Каким свойством обладают противолежащие углы параллелограмма
Ñâîéñòâà ñòîðîí è óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà.
Ó ïàðàëëåëîãðàììà ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó, à ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ðàâíóþ âåëè÷èíó.
Äàíî:
ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì.
Äîêàçàòü:
AB=CD, AD=BC,
∠A=∠C, ∠B=∠D.
Äîêàçàòåëüñòâî:
Ïðîâîäèì â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëü BD.
Ðàññìàòðèâàåì òðåóãîëüíèêè ABD è CDB. Çäåñü âàæíî ïðàâèëüíî óêàçàòü òðåóãîëüíèêè.
1) Ñòîðîíà BD ÿâëÿåòñÿ îáùåé.
2) ∠ABD=∠CDB (êàê âíóòðåííèå íàêðåñò ëåæàùèå ïðè AB∥CD è ñåêóùåé BD)
3) ∠ADB=∠CBD (êàê âíóòðåííèå íàêðåñò ëåæàùèå ïðè AD∥BC è ñåêóùåé BD)
Òî åñòü, ∆ABD= ∆CDB (ïî ñòîðîíå è 2-ì ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì).
Èç ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí:
AB=CD, AD=BC
è ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ:
∠A=∠C.
 ïóíêòàõ 2) è 3) îáúÿñíåíî, ÷òî ∠ABD=∠CDB è ∠ADB=∠CB.
Çíà÷èò,
∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB=∠ADC,
Ò.å., ∠B=∠D. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñâîéñòâî óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå.
Ñóììà óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, êîòîðûå ïðèëåæàò ê îäíîé ñòîðîíå ñîîòâåòñòâóåò 180 ãðàäóñàì.
Ýòî ñâîéñòâî âûõîäèò èç òîãî, ÷òî óãëû, êîòîðûå ïðèëåæàò ê 1-îé ñòîðîíå ïàðàëëåëîãðàììà îêàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè îäíîñòîðîííèìè óãëàìè ïðè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.
Äëÿ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD:
∠A+∠B=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè AD∥BC è ñåêóùåé AB;
∠C+∠D=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè AD∥BC è ñåêóùåé CD;
∠A+∠D=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè AB∥CD è ñåêóùåé AD;
∠B+∠C=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè AB∥CD è ñåêóùåé BC.
Åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà:
Áèññåêòðèñû óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, êîòîðûå ïðèëåæàò ê îäíîé ñòîðîíå, — ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Áèññåêòðèñû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà — ïàðàëëåëüíû.
Áèññåêòðèñà óãëà ïàðàëëåëîãðàììà îòñåêàåò îò íåãî ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê.
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû – ïèðàìèäà, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, óãëû, øàð, ïàðàëëåëîãðàìì, ïàðàëëåëåïèïåä, ïðèçìà, ñâîéñòâà, ôîðìóëû ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà. | |
| Ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà – êîãäà îñíîâàíèåì ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îñíîâàíèÿ (èëè ïðîõîäèò ÷åðåç íåãî). | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà. | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû. | |
| Ïðèçìà ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû. | |
Источник
Цели урока:
1.Образовательная:
- Ввести понятие параллелограмма и рассмотреть
его свойство противолежащих сторон и углов
параллелограмма. - Научить учащихся применять свойство
параллелограмма при решении задач:
а) анализировать;
б) сравнивать;
в) обобщать.
2.Воспитательная:
- Воспитать уважения к культуре тувинского
народа через знакомство с предметами обихода,
жилищем кочевника; - Пробудить познавательную активность и
любознательность.
Задачи урока:
- Создание ситуации вызова: мобилизация
учащимися раннее усвоенных знаний – поддержка
интереса к новой информации – мотивация
активности; - Создание наиболее комфортных условий для
осмысления новой информации: получение
информации – осмысление – соотнесение с раннее
полученной; - Создание условий рефлексии учащихся: целостное
осмысление – обобщение – формирование
собственного мнения.
Требования к усвоению материала
В результате изучения материала учащиеся
должны:
- понимать, как применяются определение
параллелограмма и его свойство сторон и углов параллелограмма,
признак параллелограмма (по параллельности и
равенству двух сторон) - Уметь решать задачи на применение всех
изученных на уроке сведений о параллелограмме.
План урока
| № | Этап урока | Содержание работы |
| 1. | Вводная часть – 4 мин. | По изображении юрты узнавание знакомых геометрических фигур. |
| 2. | Повторение – 4 мин. | Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Равенство треугольников по ходу изучение нового материала. |
| 3. | Изучение нового материала и решение задач – 10 мин. | Свойство углов и сторон параллелограмма, признак параллелограмма ( по параллельности и равенству двух сторон). Дидактические задачи на усвоение нового материала |
| 4. | Решение задач 10 – мин | Задачи № 372 a); 374 |
| 5. | Закрепление нового материала. Самостоятельная | Задачи с взаимопроверкой. |
| 6. | Домашнее задание – 1 мин | Контрольный вопрос № 6; Задачи № 371; 375. |
| 7. | Итог урока |
Оборудование: модели плоских
четырехугольников для каждого стола; компьютер;
интерактивная доска; мел, чертежные линейки,
карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Ход урока
Презентация.
I. Вводная часть.
На экране демонстрируется тема урока и тип
урока. Слайды № 1 и 2.
Учитель. Сегодня у нас изучение нового
материала “Параллелограмм его свойства”. Урок
знакомство новым видом четырехугольника и его
свойством.
С младших классов нам встречались разные виды
геометрических фигур.
На экране появляется надпись: Слайд № 3.
“Юрта – жилище кочевника – мир геометрических
фигур”.
Справка о тувинской юрте – 1 мин. На доске
чередуются слайды с 3 по 7.
Юрта – традиционное жилище кочевников, лучше
которого не изобретено ни кем. Легкий, переносной
каркас юрты состоит из деревянных решетчатых
стен, жердей и дымового круга. Собранное жилище
покрывается войлоком ручной работы. Столетиями в
нем живут люди при 50 – градусном морозе, и при 40 –
градусной жаре. За тысячелетиями конструкция
юрты не претерпела изменений. Летом в юрте
прохладно, а зимой она натапливается быстро.
Для сборки юрты достаточно одного часа, а для
разборки 30 минут.
Средняя шестистенная юрта имеет общую площадь
27 кв. м. Но в ней веками свободно проживала семья,
состоящая более чем из 10 человек. Каждый, будь то
ребенок или взрослый, знал свое место в юрте.
Тувинская юрта – экологически чистое жилище.
На одном месте она не стоит больше полугода. По
временам года юрта меняет свое место
расположение. Летом их ставят на альпийских
лугах, покрытых коврами цветов и разнотравья
(чайлаг), осенью и весной – на солнцепеках, у
говорливых рек (чазаг, кузег). Зимой на уютном,
между высокими горами месте, где не доступны
зимние, холодные ветра (кыштаг).
Слайд №7. Внутреннее убранства тувинской юрты.
Учитель. Юрта богата геометрическими
фигурами. Какие фигуры вы узнаете.
Учащиеся. Определяют прямоугольников,
квадратов, параллелепипедов, круг и называют
предметов обихода. Находят сходные фигуры на
своих столах.
Действие учителя. Помогает, подсказывает
раннее незнакомые фигуры.
Слайд № 8: Виды четырехугольников.
Учитель. По слайду показывает определенные
четырехугольники: квадрат, прямоугольник, ромб,
которые являются видами одного четырехугольника
– параллелограмма.
Учащиеся. Записывают тему урока.
Параллелограмм.
Следует обратить их внимание на правильность
написания слова “Параллелограмм”
Перед тем как ввести определение
параллелограмма нужно повторить признак
параллельности прямых.
II. Повторение. На доске показывается слайд №
9.
Учитель. Как называется прямая c?;
Определите виды углов, которые образуются при
пересечении двух прямых секущей.
Не следует требовать воспроизведения
определений. Достаточно, если учащиеся ответят
на вопросы по готовому рисунку. Слайд 10.
Учащиеся. Письменно отвечают на вопросы. На
готовых подписанных листочках появляются ответы
в виде: 1. L1 и L 5; и.т.п. Всего 4 вопроса:
1. Пары внутренних накрест лежащих углов;
2. Пары внутренних односторонних углов;
3. Какие равенства обозначенных углов должны
выполняться, чтобы прямые a и b были
параллельными?
4. Найдите все углы, если прямые a и b
параллельны и угол 1 = 120о
III. Изучение нового материала.
Учитель. 1. Определение параллелограмма по
слайду № 11.
Учащиеся. После показа слайда один из
учеников вслух читает определение по учебнику.
Следует обратить внимание учащихся на то, что
определение параллелограмма позволяет делать
два вывода:
– если известно, что некоторый четырехугольник
является параллелограммом, то можно сделать
вывод о том, что его противоположные стороны
параллельны;
– если известно, что у некоторого
четырехугольника противоположные стороны
попарно параллельны, то он является
параллелограммом.
Закрепление определения параллелограмма
проводится в ходе фронтальной работы с классом.
Задачи, требующие простых мыслительных
операций с данными: слайд № 11 по щелчку
демонстрируется задача № 1:
Дан треугольник. Параллельно двум сторонам
проведены прямые. Определите вид
четырехугольника.
Учащиеся. Устно.По построению
противолежащие стороны четырехугольника
параллельны, значит, это параллелограмм.
На слайде № 12 появляется задача № 2.
Учащиеся. Письменно на своих листочках
отвечают на вопросы:
- Назовите противоположные углы параллелограмма
- Назовите прилежащих углов параллелограмма
- Чему равна сумма внутренних углов
параллелограмма - Чему равна сумма прилежащих углов
параллелограмма. - По каким приметам можно узнать параллелограмм?
Ответы в виде: 1. LК и L Р;
После работы сдают на проверку:
1 Тема: Признак параллельности прямых
2. Тема: Четырехугольник.
2.Свойство противоположных сторон и углов
параллелограмма.
Учитель. По слайду № 14 с анимациями объясняет
и показывает свойство параллелограмма.
Учащиеся. Внимательно следят, слушают и
отвечают на вопросы учителя.
Учитель. В ходе доказательства:
– Как называется отрезок, соединяющий две
противолежащие вершины параллелограмма?
– Есть параллельные отрезки: как еще называют
диагональ АС?
– Что значит, треугольники равны. Вывод.
Учащиеся. Формулируют свойство по слайду № 14.
Для закрепления свойств противолежащих
сторон и углов параллелограмма учащимся
предложить устные задачи.
Слайд № 14 по щелчку на экране появляются
задачи:
- По известным сторонам найти периметр
параллелограмма. - Один из углов параллелограмма известен.
Определите градусные меры остальных углов
параллелограмма.
Учащиеся. По готовому рисунку работают устно.
Слайд № 14.
После оформляется доказанное свойство в
тетрадях. По слайду № 15.
Учитель. На доске показывает построение
параллелограмма. Выделяет что дано, что нужно
доказывать.
Вызывается один из сильных учеников к доске.
Ученик. По слайду комментирует, остальные
оформляют в тетрадях.
Учитель. Помогает и проверяет выполненные
письменные работы учащихся.
IV. Самостоятельная работа
Учащиеся. Выполняют самостоятельную работу с
взаимопроверкой.
Задача № 1. Слайд № 16
Выяснить являются ли следующие
четырехугольники параллелограммами –
Ответы в виде: “да” или “нет”.
Задачи № 2 и № 3 заранее записаны на доске:
Задача №2. Известно, что в параллелограмме
один угол в 2 раза больше другого. Являются ли эти
углы противолежащими?
Задача №3. Дан АВСД параллелограмм.
Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке
К. Определите вид полученного треугольника АВК.
Учитель. Демонстрирует ответы.
Задача №1. На слайде № 16 рисунок 1.
Ответили “Да”, после нажатие кнопки “Да”
гиперссылка на слайд № 21, для возврата к слайду №
16 стрелка “назад”, а если ответили “Нет”
гиперссылка на 14 слайд, для возврата к слайду № 16
стрелка “вперед”.
На слайде № 16 рисунок 2. Ответили “Да”,
после нажатие кнопки “Да” гиперссылка на слайд
№ 20, для возврата к слайду № 16 стрелка “назад”, а
если ответили “Нет” гиперссылка на слайд 17, для
возврата к слайду № 16 стрелка “вперед”.
На слайде № 16 рисунок 3. Ответили “Да”,
после нажатие кнопки “Да” гиперссылка на слайд
№ 18, для возврата к слайду № 16 стрелка “назад”, а
если ответили “Нет” гиперссылка на слайд 9, для
возврата к слайду № 16 стрелка “вперед”.
На слайде № 16 рисунок 4. Ответили “Да”,
после нажатие кнопки “Да” гиперссылка на слайд
№ 19, для возврата к слайду № 16 стрелка “назад”, а
если ответили “Нет” гиперссылка на слайд 20, для
возврата к слайду № 16 стрелка “вперед”.
Задача № 2. Ответ на вторую задачу “У
параллелограмма противолежащие углы равны”.
Задача № 3. Слайд № 22. Треугольник
равнобедренный, по определению параллелограмма.
Были предложены 6 вопросов: 6 – “5”; 4 -5-“4”; 3-
“3”.
Учитывая итоги предыдущих двух работ, в журнал
выставляются среднее арифметическое двух
оценок.
V. Домашнее задание: Повторить теорию.
Задачи из учебника № 374; 376 б) – аналогичные
задачи решались на уроке.
VI. Подведение итогов урока.
Литературы.
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7 – 9. – М.:
Просвещение, 2004.
2. Алтынов П.И. Геометрия. Тесты.7 – 9 классы. – М.:
Дрофа, 2000.
3. Гаврилова Н.Ф.Поурочные разработки по
геометрии, 8 класс. – М. “ВАКО”, 2008.
Источник
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
- В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
- Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
- Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
- Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Как найти площадь параллелограмма:
- S = a * h, где a — сторона, h — высота.
- S = a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
- S = 0,5 * (d1 * d2), где d1,d2 — две диагонали.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 * (a + b), где a — ширина, b — высота.
Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
- Противоположные стороны параллелограмма ABCD равны: AB = DC, BC = AD.
- Противоположные углы параллелограмма ABCD равны:∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
- Диагонали параллелограмма ABCD равны и точкой пересечения делятся пополам: BO = OD, AO = OC.
- Диагональ делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: △ABC = △CDA.
- Сумма углов в параллелограмме ABCD, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам: ∠A + ∠D = 180°.
- В параллелограмме ABCD накрест лежащие углы при диагонали равны: ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD.
- В параллелограмме ABCD сумма всех углов равна 360° градусам.
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма ABCD.
- В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d12 + d22 = 2 * (a2 + b2 ).
- Биссектриса отсекает от параллелограмма ABCD равнобедренный треугольник.
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
- Как противоположные стороны параллелограмма: AB = CD
- Как внутренние накрест лежащие равны пары углов: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
- Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD, из чего следует:
- CO = OA
- BO = DO
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
- AB || CD
- AB = CD
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
- AC — общая сторона;
- По условию AB = CD;
- ∠1 = ∠2, как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых.
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
- ∠3 = ∠4
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
- AB = CD
- BC = AD
Шаг 2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:
- AC — общая сторона;
- B = CD по условию;
- BC = AD по условию.
Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
- ∠ DCA = ∠BAC
А так как эти углы накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, значит верхняя и нижняя стороны параллельны.
- ∠DAC = ∠BCA
Эти углы накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Поэтому боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны. Значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
- CO = OA;
- DO = BO;
- углы между ними равны, как вертикальные.
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащиз углов ∠1 = ∠2.
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Источник