Каким свойством обладают вырожденные проекции плоскостей частного положения

Каким свойством обладают вырожденные проекции плоскостей частного положения thumbnail

Какими элементами может быть задана плоскость в пространстве и на чертеже?

В пространстве плоскость может быть задана:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

в) двумя параллельными прямыми;

г) двумя пересекающимися прямыми;

д) плоской фигурой.

На чертеже плоскость может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

б) проекциями прямой и точки, не лежащей на этой прямой;

в) проекциями двух параллельных прямых;

г) проекциями двух пересекающихся прямых;

д) проекциями любой плоской фигуры;

е) следами плоскости.

Как могут располагаться плоскости по отношению к плоскостям проекций и как они называются?

Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения:

1. Наклонена ко всем плоскостям проекций.

2. Перпендикулярна плоскости проекций.

3. Параллельна плоскости проекций.

Плоскость не перпендикулярную и не параллельную ни одной

из плоскостей проекций называют плоскостью общего положения.

Проецирующие плоскости – плоскости перпендикулярные к плоскости проекций.

Горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций.

Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций.

Профильно-проецирующая плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций.

Плоскости уровня – плоскости параллельные плоскости проекций, перпендикулярные одновременно двум плоскостям проекций (двояко-проецирующие).

Горизонтальная плоскость уровня параллельна горизонтальной плоскости проекций.

Фронтальная плоскость уровня параллельна фронтальной плоскости проекций.

Профильная плоскость уровня параллельна профильной плоскости проекций.

Каковы особенности изображения на чертеже плоскости уровня и проецирующей плоскости?

На ту плоскость проекций, к которой плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую линию. На эту же плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Любая линия или фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажения (в натуральную величину) на ту плоскость проекций, которой данная плоскость параллельна. На две другие плоскости проекций плоскость уровня проецируется в виде отрезков прямых линий (следов) параллельных соответствующим осям.

Каким свойством обладает вырожденная проекция плоскости (проекция-носитель)?

Особенность вырожденной проекции плоскости состоит в том, что она обладает собирательным свойством. Это означает, что любая точка плоскости получает свое отражение на этой проекции.

Что называется следом плоскости? Где расположены горизонтальная проекция фронтального следа и фронтальная проекция горизонтального следа?

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того, с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Горизонтальная проекция фронтального следа и фронтальная проекция горизонтального следа лежат на оси проекций х.

Условие принадлежности точки плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой (кривой) лежащей в плоскости.

Условие принадлежности прямой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью две общие точки.

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью общую точку и проходит параллельно прямой лежащей в плоскости.

Какие прямые называются главными (особыми) линиями плоскости?

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций.

Фронталь – прямая линия, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

Профильная прямая – прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекции.

Прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная к горизонтали, фронтали или профильной прямой, называется линией наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П1, П2 или П3. Линию наибольшего наклона к плоскости проекций П1 называют линией наибольшего ската.

Источник

Наверх

Каким свойством обладают вырожденные проекции плоскостей частного положения

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Положение плоскости в пространстве определяется:

  • тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  • прямой и точкой, взятой вне прямой;
  • двумя пересекающимися прямыми;
  • двумя параллельными прямыми;
  • плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

  • проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
  • проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
  • проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
  • проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
  • плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
  • следами плоскости;
  • линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απ2 и профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости: все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскостьплоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость  плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровняплоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5).
Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

α = m // n
∈ ⇒  α

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

left.begin{array}{l}alpha=mparallel n,\Dinalpha\Cinalpha\end{array}right} Longrightarrow CDinalpha

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С.

достроить горизонтальную проекцию плоского четырехугольника

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение:

  1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
  2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
  3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A2C2 ∩ B2D2=K2.
  4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B1D1 строим К1.
  5. Через А1К1 проводим проекцию диагонали А1С1.
  6. Точку С1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А1К1.

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Интерактивная модель
Горизонталь плоскости
Интерактивная модель. Горизонталь плоскости

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Интерактивная модель
Фронталь плоскости
Интерактивная модель. Фронталь плоскости

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Интерактивная модель
Профильная прямая плоскости
Интерактивная модель. Профильная прямая плоскости

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

alpha=mcap n\left.begin{array}{l}a_2parallel m_2\a_1parallel m_1\end{array}right} Rightarrow aparallelalpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

  1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
  2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
  3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Интерактивная модель
Пересечение прямой с плоскостью
Интерактивная модель. Пересечение прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение:

    1. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К1∈А1В и заданной плоскости σ ⇒ К1∈σ, следовательно, К1 находится в точке пересечения проекций А1В1 и σ1;
    2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ1 (горизонтальный след плоскости);
    3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К2∈А2В2.

    Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

    Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

    Упражнение

    Заданы:  плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

    Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

    построить точку пересечения прямой с плоскостью

    Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

    Решение:

    1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
    2. Если α⊥π1, то на плоскость проекций π1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ1 или α1), совпадающую с E1F1;
    3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
    4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

    Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б):
    Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

    1. left.begin{array}{l}alpha perp pi_1\alphain EF\end{array}right} Longrightarrow alpha_1in E_1F_1
    2. alphacapsigma=(1-2)left.begin{array}{l}|alpha_1cap A_1C_1=1_1longrightarrow 1_2\|alpha_1cap A_1B_1=2_1longrightarrow 2_2\end{array}right.
    3. (1_2-2_2)cap E_2F_2=K_2\left.begin{array}{l}Kin EF\Kin (1-2)Rightarrow Kinsigma\end{array}right}Longrightarrow K=EFcap (sigma =triangle ABC)

    3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

    При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.

    Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.

    Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.

    Видимость на π2 (рис. 3.15)

    Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.

    Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.

    Направление взгляда на π2 показано стрелкой.

    По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.

    41∈E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.

    Видимость на π1.

    Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.

    Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.

    Направление взгляда на π1 показано стрелкой.

    По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.

    22∈А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.

    Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и)  «Y» больше.

    3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

    Признак перпендикулярности прямой плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

    Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

    Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

    Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

    Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

    Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

    Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС  и проходит через точку K.

    1. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ=ΔАВС  : σ=ΔАВС : A-1∈σ; A-1//π1; С-2∈σ; С-2//π2.
    2. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости: p1h1 и p2f2, или p1⊥απ1 и p2⊥απ2.

    3.8. Взаимное положение двух плоскостей

    3.8.1. Параллельность плоскостей

    Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

    Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

    Упражнение

    Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

    Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

    Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

    Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

    Решение:
    В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

    1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
    2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m,  проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
    3. β = m∩n и β//α по определению.
    Интерактивная модель
    Параллельность двух плоскостей
    Интерактивная модель. Параллельность двух плоскостей

    3.8.2. Пересечение плоскостей

    Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

    Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

    Упражнение

    Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей.

    Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

    Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

    Порядок построения линии пересечения плоскостей:

    1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М и М2, при этом М1, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π1).
    2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N1 и N2, при этом N2=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π2).
    3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М1N1 и М2N2.

    МN – линия пересечения плоскостей.

    Упражнение

    Задана плоскость σ = ΔАВС, плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π1) ⇒α1 – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19).
    Построить линию пересечения этих плоскостей.

    Решение:

    Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.

    Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K1 и L1 , на пересечении горизонтального следа (α1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВСА1В1 и A1C1. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K2 и L2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K1 и L1; K2 и L2. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

    Алгоритм решения задачи:

    left.begin{array}{l}ABcapsigma=K\ACcapsigma=L\end{array}right} left.begin{array}{l}Rightarrow A_1B_1capsigma_1=K_1 rightarrow K_2\Rightarrow A_1C_1cap sigma_1=L_1 rightarrow L_2\end{array}right.

    KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

    Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

    Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

    Упражнение

    Заданы плоскости α  = m//n и плоскость σ = ΔАВС (Рисунок 3.20).
    Построить линию пересечения заданных плоскостей.
    Решение:

    1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
    2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π2; τ⊥π2.
    3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:

    — результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7);
    — результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).

    1. Прямые  (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях σ и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
    2. Аналогично находим точку N, общую для плоскостей  σ и β.
    3. Соединив точки M и N, построим прямую пересечения плоскостей σ и β.

    Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения

    Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

    Алгоритм решения задачи:

    left.begin{array}{l}alphacapsigma=(4-5)\betacapsigma=(3-2)\end{array}right}\left.begin{array}{l}alphacaptau=(6-7)\betacaptau=(1-8)\end{array}right}left.begin{array}{l}(4_1-5_1)cap(3_1-2_1)=M_1rightarrow M_2\(6_1-7_1)cap(1_1-8_1)=N_1rightarrow N_2\end{array}right}rightarrow\left.begin{array}{l}M_1N_1\M_2N_2\end{array}right}Rightarrowalphacapbeta=MN

    Упражнение

    Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

    Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

    Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

    Решение:

    Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K.

    Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β.

    Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β.

    Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb).

    Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

    3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

    Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

    Упражнение

    Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

    Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

    Решение.

    Проведём перпендикуляр CD к плоскости  σ – C2D2⊥σ2 (на основании теоремы о проецировании прямого угла).

    Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

    Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

    По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ.

    Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

    Упражнение

    Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α.

    Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K.

    Алгоритм решения (Рисунок 3.23):

    1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС;
    2. Через точку проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b2f2b1h1;
    3. Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩b, таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.

    Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной

    Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

    3.9. Задачи для самостоятельного решения

    1. Задана плоскость  α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

    Постройте фронтальную проекцию точки К.

    RIS2_13

    Рисунок 3.24

    2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

    ris3_14

    Рисунок 3.25

    3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

    ris2_16

    Рисунок 3.26

    4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

    ris3_10

    Рисунок 3.27

    5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

    ris4_7

    Рисунок 3.28

    6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

    7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

    Ваша заявка отправленна

    В скором времени мы с вами свяжемся

    Источник