Каким свойством обладают точки

• 2 класс
  • Математика
• 3 класс
  • Математика
• 4 класс
  • Математика
• 5 класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык
• 6 класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык
• 7 класс
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
• 8 класс
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
• 9 класс
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
• 10 класс
  • Геометрия
  • Химия
• 11 класс
  • Геометрия

Этой статьей начинаем с Вами изучение одного из самых сложных и запутанных, но одновременно прекрасных, выверенных, наглядных и точных направлений математики – общей топологии. Название – не игра слов, к концу этой заметки Вы поймете, как математика относится ко всему роду homo sapiens. Начинаем!

Это так называемая бутылка Клейна – не правда ли завораживает? Какими свойствами обладает это фигура, можно ли ее построить в нашем трехмерном мире, как пройти из одной точки бутылки Клейна в другую?

Тополо́гия (от др. греч τόπος — место и λόγος — слово, учение)  – наука, изучающая качественные свойства фигур не только в привычном нам трехмерном мире, но и в мирах с большим и меньшим количеством измерений (уж поверьте все вы сталкивались с ними, только может быть не догадывались).

Самый простой пример пространства меньшей размерности – это плоскость у которой размерность равна 2, подобно тому, как у прямоугольника есть ширина и длина.

Проделаем такой эксперимент: возьмем на плоскости квадрат и начнем его сжимать по краям, как бы сглаживая углы. После некоторого количества движений и выравниваний мы сможем получить круг – другую геометрическую фигуру. Процесс обратим – из этого круга мы всё так же можем получить квадрат. Значит ли это, что квадрат равен кругу, а круг квадрату? Конечно нет, но обычный человек сказал бы: “Они подобны”, а тополог скажет: “Они гомеоморфны или получены гомеоморфным преобразованием”.

Стрелки – направление растягивания.

Страшное слово? Как бы не так! Каждый из Вас (во всяком случае женская половина моей аудитории)за свою жизнь проводил гомеоморфные преобразования: “отщипнул тесто – сделал из него шар – раскатал в блин”.

Гомеоморфное преобразование – это ни что иное, как растягивание или сжатие точек какой-либо фигуры без образования разрывов и склеек одинаковых точек. Возьмите раскатанный блин и порвите его по центру – получите негомеоморфное преообразование.

Возникает резонный вопрос, а какие свойства остаются неизменными при гомеоморфизме? Математики называют такие свойства качественными или топологическими и если мы хотим говорить о них, то должны как-то охарактеризовать эти свойства, хотя бы интуитивно-наглядно. Очередной эксперимент:

Возьмем сферу – поверхность точек, равноудаленную от другой точки, называемой центром сферы. Сфера – пуста, если наполнить сферу любым веществом (в нашем случае мягким и эластичным) получится шар. Попытаемся понять, чем “топологически” отличается сфера от шара?

1) Зададимся вопросом: как наикратчайшим образом добраться из одной точки сферы в другую, противоположную ей (например. с северного на южный полюс)? Правильно, пойти как нормальный человек по поверхности. А для шара? Теоретически мы могли бы “срезать” добрую часть путь проникнув через его центр и прошив его насквозь. Есть отличие!

Напоминаю, что по “пустоте” мы не перемещаемся, а внутри шара – пустота.

2) Представьте, что вы решили прокатить по поверхности сферы колесо и вернуться в ту же точку. Изменится ли направление его вращения после Вашего с ним кругосветного приключения? Очевидно и для сферы и для шара, что нет.

Именно поэтому у кругосветных путешественников-автомобилистов колеса по приезду в родной город не крутятся в одну сторону

Но есть фигуры, прокатив колесо по которым и вернувшись в ту же точку мы изменим направление его вращения! Пример – широко известный лист Мёбиуса.

Источник: https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/01a0/001892af-c470c37a/1/hello_html_m1ce4bf27.jpg

Это свойство фигур называется ориентируемость. Шар и сфера – ориентируем, а вот лист Мёбиуса – нет. Здесь отличий между шаром и сферой не выявлено.

3) Из определения следует, что под поверхностью сферы пустота. В шаре такого нет, он заполнен полностью.

Именно в третьем различии вся “соль”. Что же из него следует?

Представьте, что Вы взяли комок мокрого снега и хотите придать ему идеальную форму.

Снег еще рыхлый, поэтому сжимая снег со всех сторон Вы начнете “стягивать” точки этого шара к одной из его точек – центру.

А теперь попробуйте стянуть футбольный мяч хотя бы к одной его точке. Попробуем стянуть северный (N) и южный полюса (S). Суть в том, что в предельном приближении мяч порвется в точках W и E, а разрыв, как мы помним из определения, недопустим при гомеоморфизме.

Таким образом, мы не смогли гомеоморфно стянуть сферу к какой-либо из своих точек (зато сферу мы можем вывернуть наизнанку – видео в конце статьи), а шар смогли. В этом и заключается топологическое различие между этими фигурами: шар не гомеоморфен сфере. Остается открытым вопрос: чему же тогда гомеоморфен шар и сфера? Ответ: кубу.

Источник: https://ruread.net/bookimages/45203/img_41.jpg

Со сферой всё намного интереснее. Топологи различают сферу без ручки (тогда это просто сфера) и сферу с n-ручками, где n=1,2… Например, сфера с ручкой получается с помощью гомеоморфных преобразований из тора (бублика).

Так выглядит ручка – как подрезанный бублик.

Источник: https://habr.habrastorage.org/post_images/539/bb8/785/539bb878571fb370ff85bc9c70f4e8af.gif

Что же общего у кружки и тора? Ответ: количество дырок, и это ключевое топологическое свойство фигур. Фигуры с разным количеством дырок не могу быть гомеоморфны другу другу, не могут быть получены друг из друга посредством сжатия/растягивания. И это главный вывод нашего вводного экскурса. Где-то мог ошибиться, я думаю, найдутся корифеи. которые исправят в комментариях.

Стой, стой, а что же с человеком, который – шар с ручками?

Ах да, знакомьтесь – это человек-Шар и он попал в передрягу: у него руки закреплены между собой как два кольца.

Ему нужно помочь распутать руки не разрывая пальцы. Вы скажете невозможно, топологи скажут: элементарно.

Обещанное видео про выворачивание сферы наизнанку (завораживает):

Часть 1

Часть 2

Подведем итог:

1) Топология изучает качественные свойства геометрических фигур.

2) Топология не нарушается при гомеоморфном преобразовании: сжатии, растягивании или склейке.

3) Важнейшим топологическим свойством фигур является количество дырок.

4) Фигуры с разным количеством дырок не гомеоморфны.

На этом ознакомительная статья подходит к концу, но приступать к изучению топологии не на интуитивно-бытовом уровне еще рано. Необходимо дать и другие основополагающие понятия. а именно множества и расстояния. Этим категориям и будут посвящены следующие статьи этого цикла.

ПРОДОЛЖЕНИЕ (МОЖЕТ, НУДНОЕ, НО НУЖНОЕ)

Часть 2. Определения множества и подмножества.

Часть 3. Бинарные операции над множествами.

Часть 4. Унарные операции над множествами

Часть 5. Законы де Моргана и диаграммы Эйлера-Венна (выйдет вечером 24.05) – подпишитесь на телеграмм-канал, чтобы не пропустить.

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева

Про факториал

Ответ тем, кто отрицает пользу математики в обычной жизни

Правда интересные числа, “мамой клянусь”

Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе