Каким свойством обладают углы четырехугольника вписанной в окружность
Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность.
То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:
Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?
Сейчас мы это выясним!
КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
и наоборот:
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.
Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).
( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).
Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.
Вот оказывается, что это НЕПРАВДА!
НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).
На нашем рисунке:
( displaystyle alpha +beta =180{}^circ )
Посмотри, углы ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )? Они вроде бы тоже противоположные?
Можно ли вместо углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) взять углы ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )?
Конечно, можно!
Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет ( displaystyle 180{}^circ ).
Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме ( displaystyle 180{}^circ ). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:
Пусть ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, ( displaystyle 360{}^circ ).
То есть ( displaystyle alpha +beta +varphi +psi =360{}^circ ) – всегда! ( displaystyle 180{}^circ )
Но ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), →( displaystyle varphi +psi =360{}^circ -180{}^circ =180{}^circ).
Волшебство прямо!
Так что запомни крепко-накрепко:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
и наоборот:
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.
Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).
Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?
НЕ ПРОПУСТИ!
Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.
На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.
Регистрируйся здесь и приходи!
Попробуем сперва «методом тыка»:
Вот как-то не получается.
Теперь применим знание:
Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ( displaystyle ABCD) окружность. Тогда непременно должно быть: ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).
А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть ( displaystyle angle B = angle D).
У нас получилось, что
( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=angle D\angle B+angle D=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)
А что же углы ( displaystyle A) и ( displaystyle C)?
Ну, то же самое конечно.
( displaystyle ABCD) – вписанный → ( displaystyle angle A+angle C=180{}^circ ) → ( displaystyle angle A=90{}^circ )
( displaystyle ABCD) – параллелограмм→ ( displaystyle angle A=angle C) → ( displaystyle angle C=90{}^circ )
Потрясающе, правда? Получилось, что…
Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны ( displaystyle 90{}^circ ), то есть это прямоугольник!
И ещё при этом –
Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника.
Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.
Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.
А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.
Почему?
Вот пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность.
Тогда опять ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ), но из-за параллельности прямых ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) ( displaystyle angle B+angle A=180{}^circ ).
Значит, имеем: ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle angle D=angle A) → трапеция равнобокая.
Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:
Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.
Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:
- Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
- Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
- Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая
Главная теорема о вписанном четырехугольнике
Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике?
Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:
Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).
На нашем рисунке – ( largedisplaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )
Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.
Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.
Расшифровываем:
1
«Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
2
«Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник можно вписать в окружность
Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».
А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?
Пусть четырехугольник ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Отметим её центр ( displaystyle O) и проведём радиусы ( displaystyle OA) и ( displaystyle OC).
Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?
Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».
Итак,
( displaystyle angle ABC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ABC=frac{1}{2}cdot angle psi )
( displaystyle angle ADC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ADC=frac{1}{2}cdot angle varphi )
Но посмотри: ( displaystyle angle varphi +angle psi =360{}^circ )
Значит,
( displaystyle begin{array}{l}angle ABC+angle ADC=frac{1}{2}angle psi +frac{1}{2}angle varphi =\=frac{1}{2}left( angle psi +angle varphi right)=frac{1}{2}cdot 360{}^circ =180{}^circ end{array})
Получаем, что если ( displaystyle ABCD) – вписанный, то
( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )
Ну, и ясно, что ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C) тоже в сумме составляет ( displaystyle 180{}^circ ). (нужно так же рассмотреть ( displaystyle angle BAD) и ( displaystyle angle BCD)).
НРАВИТСЯ УЧЕБНИК?
Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.
Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.
От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.
Пусть оказалось так, что у четырехугольника ( displaystyle ABCD) сумма каких – то двух противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ). Скажем, пусть
( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ )
Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника ( displaystyle ABC) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.
Если точка ( displaystyle D) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.
Рассмотрим оба случая.
Пусть сначала точка ( displaystyle D) – снаружи.
Тогда отрезок ( displaystyle AD) пересекает окружность в какой-то точке ( displaystyle E). Соединим ( displaystyle C) и ( displaystyle E).
Получился вписанный (!) четырехугольник ( displaystyle ABCE).
Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ), а по условию у нас ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )
Получается, что должно бы быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma )
Но это никак не может быть поскольку ( displaystyle angle gamma ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle gamma =angle beta +angle delta )
А внутри?
Проделаем похожие действия. Пусть точка ( displaystyle D) внутри.
Тогда продолжение отрезка ( displaystyle AD) пересекает окружность в точке ( displaystyle E).
Снова ( displaystyle ABCE) – вписанный четырехугольник ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ).
А по условию ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circquad Rightarrow ) должно выполняться ( displaystyle angle beta =angle gamma ), но ( displaystyle angle beta ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle beta =angle gamma +angle delta ).
То есть опять никак не может быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma ).
То есть точка ( displaystyle D) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!
Доказали всю-всю теорему!
Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.
Следствие 1
Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником
Доказательство следствия 1
Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Тогда должно выполняться ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).
Но из свойств параллелограмма мы знаем, что ( displaystyle angle B=angle D).
То есть
( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B=angle Dend{array} right. left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)
И то же самое, естественно, касательно углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C).
Вот и получился прямоугольник – все углы по ( displaystyle 90{}^circ ).
Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:
Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.
Ну вот,
( displaystyle angle B=90{}^circ Rightarrow AC) – диаметр,
( displaystyle angle A=90{}^circ Rightarrow BD) – диаметр
а значит, ( displaystyle O) – центр. Вот и всё.
Следствие 2
Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная
Докажем?
Доказательство следствия 2
Пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность. Тогда ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).
Но ( displaystyle ADparallel BC Rightarrow angle B+angle A=180{}^circ )
То есть
Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника
А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса “Подготовка к ЕГЭ с репетитором”
* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент
( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) ( displaystyle Rightarrow angle D=angle A). И так же ( displaystyle angle B=angle C).
Всё ли мы обсудили?
Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).
Итак:
Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону ( displaystyle AD) из точек ( displaystyle B) и ( displaystyle C), равны), то такой четырехугольник – вписанный.
Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов ( displaystyle B) и ( displaystyle D).
Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:
«( displaystyle angle ABD=angle ACDRightarrow ABCD) – вписанный» – и всё будет отлично!
Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.
P.S. Последний бесценный совет!
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил.
Это статистика. Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.
Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Второе, заниматься по системе – иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.
И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.
Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.
Потому что их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук.
Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.
Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс/мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.
Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:
Источник
Общие сведения
Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.
Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.
Основные правила
Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:
- Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
- Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
- Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
- Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
- Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
- Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).
Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.
Свойства и утверждения
При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:
- Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
- Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
- При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.
Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.
Формулы и соотношения
Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.
Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.
Периметр и полупериметр
Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.
Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a. Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b). Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.
Понятие площади
Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.
Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:
- Определить базовую единицу: м и см.
- Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
- Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .
Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2.
Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.
Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур. Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2. В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.
Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S <= 2 * R 2 . Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R 2.
Диагонали и углы
Для вписанного четырехугольника ABCD существуют определенные соотношения, по которым можно найти его диагонали. Для фигуры со сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA диагонали (s = АС и t = DA) находятся таким образом: s = [((a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / (a * b + c * d)]^(½) и t = [((a * c + b * d) * (a * b + d * c)) / (a * d + c * b)]^(½). Если умножить диагональ s на t и привести подобные слагаемые, то в результате получится формула Птолемея: s * t = a * c + b * d.
При отношении двух диагоналей получается вторая теорема Птолемея: s / t = (a * d + b * c) / (a * b + d * c). Сумма диагоналей — есть неравенство такого вида: s + t >= 2 * [a * c + b * d]^(½). Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).
Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).
Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:
- cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
- sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
- tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).
В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).
В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:
- Стороны: a, b, c и d.
- Диагонали: s и t.
- Площадь: S.
- Радиус описанной окружности: R.
В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:
- a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
- b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
- c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
- d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
- s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
- t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
- S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
- 4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).
Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.
Параметры для окружности
Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.
При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2.
Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).
Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.
Источник