Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность thumbnail

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

На нашем рисунке:

( displaystyle alpha +beta =180{}^circ )

Посмотри, углы ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) взять углы ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )?

Конечно, можно!

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет ( displaystyle 180{}^circ ).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме ( displaystyle 180{}^circ ). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Пусть ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, ( displaystyle 360{}^circ ).

То есть ( displaystyle alpha +beta +varphi +psi =360{}^circ ) – всегда! ( displaystyle 180{}^circ )

Но ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), →( displaystyle varphi +psi =360{}^circ -180{}^circ =180{}^circ).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Попробуем сперва «методом тыка»:

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ( displaystyle ABCD) окружность. Тогда непременно должно быть: ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть ( displaystyle angle B = angle D).

У нас получилось, что

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=angle D\angle B+angle D=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)

А что же углы ( displaystyle A) и ( displaystyle C)?

Ну, то же самое конечно.

( displaystyle ABCD) – вписанный → ( displaystyle angle A+angle C=180{}^circ ) → ( displaystyle angle A=90{}^circ )

( displaystyle ABCD) – параллелограмм→ ( displaystyle angle A=angle C) → ( displaystyle angle C=90{}^circ )

Потрясающе, правда? Получилось, что…

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны ( displaystyle 90{}^circ ), то есть это прямоугольник!

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

И ещё при этом –

Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника

Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.

Почему?

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Вот пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность.

Тогда опять ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ), но из-за параллельности прямых ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) ( displaystyle angle B+angle A=180{}^circ ).

Читайте также:  Какие свойства относятся к верховенству гос власти внутри страны

Значит, имеем: ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle angle D=angle A) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  • Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
  • Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  • Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая

Главная теорема о вписанном четырехугольнике

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике?

Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

На нашем рисунке – ( largedisplaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.

Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

  1. 1

    «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

  2. 2

    «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник можно вписать в окружность

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Отметим её центр ( displaystyle O) и проведём радиусы ( displaystyle OA) и ( displaystyle OC).

Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?

Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Итак,

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

( displaystyle angle ABC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ABC=frac{1}{2}cdot angle psi )

( displaystyle angle ADC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ADC=frac{1}{2}cdot angle varphi )

Но посмотри: ( displaystyle angle varphi +angle psi =360{}^circ )

Значит,

( displaystyle begin{array}{l}angle ABC+angle ADC=frac{1}{2}angle psi +frac{1}{2}angle varphi =\=frac{1}{2}left( angle psi +angle varphi right)=frac{1}{2}cdot 360{}^circ =180{}^circ end{array})

Получаем, что если ( displaystyle ABCD) – вписанный, то

( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Ну, и ясно, что ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C) тоже в сумме составляет ( displaystyle 180{}^circ ). (нужно так же рассмотреть ( displaystyle angle BAD) и ( displaystyle angle BCD)).

Пусть оказалось так, что у четырехугольника ( displaystyle ABCD) сумма каких – то двух противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ). Скажем, пусть

( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ )

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника ( displaystyle ABC) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка ( displaystyle D) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка ( displaystyle D) – снаружи.

Тогда отрезок ( displaystyle AD) пересекает окружность в какой-то точке ( displaystyle E). Соединим ( displaystyle C) и ( displaystyle E).

Получился вписанный (!) четырехугольник ( displaystyle ABCE).

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ), а по условию у нас ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Получается, что должно бы быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma )

Но это никак не может быть поскольку ( displaystyle angle gamma ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle gamma =angle beta +angle delta )

А внутри?

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Проделаем похожие действия. Пусть точка ( displaystyle D) внутри.

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Тогда продолжение отрезка ( displaystyle AD) пересекает окружность в точке ( displaystyle E).

Снова ( displaystyle ABCE) – вписанный четырехугольник ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ).

А по условию ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circquad Rightarrow ) должно выполняться ( displaystyle angle beta =angle gamma ), но ( displaystyle angle beta ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle beta =angle gamma +angle delta ).

То есть опять никак не может быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma ).

То есть точка ( displaystyle D) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Доказательство следствия 1

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Тогда должно выполняться ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что ( displaystyle angle B=angle D).

То есть

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B=angle Dend{array} right. left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)

И то же самое, естественно, касательно углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C).

Вот и получился прямоугольник – все углы по ( displaystyle 90{}^circ ).

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

( displaystyle angle B=90{}^circ Rightarrow AC) – диаметр,

( displaystyle angle A=90{}^circ Rightarrow BD) – диаметр

а значит, ( displaystyle O) – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Докажем?

Доказательство следствия 2

Пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность. Тогда ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Но ( displaystyle ADparallel BC Rightarrow angle B+angle A=180{}^circ )

То есть

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) ( displaystyle Rightarrow angle D=angle A). И так же ( displaystyle angle B=angle C).

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Всё ли мы обсудили?

Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).

Итак:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону ( displaystyle AD) из точек ( displaystyle B) и ( displaystyle C), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов ( displaystyle B) и ( displaystyle D).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«( displaystyle angle ABD=angle ACDRightarrow ABCD) – вписанный» – и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.


Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Каким свойством обладают углы четырехугольника в окружность

P.S. Последний бесценный совет ????

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Нам нужна твоя помощь!

Ну вот, мы рассказали тебе всё о вписанном четырехугольнике.

Особенно тебе эти знания понадобятся в задачах повышенной сложности. Например, в ОГЭ долгое время была задача про трапецию.

Ты теперь знаешь намного больше, чем рассказывают в школах.

И я очень надеюсь, что однажды эти знания тебе пригодятся!

Напиши ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Как думаешь, какой момент тут самый важный?

Успехов!

Источник