Каким свойством обладают стороны четырехугольника описанного около окружности
Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.
Рис.1
Замечание. В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
Рис.2
В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AE + BE + CG + DG,
Поскольку
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
AD + BC = AB + CD,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству
AD +BC = AB + CD,
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Рис.3
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство
OH = OE,
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство
OH = OG,
Следовательно, справедливы равенства
OH = OE = OG,
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
Рис.4
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC.
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает прямую DC в точке K, и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
- Точка C лежит между точками K и D (рис.6)
Рис.5
Рис.6
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольниканеравенству треугольниканеравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник
Опубликовано 8 месяцев назад по предмету
Геометрия
от miilo
Ответ
Ответ дан
Хеда15в описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
Ответ
Ответ дан
Хеда15ну ладно , в учебнике поищу
Не тот ответ, который вам нужен?
Найди нужный
Самые новые вопросы
Математика – 8 месяцев назад
Сколько здесь прямоугольников
История – 1 год назад
Какое управление было в древнейшем риме? как звали первого и последнего из царей рима?
Литература – 1 год назад
Уроки французского ответе на вопрос : расскажите о герое по следующему примерному плану: 1.почему мальчик оказался в райцентре ? 2.как он чувствовал себя на новом месте? 3.почему он не убежал в деревню? 4.какие отношения сложились у него с товарищами? 5.почему он ввязался в игру за деньги? 6.как характеризуют его отношения с учительницей ? ответе на эти вопросы пожалуйста ! сочините сочинение пожалуйста
Русский язык – 1 год назад
Помогите решить тест по русскому языку тест по русскому языку «местоимение. разряды местоимений» для 6 класса
1. укажите личное местоимение:
1) некто
2) вас
3) ни с кем
4) собой
2. укажите относительное местоимение:
1) кто-либо
2) некоторый
3) кто
4) нам
3. укажите вопросительное местоимение:
1) кем-нибудь
2) кем
3) себе
4) никакой
4. укажите определительное местоимение:
1) наш
2) который
3) некий
4) каждый
5. укажите возвратное местоимение:
1) свой
2) чей
3) сам
4) себя
6. найдите указательное местоимение:
1) твой
2) какой
3) тот
4) их
7. найдите притяжательное местоимение:
1) самый
2) моего
3) иной
4) ничей
8. укажите неопределённое местоимение:
1) весь
2) какой-нибудь
3) любой
4) этот
9. укажите вопросительное местоимение:
1) сколько
2) кое-что
3) она
4) нами
10. в каком варианте ответа выделенное слово является притяжательным местоимением?
1) увидел их
2) её нет дома
3) её тетрадь
4) их не спросили
Русский язык – 1 год назад
Переделай союзное предложение в предложение с бессоюзной связью.
1. океан с гулом ходил за стеной чёрными горами, и вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, а пароход весь дрожал.
2. множество темноватых тучек, с неясно обрисованными краями, расползались по бледно-голубому небу, а довольно крепкий ветер мчался сухой непрерывной струёй, не разгоняя зноя
3. поезд ушёл быстро, и его огни скоро исчезли, а через минуту уже не было слышно шума
Русский язык – 1 год назад
помогите прошу!перепиши предложения, расставляя недостающие знаки препинания. объясни, что соединяет союз и. если в предложении один союз и, то во втором выпадающем списке отметь «прочерк».пример:«я шёл пешком и,/поражённый прелестью природы/, часто останавливался».союз и соединяет однородные члены.ночь уже ложилась на горы (1) и туман сырой (2) и холодный начал бродить по ущельям.союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2) однородные членычасти сложного предложения—.поэт — трубач зовущий войско в битву (1) и прежде всех идущий в битву сам (ю. янонис).союз и соединяет:1) части сложного предложенияоднородные члены,2)
Физика – 1 год назад
Вокруг прямого проводника с током (смотри рисунок) существует магнитное поле. определи направление линий этого магнитного поля в точках a и b.обрати внимание, что точки a и b находятся с разных сторон от проводника (точка a — снизу, а точка b — сверху). рисунок ниже выбери и отметь правильный ответ среди предложенных.1. в точке a — «от нас», в точке b — «к нам» 2. в точке a — «к нам», в точке b — «от нас» 3. в обеих точках «от нас»4. в обеих точках «к нам»контрольная работа по физике.прошу,не наугад важно
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Источник
Цели.
Образовательная. Создание условий для
успешного усвоения понятия описанного
четырёхугольника, его свойства, признака и
овладения умениями применять их на практике.
Развивающая. Развитие математических
способностей, создание условий для умения
обобщать и применять прямой и обратный ход
мыслей.
Воспитательная. Воспитание чувства
красоты эстетикой чертежей, удивления необычным
решением, формирование организованности,
ответственность за результаты своего труда.
Задачи.
1. Изучить определение описанного
четырёхугольника.
2. Доказать свойство сторон описанного
четырёхугольника.
3. Познакомить с двойственностью свойств сумм
противоположных сторон и противоположных углов
вписанного и описанного четырёхугольников.
4. Дать опыт практического применения
рассмотренных теорем при решении задач.
5. Провести первичный контроль уровня усвоения
нового материала.
Оборудование:
- компьютер, проектор;
- учебник “Геометрия. 10-11 классы” для
общеобразоват. учреждений: базовый и профил.
уровни авт. А.В. Погорелов.
Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.
Использование компьютера при подготовке
учителя к уроку.
С помощью стандартной программы операционной
системы Windows созданы к уроку:
- Презентация.
- Таблицы.
- Чертежи.
- Раздаточный материал.
План урока
Ход урока
1. Организационный момент. Приветствие.
Сообщение темы и цели урока. Запись в тетради
даты и темы урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Работа над понятием описанного
многоугольника.
Определение. Многоугольник называется описанным
около окружности, если все его стороны касаются
некоторой окружности.
Вопрос. Какие из предложенных многоугольников
являются описанными, а какие не являются и
почему?
<Презентация. Слайд №2>
Ответ.
| Нарушение “касаются” | Рисунки 1 и 2 |
| Нарушение “все стороны” | Рисунки 2 и 3 |
| Нарушение “многоугольник” | Рисунок 6 |
| Нарушение “некоторой окружности” | Рисунок 5 и 7 |
Доказательство свойств описанного
четырёхугольника.
<Презентация. Слайд №3>
Теорема. В описанном четырёхугольнике суммы
противоположных сторон равны.
Учащиеся работают с учебником, записывают
формулировку теоремы в тетрадь.
Вопросы.
1. Представить формулировку теоремы в форме
условного предложения.
2. Каково условие теоремы?
3. Каково заключение теоремы?
Ответ. Если четырёхугольник описан около
окружности, то суммы противолежащих сторон
равны.
Проводится доказательство, учащиеся делают
записи в тетради.
<Презентация. Слайд №4>
Учитель. Отметим двойственность
ситуаций для сторон и углов описанного и
вписанного четырёхугольников.
Закрепление полученных знаний.
Задачи.
четырёхугольника 8 м и 12 м . Можно ли найти
периметр?
Слайд №5>
Ответ. 1.10 м. 2. 20 м. 3. 21 м
Доказательство признака описанного
четырёхугольника.
Сформулировать обратную теорему.
Ответ. Если в четырёхугольнике суммы
противоположных сторон равны, то в него можно
вписать окружность. (Вернуться к слайду 2, рис.7)<Презентация. Слайд №2>
Учитель.Уточните формулировку теоремы.
Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого
четырёхугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
Работа с учебником. Познакомиться с
доказательством признака описанного
четырёхугольника по учебнику.
Применение полученных знаний.
3. Задачи по готовым чертежам.
1. Можно ли вписать окружность в
четырёхугольник с противоположными сторонами 9 м
и 4 м , 10 м и 3 м?
2. Можно ли вписать окружность в равнобокую
трапецию с основаниями 1 м и 9 м, высотой 3 м?
<Презентация. Слайд №6>
Письменная работа в тетрадях
.
Задача. Найти радиус окружности, вписанной
в ромб с диагоналями 6 м и 8 м.
<Презентация. Слайд № 7>
4. Самостоятельная работа.
<Приложение 2>
1 вариант
1. Можно ли вписать окружность
1) в прямоугольник со сторонами 7 м и 10 м,
2) в ромб?
2. Противоположные стороны четырёхугольника,
описанного около окружности, равны 7 м и 10 м.
Найти периметр четырёхугольника.
3. Равнобокая трапеция с основаниями 4 м и 16 м
описана около окружности.
Найти:
1) радиус вписанной окружности,
2) радиус описанной окружности.
2 вариант
1. Можно ли вписать окружность:
1) в параллелограмм со сторонами 6 м и 13 м,
2) в квадрат?
2. Противоположные стороны четырёхугольника,
описанного около окружности, равны 9 м и 11 м. Найти
периметр четырёхугольника.
3. Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м
описана около окружности с радиусом 2 м.
Найти:
1) основание трапеции,
2) радиус описанной окружности.
5. Домашнее задание. П.86, № 28, 29, 30.
6. Итог урока. Проверяется самостоятельная
работа, выставляются оценки.
<Презентация. Слайд № 8>
Источник
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 3153300
Зачетный Опарыш
более месяца назад
Просмотров : 16
Ответов : 1
Лучший ответ:
Энджелл
Суммы противоположных сторон равны:
a c=b d
более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Лучшее из галереи за : неделю месяц все время
Другие вопросы:
Суррикат Мими
Ребят пожалуйста помогите. 1) Что из перечисленного способствовало объединению русских земель а) единая православная вера б) единая культура в) один язык г) необходимость борьбы против внешних врагов д) всё вышеперечисленное Заранее спасибо =)
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 7
Ответов : 1
Васян Коваль
Помогите решить плизззз!
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 4
Ответов : 1
Онтонио Веселко
Первый уровень на котором изучаются химические вещества?
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 5
Ответов : 1
Мари Умняшка
Cсоставить стих из слов like,climb,run,fun
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 6
Ответов : 1
Пармезан Черница
1 было ли сходство в правлении римской республики и афинами при перикле ? если да то в чём ? 2 каково содержание второй части библии – нового завета можно ответить только на один вопрос
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 4
Ответов : 1
Источник
Ответ
Ответ дан
Аккаунт удален
Суммы противоположных сторон равны:
a+c=b+d