Каким свойством обладают диагонали параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
- В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
- Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
- Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
- Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Как найти площадь параллелограмма:
- S = a * h, где a — сторона, h — высота.
- S = a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
- S = 0,5 * (d1 * d2), где d1,d2 — две диагонали.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 * (a + b), где a — ширина, b — высота.
Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.
Записывайся на бесплатный, пробный урок по математике! Для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
- Противоположные стороны параллелограмма ABCD равны: AB = DC, BC = AD.
- Противоположные углы параллелограмма ABCD равны:∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
- Диагонали параллелограмма ABCD равны и точкой пересечения делятся пополам: BO = OD, AO = OC.
- Диагональ делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: △ABC = △CDA.
- Сумма углов в параллелограмме ABCD, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам: ∠A + ∠D = 180°.
- В параллелограмме ABCD накрест лежащие углы при диагонали равны: ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD.
- В параллелограмме ABCD сумма всех углов равна 360° градусам.
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма ABCD.
- В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d12 + d22 = 2 * (a2 + b2 ).
- Биссектриса отсекает от параллелограмма ABCD равнобедренный треугольник.
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
- Как противоположные стороны параллелограмма: AB = CD
- Как внутренние накрест лежащие равны пары углов: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
- Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD, из чего следует:
- CO = OA
- BO = DO
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
- AB || CD
- AB = CD
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
- AC — общая сторона;
- По условию AB = CD;
- ∠1 = ∠2, как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых.
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
- ∠3 = ∠4
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
- AB = CD
- BC = AD
Шаг 2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:
- AC — общая сторона;
- B = CD по условию;
- BC = AD по условию.
Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
- ∠ DCA = ∠BAC
А так как эти углы накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, значит верхняя и нижняя стороны параллельны.
- ∠DAC = ∠BCA
Эти углы накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Поэтому боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны. Значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
- CO = OA;
- DO = BO;
- углы между ними равны, как вертикальные.
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащиз углов ∠1 = ∠2.
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Источник
Определение.
Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма
Квадрат, прямоугольник и ромб – есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
| AO = CO = | d1 |
| 2 | |
| BO = DO = | d2 |
| 2 |
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a =
√d12 + d22 – 2d1d2·cosγ2 =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ2
b =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ2 =
√d12 + d22 – 2d1d2·cosδ2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
Диагонали параллелограмма
Определение.
Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 – 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 – 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 – d22
d2 = √2a2 + 2b2 – d12
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
| d1 = | 2S | = | 2S |
| d2·sinγ | d2·sinδ |
| d2 = | 2S | = | 2S |
| d1·sinγ | d1·sinδ |
Периметр параллелограмма
Определение.
Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 – 4a2
P = 2b + √2d12 + 2d22 – 4b2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
Площадь параллелограмма
Определение.
Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb
2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
Источник
Определение
Параллелограмм в геометрии — это геометрическая фигура (прямоугольник), у которой противоположные стороны лежат на параллельных прямых.
Свойства параллелограмма
- В данной фигуре противоположные стороны и противоположные углы равны: AB=CD, BC=CD, BC=AD, ∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD.
- Прилежащие к любой стороне углы в сумме дают 180º.
- Его диагонали делятся пополам точкой пересечения: AO=OC, OD=OB.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: AC2+BD2=2AB2+2BC2.
- Его диагонали делят его на два равных треугольника.
Признаки параллелограмма
Сформулируем основные ПП и обоснуем их.
Теорема
Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник будет считаться параллелограммом.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник MNOP.
MN и OP — параллельные стороны. Кроме того, OP=MN. NP — диагональ, которая делит рассматриваемую фигуру на два одинаковых треугольника: MNP и ONP. Эти треугольники приравниваются по двум сторонам и углу между ними (так как есть общая сторона NP, MN=OP изначально, а ∠1=∠2, потому что это накрест лежащие углы при секущей NP).
Из этого следует, что ∠3=∠4. Они же являются накрест лежащими при пересечении NO и MP секущей NP. Соответственно, NO и MP параллельны друг другу.
Получаем, что в четырехугольнике MNOP противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Тогда данная фигура есть параллелограмм.
Теорема
Если в четырехугольнике попарно равны противоположные стороны, то данный четырехугольник будет считаться параллелограммом.
Доказательство
Доказажем эту теорему. Возьмем четырехугольник KLMN.
LN — диагональ. Она делит данную геометрическую фигуру на два идентичных треугольника: KLN и MLN.
Данные фигуры равны между собой по трем сторонам (так как есть общая сторона LN, а KL=MN и LM=KN изначально).
Из этого делаем вывод, что ∠1=∠2.
Из этого следует, что KL параллельна MN.
А так как KL=MN и KL параллельна MN, то по первому признаку параллелограмма KLMN будет считаться параллелограммом.
Теорема
Если в четырехугольнике пересекаются диагонали и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Доказательство
Возьмем четырехугольник MNOP. Проведем MO и NP — две диагонали, пересекающиеся в точке A и делящиеся ей пополам.
ΔMAN и ΔOAP равны по первому признаку равенства (так как MA=AO, NA=AP изначально, ∠MAN=∠OAP, потому что это вертикальные углы).
Следовательно, MN=OP и ∠1=∠2. Из данного выражения получаем, что MN параллельна OP.
Тогда имеем, что в четырехугольнике MNOP стороны MN и OP равны и параллельны. Делаем вывод, что по первому признаку MNOP будет считаться параллелограммом.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Источник
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD).
Проведём диагональ (AC), разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ((AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC)), поэтому (angle 3 = angle 4). Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC), следовательно, (ADparallel BC). Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD), разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA).
Эти треугольники равны по трем сторонам ((AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC). Отсюда следует, что (ABparallel CD). Так как (AB = CD) и (ABparallel CD), то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник (ABCD), в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.
Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ((AO = OC), (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle
COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle
2). Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC)) следует, что (ABparallel CD).
Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD).
Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE). Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2), откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.
2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM)– биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.
Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), тогда (angle DAB + angle ABC =
180^{circ}).
Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM =
0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^{circ}), откуда (angle AOB = 180^circ – (angle BAN + angle ABM) =
90^circ).
3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD).
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 =
0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1). Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM), тогда (angle 2 = angle 3), откуда следует, что (ANparallel CM). Кроме того, (AMparallel CN), тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM).
Источник
МБОУ Ордынского района Новосибирской области –
Верх-Ирменская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Демакова
Свойства параллелограмма:
известные и не очень…
учебный предмет – геометрия
Работу выполнила:
ученица 8 «а» класса
Данн Марина
Работу проверила:
учитель математики
Верх – Ирмень
2009
Оглавление:
1. Введение…………………………………3
2. Начнем с «Начал»……………………3-4
3.Частные виды параллелограмма…4-5
Свойства, известные и не очень…5-12 Вывод……………………………………12 Источники информации……………13
1) Введение
Как-то на уроке геометрии учитель предложил нам доказать свойство параллелограмма, которого в учебнике не было. Оно звучало так: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Мы рассмотрели несколько задач, которые с помощью этого свойства решились очень просто.
Учитель сказала, что таких свойств много и можно даже попробовать вывести их самим. И тогда я подумала, что это может быть интересно, ведь с помощью этих дополнительных свойств можно будет еще быстрее и легче решать задачи, которые иногда кажутся трудными.
И я занялась исследованием свойств параллелограмма.
Цель:
Узнать и вывести самой как можно больше дополнительных свойствах параллелограмма, которые не изучаются в школе.
Задачи:
Ø Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств
Ø Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу
Ø Спросить у знающих людей, знакомых, старшеклассников
Ø Попробовать вывести свойства самой
2) Начнем с «Начал»
Для начала я решила узнать, откуда появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.
Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах параллелограмма.
Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».
3) Частные виды параллелограмма
Известны некоторые виды параллелограмма:
ü Прямоугольник;
ü Квадрат;
ü Ромб.
Прямоугольник – параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.
Ромб – параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.
Квадрат – равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.
Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare – сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” – четырехугольник.
Схематически пересечение и объединение свойств этих фигур можно изобразить так:
4) Свойства, известные и не очень…
В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:
· Противоположные углы и стороны равны
· Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Я предлагаю 10 дополнительных свойств:
Свойства:
· Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦
• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
• Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
• Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
• Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
• Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
• Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
• Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
· Противоположные стороны и углы параллелограмма равны.
· Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
· Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
· Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
· Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
· Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
· Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
· Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
Дано: ABCD-прямоугольник
Доказать: FEHK-ромб
Доказательство: ▲ KHA = ▲ HDE = ▲ ECF= ▲ FBK (по двум сторонам и углу между ними), значит KF=FE=EA=HK.
Если все стороны равны, то дан ромб.
· Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
· Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
5) Вывод:
Исследуя свойства параллелограмма, я увидела, что на уроках мы изучаем только очень малую часть айсберга под названием «геометрия», многое мы просто не успеваем рассмотреть. Однако то, что остается за рамками учебника очень полезно и интересно. В частности, исследуемые мною свойства. А применение этих свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее прийти к нужному результату. А на сколько важно уметь решать геометрические задачи, мы убеждаемся на каждом уроке, когда видим практическое приложение изучаемого материала. О важности математических, в частности геометрических знаний говорит тот факт, что была, в больших размерах, учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. До сих пор эту премию не получил ни один человек.
6) Источники информации:
• «Геометрия 7-9 кл»
«Просвещение» 2005г
• «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия»
Электронная энциклопедия 2007г
• «Новейший справочник школьника»
«ДОМ XXI век» 2008г
· « Ru. Wikpedia. org»
Источник