Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность thumbnail

Определение

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают  эту окружность.

На рисунке вписанным углом является угол $ABC$.

Центральным называется угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке центральным углом является угол $AOC$.

Градусной мерой дуги называется величина соответствующего центрального угла.

На рисунке градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере угла $AOC$.

Теперь перечислим возможные взаимосвязи между углами и высекаемыми ими хордами.

Лемма 1

Пусть $angle BAC$ — вписанный угол окружности с центром в точке $O$, причем $O$ лежит на отрезке $AB$. Тогда $angle BOC = 2 angle BAC$.

Поскольку $O$ — центр окружности, то $OA = OB = OC$. Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный. Внешний угол треугольника $AOC$ равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, поэтому

$angle BOC = angle OAC + angle OCA = 2angle OAC = 2angle BAC,$

что и требовалось доказать.

Теорема

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, высекаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла. Или, что то же самое, вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.

Пусть $angle BAC$ — данный вписанный угол. Докажем, что $angle BOC = 2angle BAC$, где $O$ — центр окружности. Возможны три случая: точка $O$ лежит либо на одной из сторон угла $BAC$ (этот случай рассмотрен в Лемме 1), либо внутри угла, либо снаружи.

Пусть точка $O$ лежит внутри угла и пусть луч $AO$ пересекает дугу $BC$ в точке $D$. Для каждого из вписанных углов $BAD$ и $CAD$ выполняется Лемма 1, поскольку $O$ лежит на отрезке $BD$. Поэтому

$angle BOD = 2angle BAD, quad angle COD = 2angle CAD$

Если сложить эти два равенства, то мы получаем, что

$angle BOC = angle BOD + angle COD = 2angle BAD + 2angle СAD = 2 angle BAC.$

Если же точка $O$ лежит вне угла $BAC$, то можно считать, что луч $AO$ пересекает окружность в точке $D$ так, что точка $C$ лежит внутри угла $BAD$. Аналогично, используя Лемму 1 для углов $BAD$ и $CAD$, мы получаем, что

$angle BOC = angle BOD – angle COD = 2 angle BAD – 2angle CAD = 2 (angle BAD – angle CAD) = 2 angle BAC.$

Теорема доказана.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми.

3. Сумма вписанных углов, опирающихся на дуги, дополняющие друг друга до окружности, равна $180^circ$.

4. Если вписанный и центральный угол опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности, то вписанный дополняет половину центрального до $180^circ$. 

5. Пусть $ABC$ — угол, вписанный в окружность с центром $O$. Этот угол острый тогда и только тогда, когда точки $B$ и $O$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AC$, и тупой тогда и только тогда, когда они лежат в разных полуплоскостях.  

Лемма 2

Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями (или, как еще говорят, полусуммой дуг, высекаемых этих углом на окружности).

Нам нужно доказать, что $angle APD = dfrac{breve{AD} + breve{BC}}{2}$ (см. рисунок).

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Соединим точки $A$ и $B$ хордой. Заметим, что в треугольнике $ABP$ известно, что $angle PAB = dfrac{breve{BC}}{2}, quad angle PBA = dfrac{breve{AD}}{2}$, причем $angle APD$ является внешним углом для этого треугольника. По теореме о внешнем угле треугольника мы получаем

$angle APD = angle PAB + angle PBA = dfrac{breve{AD} + breve{BC}}{2}.$

Лемма 3

Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, высекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.

Будем доказывать, что $angle APB = dfrac{breve{BD} – breve{AC}}{2}$ (см. рисунок).

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Соединим точки $A$ и $B$ хордой. Известно, что $angle DAB = dfrac{breve{BD}}{2}, quad angle PBA = dfrac{breve{AС}}{2}$, причем $angle DAB$ — является внешним углом для треугольника $ABP$. По теореме о внешнем угле треугольника получаем

$angle APB = angle DAB – angle PBA = dfrac{breve{BD} – breve{AC}}{2}.$

Лемма 4

Угол с вершиной $P$ на окружности между ее хордой $PA$ и касательной $PB$ измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.

Данная лемма является частным случаем Лемм 2 и 3, поскольку в данном случае есть вторая дуга, которая равна нулю. Подставляя в любую из указанных лемм, получаем требуемое.

Также можно доказать эту лемму, проведя диаметр через точку касания $P$. Пусть $C$ — точка, диаметрально противоположная точке $P$. Тогда

$angle ACP = dfrac{breve{AP}}{2}, quad PAC = 90^circ, quad angle APC + angle ACP = 90^circ,$

откуда

$angle APB = angle CPB – angle APC = 90^circ – angle APC = angle ACP = dfrac{breve{AP}}{2},$

что и требовалось доказать. 

Лемма 5

Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла. То есть угол с вершиной вне окружности между касательной и прямой, содержащей хорду окружности, равен полуразности дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.

Эта лемма является частным случаем леммы 3, а именно, это тот случай, когда одна из сторон угла проходит не через две точки окружности, а через одну.

Определение

Говорят, что точка $B$ лежит на окружности, построенной отрезке $AC$ как на диаметре, если угол $ABC$ прямой. Это понятие достаточно естественное. Действительно, если рассмотреть окружность, с центром в середине отрезка $AC$ (т.е. $AC$ будет диаметром этой окружности), то точка $B$ будет лежать на этой окружности, т.к. центр описанной окружности около прямоугольного треугольника $ABC$ — середина гипотенузы $AC$.

Источник

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Пурпурные бактерии - описание, особенности и интересные фактыВам будет интересно:Пурпурные бактерии – описание, особенности и интересные факты

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Читайте также:  Свойство какого класса электролитов описаны этими уравнениями

Рассмотрим пример №1.

Центральный угол

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Что такое вписанный угол

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Чему равен центральный угол

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Равные центральные углы

Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды: формулы и пример решения типовой задачиВам будет интересно:Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды: формулы и пример решения типовой задачи

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Как найти вписанный угол

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

  • Вписанные углы, если они опираются на одну и ту же дугу, хорду или равные дуги, равны.
  • Если вписанные углы опираются на одну хорду, но их вершины лежат по разные стороны от нее, сумма градусных мер таких углов составляет 180°, так как в этом случае оба угла опираются на дуги, градусная мера которых в сумме составляет 360° (вся окружность), 360° : 2 = 180°
  • Если вписанный угол опирается на диаметр данной окружности, его градусная мера равна 90°, так как диаметр стягивает дугу равную 180°, 180° : 2 = 90°
  • Если центральный и вписанный углы в окружности опираются на одну дугу или хорду, то вписанный угол равен половине центрального.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Профиль крыла самолета: виды, технические и аэродинамические характеристики, метод расчета и наибольшая подъемная силаВам будет интересно:Профиль крыла самолета: виды, технические и аэродинамические характеристики, метод расчета и наибольшая подъемная сила

Задача №1

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Задача номер 1

Эта задача решается в одно действие. Единственное, что нужно для того, чтобы найти ответ на нее быстро – заметить, что дуга, на которую опираются оба угла – общая. Увидев это, можно применять уже знакомое свойство. Угол АСВ равен половине угла АОВ. Значит,

1) АОВ = 54° : 2 = 27°.

Ответ: 54°.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

Задача 2

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Задача номер 2

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

АС = 120°

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

АВ = 30°.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

ВС = 360° – АС – АВ

ВС = 360° – 120° – 30° = 210°

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Ответ: 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Задача 1

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Задача номер 3

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

АВ = 360° – 60° = 300°

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

Ответ: 150°

Задача 2

Читайте также:  Какое свойство русского ударения используется при применении

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

3Х + 7Х = 360°

10Х = 360°

Х = 36°

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

Ответ: 54°

Задача 3

В окружности с центром в точке О угол АОВ равен 60°, а длина меньшей дуги – 50. Вычислите длину большей дуги.

Для того чтобы вычислить длину большей дуги, нужно составить пропорцию – как меньшая дуга относится к большей. Для этого вычислим величину обеих дуг в градусах. Меньшая дуга равна углу, который на нее опирается. Ее градусная мера составит 60°. Большая дуга равна разности градусной меры окружности (она равна 360° вне зависимости от остальных данных) и меньшей дуги.

Большая дуга равна 360° – 60° = 300°.

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Ответ: 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.

Источник

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

На нашем рисунке:

( displaystyle alpha +beta =180{}^circ )

Посмотри, углы ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) взять углы ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )?

Конечно, можно!

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет ( displaystyle 180{}^circ ).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме ( displaystyle 180{}^circ ). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Пусть ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, ( displaystyle 360{}^circ ).

То есть ( displaystyle alpha +beta +varphi +psi =360{}^circ ) – всегда! ( displaystyle 180{}^circ )

Но ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), →( displaystyle varphi +psi =360{}^circ -180{}^circ =180{}^circ).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Попробуем сперва «методом тыка»:

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ( displaystyle ABCD) окружность. Тогда непременно должно быть: ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть ( displaystyle angle B = angle D).

У нас получилось, что

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=angle D\angle B+angle D=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)

А что же углы ( displaystyle A) и ( displaystyle C)?

Ну, то же самое конечно.

( displaystyle ABCD) – вписанный → ( displaystyle angle A+angle C=180{}^circ ) → ( displaystyle angle A=90{}^circ )

( displaystyle ABCD) – параллелограмм→ ( displaystyle angle A=angle C) → ( displaystyle angle C=90{}^circ )

Потрясающе, правда? Получилось, что…

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны ( displaystyle 90{}^circ ), то есть это прямоугольник!

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

И ещё при этом –

Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника

Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.

Почему?

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Вот пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность.

Тогда опять ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ), но из-за параллельности прямых ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) ( displaystyle angle B+angle A=180{}^circ ).

Значит, имеем: ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle angle D=angle A) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  • Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
  • Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  • Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая

Главная теорема о вписанном четырехугольнике

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике?

Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

На нашем рисунке – ( largedisplaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Читайте также:  При изготовлении каких изделий используют такое свойство древесины как упругость

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.

Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

  1. 1

    «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

  2. 2

    «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник можно вписать в окружность

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Отметим её центр ( displaystyle O) и проведём радиусы ( displaystyle OA) и ( displaystyle OC).

Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?

Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Итак,

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

( displaystyle angle ABC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ABC=frac{1}{2}cdot angle psi )

( displaystyle angle ADC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ADC=frac{1}{2}cdot angle varphi )

Но посмотри: ( displaystyle angle varphi +angle psi =360{}^circ )

Значит,

( displaystyle begin{array}{l}angle ABC+angle ADC=frac{1}{2}angle psi +frac{1}{2}angle varphi =\=frac{1}{2}left( angle psi +angle varphi right)=frac{1}{2}cdot 360{}^circ =180{}^circ end{array})

Получаем, что если ( displaystyle ABCD) – вписанный, то

( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Ну, и ясно, что ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C) тоже в сумме составляет ( displaystyle 180{}^circ ). (нужно так же рассмотреть ( displaystyle angle BAD) и ( displaystyle angle BCD)).

Пусть оказалось так, что у четырехугольника ( displaystyle ABCD) сумма каких – то двух противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ). Скажем, пусть

( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ )

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника ( displaystyle ABC) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка ( displaystyle D) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка ( displaystyle D) – снаружи.

Тогда отрезок ( displaystyle AD) пересекает окружность в какой-то точке ( displaystyle E). Соединим ( displaystyle C) и ( displaystyle E).

Получился вписанный (!) четырехугольник ( displaystyle ABCE).

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ), а по условию у нас ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Получается, что должно бы быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma )

Но это никак не может быть поскольку ( displaystyle angle gamma ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle gamma =angle beta +angle delta )

А внутри?

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Проделаем похожие действия. Пусть точка ( displaystyle D) внутри.

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Тогда продолжение отрезка ( displaystyle AD) пересекает окружность в точке ( displaystyle E).

Снова ( displaystyle ABCE) – вписанный четырехугольник ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ).

А по условию ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circquad Rightarrow ) должно выполняться ( displaystyle angle beta =angle gamma ), но ( displaystyle angle beta ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle beta =angle gamma +angle delta ).

То есть опять никак не может быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma ).

То есть точка ( displaystyle D) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Доказательство следствия 1

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Тогда должно выполняться ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что ( displaystyle angle B=angle D).

То есть

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B=angle Dend{array} right. left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)

И то же самое, естественно, касательно углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C).

Вот и получился прямоугольник – все углы по ( displaystyle 90{}^circ ).

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

( displaystyle angle B=90{}^circ Rightarrow AC) – диаметр,

( displaystyle angle A=90{}^circ Rightarrow BD) – диаметр

а значит, ( displaystyle O) – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Докажем?

Доказательство следствия 2

Пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность. Тогда ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Но ( displaystyle ADparallel BC Rightarrow angle B+angle A=180{}^circ )

То есть

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) ( displaystyle Rightarrow angle D=angle A). И так же ( displaystyle angle B=angle C).

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Всё ли мы обсудили?

Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).

Итак:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону ( displaystyle AD) из точек ( displaystyle B) и ( displaystyle C), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Каким свойством обладают углы вписанного в окружность

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов ( displaystyle B) и ( displaystyle D).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«( displaystyle angle ABD=angle ACDRightarrow ABCD) – вписанный» – и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.