Каким свойством обладают точки окружности что называют радиусом окружности

Лучший ответ:

Другие вопросы:

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

Формулы длины окружности

Формулы площади круга

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

Основные свойства секущих

Длина хорды

Основные свойства хорд

Основные свойства углов

Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙ α

Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = πr2360°∙ α

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки[1]: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части[2] — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.

Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Далее всюду буква обозначает радиус окружности.

Хорды, дуги и касательные[править | править код]

• Секторы круга

Прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек.

Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды[3].

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки)[3].

Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Для заданной окружности имеют место следующие свойства[3].

• Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.
• Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности[4].

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности[5].

Углы[править | править код]

• Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, опирающегося на ту же самую дугу (розового цвета)

• К расчёту длины дуги и хорды

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Говорят, что центральный или вписанный углы опираются на дугу, высекаемую на окружности их лучами, или же на хорду, стягивающую эту дугу.

Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую он опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан.

Из определения радиана следует, что длина любой дуги окружности связана с центральным углом , опирающимся на эту дугу, простым соотношением[6]: (при этом длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна ). Поскольку длина окружности равна , с ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до

Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.

Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.

Свойства вписанных углов:

• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°).
• Вписанный угол не меняет своей величины при перемещении его вершины вдоль окружности.
• Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Другие свойства:

• Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё.
• Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой.

Свойства[править | править код]

Формулы[править | править код]

Длина окружности:

Радиус окружности:

Диаметр окружности:

Площадь круга радиуса R:

Площадь сектора, ограниченного центральным углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности, центральным углом α, хордой:

История[править | править код]

Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой кривой практически во всех областях человеческой деятельности. История её исследования и применения уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Античные учёные рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» кривых, поэтому в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида.

Также в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей. Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие теории окружностей привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

Аналитическая геометрия окружностей[править | править код]

С точки зрения аналитической геометрии, окружность является простой плоской алгебраической кривой второго порядка. Окружность является частным случаем эллипса, у которого полуоси равны, и поэтому окружность относится к коническим сечениям.

Декартовы координаты[править | править код]

Общее уравнение окружности записывается как:

или

где

Точка  — центр окружности,  — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

Уравнение окружности, проходящей через точки не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):

Тогда в явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

Полярные координаты[править | править код]

Окружность радиуса с центром в точке :

Если полярные координаты центра окружности то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид

Комплексная плоскость[править | править код]

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

или в параметрическом виде

Окружности в пространстве[править | править код]

В пространстве окружность радиуса с центром в точке можно определить как контур диаметрального сечения сферы

плоскостью

,

где  — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы

Например, при решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:

Касательные и нормали[править | править код]

Уравнение касательной к окружности в точке определяется уравнением

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

Концентрические и ортогональные окружности[править | править код]

Окружности с общим центром, но разными радиусами, называются концентрическими. Две окружности, заданные уравнениями:

являются концентрическими в том и только в том случае, когда и

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

Дополнительные сведения[править | править код]

Определение треугольников для одной окружности[править | править код]

• Треугольник ABC называется вп