Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника

Содержание:

Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника.
Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD

Вывод:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны.
Сумма углов треугольника 180°.
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота=биссектриса=медиана
b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

L = a sina
L = frac { b } { 2 } *tgalpha
L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Теорема о сумме углов треугольника
Формулы площади поверхности, основания, сечения призмы
Площадь поверхности куба, формулы и примеры
Основные формулы по математике
Справочные материалы ЕГЭ от ФИПИ по математике

Источник

Цели урока:

Образовательные – повторение, обобщение и
проверка уровня знаний по теме “Медианы,
биссектрисы и высоты треугольника”; знакомство
со свойствами равнобедренного треугольника;
выработка основных навыков
Развивающие – развивать внимание
учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое
мышление, математическую речь;
Воспитательные – посредством урока
воспитывать внимательное отношение друг к другу,
прививать умение слушать товарищей,
взаимовыручку, самостоятельность.

Тип урока – комбинированный.

Форма урока – урок с компьютерной
поддержкой.

Оборудование: доска и мел; компьютер и
проектор; карточки с тестом.

ХОД УРОКА

I. Повторение основных понятий

На данном этапе урока повторяем изученные
ранее понятия: “медиана”, “биссектриса”,
“высота” треугольника. Я предлагаю повторить
эти понятия, используя презентацию “Медианы,
биссектрисы и высоты треугольника” (см. Приложение 1)

Вопросы и задания к слайдам

Слайд презентации

Повторение ведётся посредством
фронтального опроса учащихся:

слайд_1.1

Как называется отрезок АМ на данном рисунке
(рис. 1)? – ребята называют: АМ – медиана, и оно
появляется на экране (по щелчку мыши)

Рис. 1

Дайте определение медианы. – ребята
дают определение, и оно появляется на экране (по
щелчку мыши)

слайд_1.2

Как называется отрезок ВК на данном рисунке
(рис. 2)?

ребята называют: ВК – биссектриса, и оно
появляется на экране (по щелчку мыши)

Рис. 2

Дайте определение биссектрисы.

ребята дают определение, и оно появляется на
экране (по щелчку мыши)

слайд_1.3

Как называется отрезок СН на данном рисунке
(рис.3 и рис. 4)?

ребята называют: СН – высота, и оно появляется
на экране (по щелчку мыши)

Рис. 3

Рис. 4

слайд_1.4

Необходимо также обратить внимание
учащихся на то как проводится высота из вершины
острого угла тупоугольного треугольника.

Дайте определение высоты.

Ребята дают определение, и оно появляется на
экране (по щелчку мыши).

II. Самостоятельная работа

Проверяется уровень владения основными
понятиями.

Тест

Вариант №1

I. Выберите один из вариантов ответов вместо
пропуска

1. Отрезок, соединяющий вершину с серединой
противолежащей стороны, называется ___________________
треугольника.

а) биссектрисой;
б) медианой;
в) высотой;
г) нет верного ответа

2. На рисунке изображена _____________треугольника ABC

а) биссектриса
б) медиана
в) высота
г) нет верного ответа

Рис. 5

3. На рисунке NH является _______треугольника MNK

а) биссектрисой
б) медианой
в) высотой;
г) не возможно сказать

Рис. 6

4. На рисунке в треугольнике АВС
построены____________________

а) биссектрисы
б) медианы
в) высоты;
г) не возможно сказать

Рис. 7

II. Назовите верное высказывание

1. Биссектрисой треугольника называется …

а) луч, делящий его угол на две равные части;
б) отрезок, делящий его угол на две равные части;
в) отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны;
г) отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны

2. Высотой треугольника называется …

а) перпендикуляр, проведённый из вершины
треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону;
б) перпендикуляр, проведённый из вершины
треугольника к противоположной стороне;
в) отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны
г) отрезок, делящий его угол на две равные части;

Вариант №2

I. Выберите один из вариантов ответов вместо
пропуска.

1. Перпендикуляр, проведённый из вершины
треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону, называется _____________________
треугольника.

а) биссектрисой;
б) медианой;
в) высотой;
г) нет верного ответа

2. На рисунке изображена ___________треугольника FPS

а) биссектриса
б) медиана
в) высота
г) нет верного ответа

Рис. 8

3. На рисунке MF является __________________треугольника
МОК

а) биссектрисой
б) медианой
в) высотой;
г) не возможно сказать

Рис. 9

4. На рисунке в треугольнике DEF
построены__________________

а) биссектрисы
б) медианы
в) высоты;
г) не возможно сказать

Рис. 10

II. Назовите верное высказывание.

1. Медианой треугольника называется …

а) перпендикуляр, проведённый из вершины
треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону;
б) отрезок биссектрисы угла треугольника,
делящий его на две равные части;
в) отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны
г) отрезок, делящий его на две равные части;

2. Биссектрисой треугольника называется …

а) луч, делящий его угол на две равные части;
б) отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны;
в) отрезок, делящий его угол на две равные части;
г) отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны

III. Объяснение нового материала

Используется презентация (см. Приложение 2)

Вопросы и задания к слайдам

Слайд презентации

1. Вводится понятие
равнобедренного треугольника и его элементов.
Треугольник, две стороны которого равны,
называется равнобедренным. Равные стороны
называются боковыми, а третья сторона –
основанием равнобедренного треугольника.

Рис. 11

слайд_2.2

2. Назовите угол, лежащий
напротив основания треугольника, назовите углы
при основании равнобедренного треугольника.

3. Назовите основание и боковые
стороны треугольников, изображённых на рисунке.
(Последний рисунок (рис.16) подводит ребят к
понятию равностороннего треугольника).

Рис. 12	Рис. 13
Рис. 14	Рис. 15
Рис. 16

слайд_2.3

4. Вводится понятие
равностороннего треугольника.
Треугольник, все стороны которого равны,
называется равносторонним.

Рис. 17

слайд_2.4

5. Рассматриваем свойство об
углах равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Работа с формулировкой теоремы: разбираем, что
дано, что доказать.

Рис. 18

слайд_2.5

6. Рассматриваем доказательство
теоремы 1. Проведём биссектрису из вершины В
треугольника к основанию АС.
Предлагаю учащимся продолжить доказательство
самостоятельно (в процессе рассуждений, по
щелчку “мыши” появляются записи на экране)

Рис. 19

слайд_2.6

7. Свойство биссектрисы,
проведённой к основанию равнобедренного
треугольника, можно предложить учащимся
получить самостоятельно (это зависит от уровня
подготовки класса), проведя практическую работу
по группам:

Постройте равнобедренный треугольник
Проведите биссектрису из вершины треугольника
к его основанию
Вы знаете, что она делит угол пополам, но как вы
думаете, глядя на рисунок, каким ещё свойством
обладает эта биссектриса? При обсуждении
подумайте:
- Любая ли биссектриса равнобедренного
  треугольника является ли его высотой и медианой?
  (Можно предложить построить все биссектрисы
  треугольника).
- Является ли биссектриса равнобедренного
  треугольника его высотой и медианой? Если да, то
  какая из трёх?

8. Записываем свойство в виде
теоремы 2.
В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведённая к основанию, является медианой и
высотой

Рис. 19

слайд_2.7

9. Можно предложить учащимся
разобрать доказательство дома, либо проделать
работу, аналогичную работе при доказательстве
теоремы 1.

слайд_2.8

IV. Закрепление пройденного

1. Устное решение задач

Какие из данных треугольников являются
равнобедренными, почему?
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
Треугольник АВС – равнобедренный МАВ
= 100о, найдите А и С в
треугольнике АВС (рис. 24)

Рис. 24

Рис. 19

2. Решение задачи № 113 из учебника на доске и в
тетрадях.

3. Самостоятельное решение № 112 с последующей
проверкой.

V. Итоги урока

1. Фронтальный опрос:

Какой треугольник называется равнобедренным?
Какой треугольник называется равносторонним?
Является ли равносторонний треугольник
равнобедренным?
Каким свойством обладают углы равнобедренного
треугольника?
Каким свойством обладает биссектриса
равнобедренного треугольника?
Любая ли биссектриса обладает этим свойством?
Какая?
Любая ли биссектриса равностороннего
треугольника обладает этим свойством?

2. Домашнее задание: п.18, вопросы 10 – 18, №№ 109, 117

Используемая литература

Учебник “Геометрия. 7 – 9” авторов: Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадышев, Э.Г.Позняк, И.И.
Юдина (М., Просвещение, 1990 и последующие издания).
“Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9
классы. Геометрия” автор: Е.М.Рабинович (М.:
Илекса, Харьков: Гимназия, 2001)
Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические
рекомендации к учебнику: Книга для учителя. Л.С.
Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков и др. (М.:
Просвещение, 2003)
Поурочные разработки по геометрии. 7 класс.
Гаврилова Н.Ф. (М.: “ВАКО”, 2004).

Источник

Разработка урока геометрии

Свойства равнобедренного треугольника

Данные об авторе: Лобода Светлана Евгеньевна

Место работы, должность: учитель математики МБОУ «СОШ п. Искателей»

Тема урока: Свойства равнобедренного треугольника.

Предмет: геометрия

Класс: 7 класс

Уровень образования: основное общее образование

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний

Используемые учебники и учебные пособия: Л.С.Атанасян и др. Геометрия 7-9.

Используемое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор

Цели урока: создание условий для организации совместной и самостоятельной деятельности обучающихся по изучению свойств равнобедренного треугольника и овладению умением решать задачи с использованием изученных свойств.

образовательная: обобщить, систематизировать, расширить и углубить знания учащихся по теме треугольники и его виды, закрепить навыки и умения, используя определения и теоремы, ознакомить со свойствами равнобедренного треугольника и научить применять их при решении задач.

развивающая: развитие математической речи учащихся, их памяти, внимания, наблюдательности, умения сравнивать, обобщать, обоснованно делать выводы; развивать умение преодолевать трудности при решении задач.

воспитательная: воспитание навыков контроля и самоконтроля, аккуратности, внимательности, позитивного отношения к обучению, умения работать в коллективе.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение основных понятий

На данном этапе урока повторяем изученные ранее понятия: “медиана”, “биссектриса”, “высота” треугольника. Я предлагаю повторить эти понятия, используя тест «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника». Повторение ведётся посредством фронтального опроса учащихся. (слайды

Задание 1

Вопрос:

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется …

Задание 2

Вопрос:

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение, называется …

Задание 3

Вопрос:

В треугольнике АВС отрезок ВD делит угол АВС на два равных угла. Как называется отрезок ВD?

Изображение:

Задание 4

Вопрос:

В треугольнике провели две медианы. Сколько всего треугольников изображено на рисунке?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Четыре

2) Шесть

3) Восемь

4) Двенадцать

Задание 5

Вопрос:

В треугольнике АВС отрезок AD является медианой. Чему равна длина стороны ВС, если длина отрезка BD равна 3 см?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 9 см

2) 6 см

3) 5 см

4) 3 см

Задание 6

Вопрос:

Чему равна градусная мера угла ВАС, если АD – биссектриса треугольника АВС, а угол ВАD равен 35°?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 35°

2) 90°

3) 70°

4) 45°

Задание 7

Вопрос:

Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?

Выберите один из 2 вариантов ответа:

1) Может

2) Не может

Задание 8

Вопрос:

Сколько высот имеет любой треугольник?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Четыре

2) Одну

3) Две

4) Три

Задание 9

Вопрос:

Отрезок ВD – медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ – медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка ЕС, если отрезок АС равен 20 см?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 15 см

2) 10 см

3) 5 см

4) 4 см

Задание 10

Вопрос:

Чему равна градусная мера угла АDB, если отрезок BD – высота треугольника АВС?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 30°

2) 60°

3) 90°

4) 120°

Ответы:

1) Верный ответ: “медианой”.

2) Верный ответ: “высотой”.

3) Верный ответ: “Биссектрисой треугольника”.

4) Верный ответ: 3;

5) Верный ответ: 2;

6) Верный ответ: 3;

7) Верный ответ: 1;

8) Верный ответ: 4;

9) Верный ответ: 3;

10) Верный ответ: 3;

Итог: Молодцы ребята. Вы хорошо применяете определения и формулировки свойств геометрических фигур при решении задач.

Итак, мы с вами повторили теоретический материал прошлых уроков, который нам понадобится при изучении новой темы «Свойства равнобедренного треугольника».

III. Объяснение нового материала

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности. Например, то, что в равнобедренном треугольнике, с которым мы сегодня познакомимся, углы при основании равны, было известно ещё древним вавилонянам 4000 лет назад. Равнобедренный треугольник обладает ещё рядом геометрических свойств, которые всегда имели широкое применение в практической жизни.

Выясним, какой треугольник называется равнобедренным, и какими свойствами он обладает.

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему сегодняшнего урока «Свойства равнобедренного треугольника»

1. Вводится понятие равнобедренного треугольника и его элементов.

Вспомните из курса математики, какой треугольник называется равнобедренным?

– Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

– Назовите угол, лежащий напротив основания треугольника, назовите углы при основании равнобедренного треугольника. (слайд № 10) Изобразите данный треугольник к себе в тетрадь.

2. Вводится понятие равностороннего треугольника.

– Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

4. Рассматриваем свойство об углах равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Работа с формулировкой теоремы: разбираем, что дано, что доказать. Рассматриваем доказательство теоремы 1. Проведём биссектрису из вершины А треугольника к основанию ВС. Предлагаю учащимся продолжить доказательство самостоятельно (в процессе рассуждений, по щелчку “мыши” появляются записи на экране)

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании раны

Дано: Δ АВС – ………………

Доказать: …………

В C

Доказательство.

Проведем биссектрису АF.
Рассмотрим ……… и ………..:

……. = …….. (т.к. Δ АВС – ………………);
……. = ………( т.к. АF – …………..Δ АВС ); ………….. = …………..
……….. – …………….. (по двум сторонам и углу между ними)

Тогда ……… = ………., ч.т.д.

5. Свойство биссектрисы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, можно предложить учащимся получить самостоятельно (это зависит от уровня подготовки класса), проведя практическую работу по группам:

– Постройте равнобедренный треугольник

– Проведите биссектрису из вершины треугольника к его основанию

– Вы знаете, что она делит угол пополам, но как вы думаете, глядя на рисунок, каким ещё свойством обладает эта биссектриса? При обсуждении подумайте:

– Любая ли биссектриса равнобедренного треугольника является ли его высотой и медианой? (Можно предложить построить все биссектрисы треугольника).

– Является ли биссектриса равнобедренного треугольника его высотой и медианой? Если да, то какая из трёх?

6. Записываем свойство в виде теоремы 2.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой (в процессе рассуждений, по щелчку “мыши” появляются записи на экране)

A Дано:

Δ АВС – ………………

AF – ……………… Δ АВС

B С Доказать: AF -………….. Δ АВС, AF -………….. Δ АВС

Доказательство.

Рассмотрим ……… и ………..:

……. = …….. (т.к. ΔАВС – ………………);
……. = ………( т.к. AF – …………..Δ АВС ); ………….…………..
……….. – ……………..

(по двум сторонам и углу между ними)

Тогда ……… = ………., AF – ……………….. Δ АВС.

Тогда ……. = ……., а т.к. …… и …… – смежные, ……. = ……. = ….о, т.е. AF……, значит, AF – ……………….. Δ АВС, ч.т.д.

IV. Закрепление пройденного

Устное решение задач

Какие из данных треугольников являются равнобедренными, почему?

Треугольник АВС – равнобедренный ∠МАВ = 100, найдите ∠А и ∠С в треугольнике АВС

Треугольник АВС – равнобедренный, АС – основание, ВD – биссектриса, ∠СВD = 37, АС = 25 см. Найдите ∠В, ∠ВDС и DC.

Решение задачи № 107 из учебника на доске и в тетрадях.

Самостоятельное решение № 112 с последующей проверкой

Дано: АВ=ВС, ∠1=130. Найдите ∠2

Решение:

Углы ∠ 1 и ∠АСВ – смежные, т.е ∠1 + ∠АСВ=180 , значит

∠АСВ = 180 – 130= 50 АВС – равнобедренный,

значит ∠ВАС = ∠АСВ=50 (углы при основании равнобедренного треугольника)

∠2 = ∠ВАС = 50 ( как вертикальные)

Ответ: ∠ 2= 50

V. Итоги урока

1. Фронтальный опрос:

Какой треугольник называется равнобедренным?
Какой треугольник называется равносторонним?
Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?
Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?
Каким свойством обладает биссектриса равнобедренного треугольника?
Любая ли биссектриса обладает этим свойством? Какая?
Любая ли биссектриса равностороннего треугольника обладает этим свойством?

2. Домашнее задание: п.18, вопросы 10 – 18, №№ 109, 117

Используемая литература

Учебник “Геометрия. 7 – 9” авторов: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадышев, Э.Г.Позняк, И.И. Юдина (М., Просвещение, 1990 и последующие издания).

“Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9 классы. Геометрия” автор: Е.М.Рабинович (М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2001)

Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: Книга для учителя. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков и др. (М.: Просвещение, 2003)

Поурочные разработки по геометрии. 7 класс. Гаврилова Н.Ф. (М.: “ВАКО”, 2004).

Источник

Рис. 20	Рис. 21
Рис. 22	Рис. 23