Каким свойством обладают вписанные в окружность углы
Вписанные и центральные углы
Определение 1. Центральным угломназывают угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Рис. 1
Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Рис. 2
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема |
| Вписанный угол |  | Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Посмотреть доказательство |
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. |
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды |
| Вписанный угол |  | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды |
| Вписанный угол |  | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр |
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |  | Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной Посмотреть доказательство |
| Вписанный угол |
Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Посмотреть доказательство |
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
|
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
|
Теорема: Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
|
Теорема: Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
|
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Теорема: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
Посмотреть доказательство |
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами |  | Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство | |
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |  | Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство | |
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |  | Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство | |
| Угол, образованный касательной и секущей |  | Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство | |
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |  | Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
|
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный секущими секущими, которые пересекаются вне круга |
|
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный касательной и хордой хордой, проходящей через точку касания |
|
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
|
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
|
| Формулы: |
Теорема Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Рис. 5
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
Рис. 6
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
Рис. 7
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.
Рис. 8
Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Величина угла, образованного секущими секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.
Рис. 10
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис. 11
Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 6.Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.
Рис. 12
Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство
α = π – γ .
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
ㄥAOB = ◡ AB
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
- Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается и половине градусной меры центрального угла, опирающегося на эту же дугу.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° – AC – CB = 360 – 200 – 80 = 80
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360 = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому CAB = ½ от CB = 72/36 = 36°
Еще больше примеров и задачек на уроках математики в онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели объяснят любую, даже самую остроугольную тему. Ребенка ждут захватывающие примеры в интерактивном формате, карта прогресса в личном кабинете и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.
Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и занимайтесь в удовольствие!
Источник
Цели и задачи:
- знать определения вписанного и центрального углов, знать теорему о вписанном угле, уметь решать задачи нахождение вписанных, центральных углов и дуг на которые опираются эти углы;
- формирование пространственного мышления;
- воспитание самостоятельности.
Ход урока
I. Организационный момент.
На прошлом уроке мы познакомились с понятиями вписанного угла и центрального угла, с теоремой о вписанном угле. Сегодня мы будем применять эти знания для решения задач.
II. Устный счет.
слайд 1.
- Закончите предложение.
- Центральный угол – это… (угол с вершиной в центре окружности).
- Градусная мера дуги – это… (градусная мера соответствующего центрального угла).
- Угол, вписанный в окружность, – это…(угол, вершина которого лежит на окружности, стороны пересекают ее).
- Угол, вписанный в окружность, равен…(половине соответствующего центрального угла).
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу…(равны)
- Вписанные углы, опирающиеся на диаметр… (прямые).
- На доске на рисунке показать и назвать углы и дуги, на которые эти углы опираются.
Рисунок 1.
- центральный угол, ответ: ∠АОD, ∠АОВ, ∠ВОD, ∠КОD, ∠ВОК, ∠АОК.
- вписанный угол, ответ: ∠ВКD, ∠АDК, ∠ВАD
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, ответ: ∠ВКD и ∠ВАD
III. Проверка домашнего задания.
Проверить и разобрать решение задач №71 и №72 из рабочей тетради к учебнику геометрии.
слайд 2.
№71. Начертите окружность и проведите ее радиусы ОА, ОВ и ОС так, чтобы углы АОВ, ВОС и СОА были равны. Вычислите градусные меры образовавшихся дуг АВ, ВС и СА.
Устно разобрать, чему равны градусные меры получившихся дуг.
АВ=ВС= АС =120°.
№77. Точки М, К и Р делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 3, 2 и 7 (считая от точки М к точке К). Вычислите градусные меры углов треугольника МКР.
В рабочей тетради в решении дается подсказка: принимаем градусные меры дуг за 3х°, 2х° и __, что подставили? (7х°).
Так как сумма их градусных мер равна 360°, составим уравнение ____________
Какое уравнение получили?
Проверили решение уравнения.
3х+2х+7х=360
12х=360
х=360:12
х=30
МК=3х=90, РК=2х=60, МР=7х=210
Используя свойство вписанных углов, находим величины углов треугольника МКР:
∠ Р=45°, ∠ М=30°, ∠К=105°.
IV. Решение задач
1. Задачи по чертежам. слайд 3:
- Решите задачи устно найдите х:
Разобрать, почему в задаче 1 x= 60°, а в задаче 2 x = 80°.
На основании какого свойства? ( свойство вписанного угла: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла).
Постройте в тетради четыре одинаковых окружности.
- Скопируйте задания с рисунков в тетрадь и по данным задач 3 и 4. Презентация слайд 4. См. рисунок 3, найдите х.
Решение задачи 3: 360° – 80° = 280°,
x = 280°:2 = 140°
Решение задачи 4: 360° – 110° = 250°,
x = 250°:2 = 125°
- Скопируйте задания с рисунков в тетрадь и по данным задач 5 и 6. слайд 5. См. рисунок 4 найдите х.
Решение задачи 5: ∠С = 90°,
Какое свойство вписанного угла применяем?
(Вписанные углы, опирающиеся на диаметр прямые)
∠А = 90° – 37°= 53°.
Решение задачи 6: в треугольнике АВD∠В = 90°, ∠CВD =30° + 90° = 120°.
2) Задача №79 в рабочей тетради.
Около равнобедренного треугольника АВС описана окружность. Его основание АС стягивает дугу, градусная мера которой равна 140°. Вычислите градусные меры всех углов треугольника АВС.
В рабочей тетради построили чертеж к задаче Рисунок 7.
Решение.
Какой угол треугольника АВС можно найти?
Можно найти ∠B, т.к. это вписанный угол, который опирается на дугу АС.
∠В = 140°:2 = 70°,
Какое свойство равнобедренного треугольника можно применить?
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
∠А = ∠С = (180° – 70°) : 2 = 110°:2 = 55°.
Ответ: ∠В = 70°, ∠А = ∠С = 55°.
V. Домашнее задание.
П.107, повторить теорию по теме «Углы, вписанные в окружность»
Решить задачи №80, 82 в рабочей тетради.
VI. Самостоятельная работа на карточках по готовым чертежам.
слайд 6.
Учащиеся получают карточки с заданиями. См. рисунок 5.
VII. Проверка самостоятельной работы.
слайд 7.
VIII. Итоги урока.
Приложение.
Источник
Цели урока: формирования знаний по теме, организация работы по
усвоению понятий, научных фактов.
Образовательные задачи:
- ввести понятие вписанного угла;
- научить распознавать вписанные углы на чертежах;
- предвидеть дополнительное построение, содержащее вписанный угол, ведущее
к решению задачи; - рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее;
- показать применение теоремы при решении задач;
- познакомить с оптическими иллюзиями
Воспитательные задачи: активизация самостоятельности познавательной
деятельности учащихся. формирование навыков коллективной работы, развитие
чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение к познанию
оптической иллюзии и ее применение на практике, воспитание эстетической
культуры.
Развивающие задачи: продолжить развитие умения анализировать,
сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные
связи; совершенствовать графическую культуру.
Технология: проблемное изучение с применением информационных технологий.
Тип урока: урок формирования новых знаний.
Форма урока: урок – проблемное изложение.
Оборудование урока: презентация: презентация, листы самоанализа.
Этапы урока
- Мотивирование к учебной деятельности -1 минута.
- Постановка проблемы и создание плана ее решения – 2 минуты.
- Актуализация знаний – 4 минуты.
- Открытие нового понятия – 10 минут.
- Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия
– 4 минуты. - Применение новых знаний – 11 минут.
- Игра “Веришь – не веришь” с целью закрепления нового теоретического
материала – 2 минуты. - Индивидуальная работа с тестом – 5 минут.
- Применение новых знаний в незнакомых ситуациях – 4 минуты.
- Рефлексия – 3 минуты.
Ход урока
1. Мотивирование к учебной деятельности
Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я, надеюсь, что те знания, которые Вы
получите на уроке пригодятся Вам в жизни.
2. Постановка проблемы и создание плана ее решения
Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких
разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с
этих точек все розы были видны под одним и тем же углом? (Cлайд 2).
Презентация
Какие у Вас есть версии решения этой задачи?
Возникает проблемная ситуация. Знаний у учеников не хватает.
Чтобы ответить на этот вопрос, надо использовать свойства вписанного угла.
Тогда давайте вместе составим план действий на уроке. Какие цели урока и как мы
их будем достигать?”. В ходе обсуждения на экране появляется план урока. (Cлайд
3)
3. Актуализация знаний
Учитель: “ Дайте определение угла. Что называется центральным углом?”. (Cлайд
4)
Задачи (Cлайд 5
4. Открытие нового понятия
Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему?
(Cлайд 6)
Острые, прямые, тупые.
Углы 1, 3, 5 и 2, 4, 6 по расположению вершины угла? Как называют углы 1, 3,
5 ?
А углы 2, 4, 6 –называются вписанными. Вот о них мы сегодня и поведём речь.
Чем похожи и чем отличаются углы АВС и КРО? (Cлайд 7)
После ответа на этот вопрос учащиеся пытаются дать определение вписанного
угла, после чего учитель выводит на экран формулировку, подчеркивая важные
моменты: (Cлайд 8)
- вершина лежит на окружности,
- стороны пересекают окружность.
Далее, работа со слайдом 9 на закрепление понятия вписанного угла.
Найти рисунки, на которых изображены вписанные углы.
Задание. Выразите величину вписанного угла, зная, как выражается
величина центрального угла через дугу, на которую он опирается. Работа со
слайдом 10
Какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы выполнить указанное
задание? Если учащиеся сразу не догадаются, уточнить: какой центральный угол
нужно связать с данным вписанным углом?
Далее учащиеся видят, что полученный центральный угол является внешним углом
равнобедренного треугольника и приходят к выводу, что один из углов (в частности
вписанный), равный их полусумме, равен половине центрального, т.е. половине
дуги, на которую он опирается.
Далее учитель подтверждает замеченный ими факт, и говорит, что по сути дела в
данном случае доказана теорема, которую нужно формулировать точно в соответствии
с учебником.
Дается точная формулировка теоремы и проецируется на экран. (Cлайд 11).
Ученики в тетрадь переносят чертеж (слайд 12), далее записывают в
тетради условие. Один из учащихся комментирует записи. Следующий ученик
записывает и комментирует доказательство теоремы. Логичность и полноту
оформления проверяют с помощью слайда 12). Таким образом, оформлено
доказательство теоремы для случая, когда сторона вписанного угла проходит через
центр окружности.
Случай, когда центр окружности лежит внутри угла, рассматривается устно с
применением слайда 13.
Следующий случай, когда центр окружности лежит вне угла, учитель предлагает
обосновать самостоятельно при домашней подготовке. (Cлайд 14). В классе
же по чертежу слайда 15 выясняют, что данный вписанный угол можно
рассматривать как разность двух углов, у каждого из которых одна сторона
является какой либо стороной данного угла, а вторая сторона общая и проходит
через центр окружности.
5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия
Работа со слайдом 15.
Задание. Как быстро с помощью циркуля и линейки построить сразу несколько
углов, равных данному углу? Они замечают, что их способы способ нерациональны.
Возникает проблемная ситуация: старые знания не дают рационального решения
поставленной задачи.
Подумайте, как, используя новый материал, можно решить эту задачу. Можно
провести окружность, проходящую через вершину угла, без указания центра и
построить различные вписанные углы, опирающихся на одну дугу. Проблемная
ситуация разрешена. После чего формулируется следствие 1: “Вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу, равны”.
Аналогично проводится работа, ведущая к формулировке следствия 2. (Cлайд
16)
Как быстро с помощью циркуля и линейки построить прямой угол? Разъясняется,
что “быстро” надо понимать за “минимальное число шагов”. Приходим к
нерациональности данного построения. Если ученики не догадались, как выполнить
построение, учитель задает вопрос: на какую дугу должен опираться прямой
вписанный угол? После этого ученики излагают пошагово ход построения:
- Начертить окружность произвольного радиуса.
- Провести диаметр.
- Выбрать любую точку окружности, кроме концов диаметра.
- Провести лучи из выбранной точки через концы диаметра.
После этого учитель говорит, что в данном построении использовалось следствие
2 из теоремы о вписанном угле. Попробуйте его сформулировать.
Уточненная формулировка проецируется на экран. (Cлайды 17-19)
6. Применение новых знаний
Решение задач на закрепление нового материала. Работа со слайдами 20-26.
7. Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.(Cлайд
27)
Игра “ Веришь – не веришь”
- Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚,
то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚? - Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют
равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?Верите ли вы, что
угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом? - Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
он опирается? - Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины
дуги, на которую он опирается? - Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен
180˚? - Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность
называется вписанным углом? - Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу равны? - Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут
связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?
8. Индивидуальная работа с тестом. (Cлайды 28-30)
Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.
Вариант 1.
1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ
а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;
2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.
а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;
3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол
АОС=126°
а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;
Вариант 2.
1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.
а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;
2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.
а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;
3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.
а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;
Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста.
| Задания | 1 | 2 | 3 |
| 1 Вариант | Б | В | В |
| 2 Вариант | Б | В | В |
9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях
а ) Работа со слайдами 31-33.
Учитель: “Дома Вы решали задачу на вычисление углов пятиконечной звезды,
вписанной в окружность. Как Вы ее решили?”.
Как решить эту задачу с помощью теоремы о величине вписанного угла.
II способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги,
задача решается очень просто: 360°: 5 :2 *5=180°.
б)Разбор математического софизма на применение теоремы о величине
вписанного угла.
Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.(Cлайд 34-36) Найти
ошибку в рассуждениях.
Решение. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем
какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды
D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком
прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), Ð А
= Ð С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, Ð ВDА= Ð
ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие
треугольники равны. Значит,
▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные
стороны.
Поэтому, АВ=ЕС.
Найдите ошибку в рассуждениях.
в) Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. (Cлайды
37-39)
Показать, какую иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы и
вписанные углы.
Тест1. Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы. Хотя
углы АОВ, ВОС, COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты
два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.
Тест 2-3. Здесь доминирующими являются окружности. Углы, вписанные в
окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник.
Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к
квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.
Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например,
с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.
10. Рефлексия
Давайте вернемся к плану урока и посмотрим, на все ли вопросы мы ответили?
Мы с Вами не ответили на один вопрос. Так как же надо посадить три розы?
(Cлайд 40-41)
Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из
всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же
углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме
точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного
угла в окружность.
В конц