссектриса CF, < CFD = 72 º . Найдите <D.
Вариант 2.
1.Один из углов равнобедренного треугольника 108º. Найдите два других угла.
2.В ∆СDE проведена биссектриса CF,
< D = 68 º , <E = 32º. Найдите <CFD.
Давайте вернемся к нашему плану.
Назовите все внешние углы треугольников, какие вы видите на слайде.
Каким свойством обладает внешний угол равнобедренного треугольника.
Оцените свою работу на уроке.
– дети называют внешние углы.
Запишите домашнее задание: п 30-31, № 235.
Источник
Учитель
Тема: «Внешний угол треугольника»
Тип урока: Ознакомление с новым материалом
Цели:
1) Познакомить учащихся с понятием внешнего угла
2) Доказать теорему о внешнем угле треугольника
3) Развить способность применять доказанную теорему в решении задач.
Оборудование: линейка, карандаш, учебник Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений , .
Ход урока
І. Устный опрос
1) Сформулировать теорему о сумме углов треугольника.
2) Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.
3) Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 35°.
4) Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами 80°.
5)
Какие углы изображены на рисунке?
6) Какие углы называются смежными?
7) Каким свойством обладают смежные углы?
8) Найдите углы смежные с углами в 30°, 45°, 60°, 90°
9) Назовите смежные углы
10) Являются ли смежными AOB и DOC?
|
11) Найдите пары смежных углов на рисунке.
12) C какими углами не смежные DAB, EAC?
ІІ. Изучение нового материала
|
– Постройте угол смежный с углом С.
– Угол, который вы построили, называется внешним углом ΔABC при вершине С.
Определение:
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол смежный с углом треугольника при этой вершине.
– Как вы думаете, можно ли еще построить внешний угол при вершине C?
– Что вы можете сказать о величине данных углов?
– Сколько всего внешних углов имеет треугольник?
Внешние углы треугольника обладают свойством, которые мы сегодня докажем.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
– Откройте учебник на стр. 66 и прочитайте внимательно.
– Где условие, где заключение?
– Что дано, что требовалось доказать?
Дано:
4 – внешний угол треугольника смежный с 3.
Доказать: 4 = 1+2
Доказательство:
– Чему равна сумма углов треугольника?
1. 1 + 2+3 = 180°
– Как найти сумму углов 1 и 2?
2. 1+ 2 = 180° – 3
– Как можно найти угол 4?
3. 4 = 180° – 3
– Что мы получим?
4. 4 = 1 + 2
ч. т.д.
– Какую теорему мы доказали?
ІІІ. Закрепление нового материала.
1) Пусть 4 = 70°. Чему равна сумма углов 1 и 2?
2) Сумма углов 1 и 2 равна 140°. Чему равен внешний угол не смежный с данными углами?
Задача 1. Внешний угол ABC при вершине C равен 120°. Найдите градусные меры углов треугольника, не смежные с ним, если известно, что один из них в 2 раза больше другого.
(с ребятами читаем еще раз условие задачи).
Дано:
BCD = 120°
B > A в 2 раза
Найдите: A и B
|
Решение:
Пусть A – х ° , тогда B = 2х° .
х +2х = 120
3х = 120
х =40 A = 40 °
B= 2 ·40° = 80°
Ответ: A = 40 °, B = 80°.
Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине B равен 108°. Найдите углы треугольника.
Дано:
Δ ABC- равнобедренный
AC – основание, DBC = 108°
Найдите: A, B, C
Решение:
1. DBC = A + C = 108° – по свойству внешних углов
2. A = C = 108° : 2 = 54° – по свойству равнобедренного треугольника
3. B = 180° – 108° = 72° – по свойству смежных углов
Ответ: A = 54°, С = 54°, B = 72°.
Итог:
– Какой угол называется внешним?
– Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
Дополнительные задания:
1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.
Ответ: 68°, 68°, 44°.
2. Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.
Ответ: 120°, 120°, 120°.
3. Найдите внешний угол при основании равнобедренного треугольника с углом в 45°.
Ответ: 135°.
№ 000 б)
|
Дано:
Δ ABC- равнобедренный
С < BCD
Найти углы Δ ABC
Решение:
Пусть С = х °, BCD = 3х°
Т. к. углы смежные и в сумме составляют 180°, то составим уравнение:
х + 3х = 180
4х = 180
х = 45
A = C = 45°
B = 90°.
Ответ: B = 90°.
ІV. Домашнее задание
п. 30, стр.66
B 1-2 стр.84
№ 000, № 000, № 000.
Источник