Каким свойством обладают высоты треугольника
Там, где есть высота, есть и прямой угол.
А значит, и прямоугольный треугольник, который поможет тебе решить массу задач!
И простые подобия, и «хитрые подобия с косинусом», и другие свойства прямоугольных треугольников!
И самое главное – не нужно ничего запоминать.
Научись выводить и никогда не ошибёшься, сможешь всегда себя проверить и решить любую задачу!
Все в этой статье. Читай.
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).
Давай нарисуем:
На этом рисунке ( displaystyle BH) – высота.
Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.
И тогда получается так:
В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота?
Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.
Давай попробуем.
Пример решения задачи
Вот есть, скажем, задача:
В треугольнике ( displaystyle ABC) с тупым углом ( displaystyle C) проведена высота ( displaystyle BH). Найти ( displaystyle AC), если ( AB=2sqrt{10}), ( BC=sqrt{13}), ( BH=2).
Решаем:
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
Смотри: из-за того, что угол ( C) – тупой, высота ( BH) опустилась на продолжение стороны ( AC), а не на саму сторону.
Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.
Смотри их целых два:
Применяем теорему Пифагора к треугольнику ( BCH):
( B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}), то есть ( 13=4+C{{H}^{2}}); ( CH=3).
А теперь теорема Пифагора для ( Delta ABH):
( A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}); то есть ( 40=A{{H}^{2}}+4); ( AH=6).
Теперь осталось только заметить, что ( AC=AH-CH=6-3=3).
Нашли!
Пересечение высот
А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:
В любом треугольнике все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Смотрим, как это бывает:
a) Сами высоты пересекаются:
b) Пересекаются продолжения:
Ну вот, про высоту и запоминать-то нужно всего ничего:
- Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
- Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке.
(Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности)
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Высота треугольника –линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, содержащей эту высоту).
Обрати внимание, что, в отличие от биссектрисы и медианы,высота может находиться вне треугольника. Вот так, например:
Немного о терминологии: основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).
Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.
Первый «неожиданный факт»:
( displaystyle Delta AB{{H}_{A}}sim Delta ~CB{{H}_{C}})
Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол ( displaystyle B) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.
Второй «неожиданный» факт:
( Delta A{{H}_{C}}Hsim{ }Delta C{{H}_{A}}H)
Здесь тоже подобие по двум углам: ( angle 1=angle 2) (как вертикальные) и по прямому углу.
Третий, по-настоящему неожиданный факт:
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
( Delta ABCsim Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}})
Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.
- Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол ( B).
- А во-вторых… Ты помнишь ещё первый “неожиданный” факт? Ну, что ( Delta A{{H}_{A}}Bsim Delta C{{H}_{C}}B)? Вспоминаем и применяем!
Запишем отношения соответствующих сторон.
Итак, ( Delta A{{H}_{A}}Bsim Delta C{{H}_{C}}B).
Следовательно, ( frac{{{H}_{C}}B}{{{H}_{A}}B}=frac{BC}{AB})
Перепишем по–другому: ( frac{{{H}_{C}}B}{BC}=frac{{{H}_{A}}B}{AB})
Ух, да это же – отношение сторон для треугольников ( ABC) и ( {{H}_{A}}B{{H}_{C}})!
В итоге мы получили, что у треугольников ( ABC) и ( {{H}_{A}}B{{H}_{C}})
- Угол ( B) – общий;
- Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы: ( frac{{{H}_{C}}B}{BC}=frac{{{H}_{A}}B}{AB}).
Значит, мы получили, что:
( Delta ABCsim Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}})
Но самое интересное ещё впереди!
Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение ( frac{{{H}_{C}}B}{BC})?
Рисуем:
Где наши знания о прямоугольном треугольнике?
Что такое ( {{H}_{C}}B)? Катет, прилежащий к углу ( B).
А что такое ( BC)? Гипотенуза!
Значит, ( frac{{{H}_{C}}B}{BC}=cosangle B).
Потрясающе, не правда ли?
Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:
( displaystyle Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}sim Delta ABC)( k=cos angle B)
Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены. А теперь…
В треугольнике проведены три высоты
Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:
В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.
Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».
1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:
2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:
Что же полезного мы ещё не обсудили?
Угол между высотами
Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.
Итак, нам хотелось бы найти ( displaystyle angle varphi ).
Смотрим на ( displaystyle Delta AHC). Замечаем, что наш ( displaystyle angle varphi ) – внешний угол в этом треугольнике.
Значит, ( angle varphi =angle 1+angle 2).
Чему же равны ( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle 2)?
Смотри: из ( Delta A{{H}_{A}}C) выходит, что ( angle 1=90{}^circ -angle C).
Конечно, таким же образом из ( Delta C{{H}_{C}}A) получается, что ( angle 2=90{}^circ -angle A).
Теперь ( angle ~varphi =angle ~1+angle ~2=90{}^circ -angle ~C+90{}^circ -angle ~A=180{}^circ -angle ~A-angle ~C).
Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника – ( 180{}^circ )! Значит, ( angle varphi =angle B).
Итак, что получилось?
Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
А как же дело обстоит в тупоугольном треугольнике? Давай смотреть…очень внимательно!
Представим, что у нас «главный» не ( displaystyle Delta ABC), а ( displaystyle Delta AHC).
Тогда оказывается, что прямые ( displaystyle AB), ( displaystyle BC) и ( displaystyle HB) – высоты в ( displaystyle Delta AHC).
Но ( displaystyle Delta AHC) уже остроугольный (так как все высоты оказались внутри), а про остроугольный треугольник мы уже всё знаем: ( displaystyle angle alpha =angle H).
НО! ( displaystyle angle alpha =180{}^circ -angle B)
Значит, для тупоугольного треугольника:
( angle ~H=180{}^circ -angle ~B).
И ещё кое–что…
Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:
Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!
Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!
Но тем не менее…
( Delta C{{H}_{C}}Bsim Delta C{{H}_{A}}Hsim Delta A{{H}_{A}}Bsim Delta A{{H}_{C}}H)
Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!
Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника. Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее – которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…
Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести. И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!
Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).
Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: ( displaystyle A{{H}_{A}}:B{{H}_{B}}:C{{H}_{C}}=frac{1}{BC}:frac{1}{AC}:frac{1}{AB}).
Способы вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:
- Через сторону и угол треугольника: ( displaystyle A{{H}_{A}}=ACcdot sin C=ABcdot sin B).
- Через все 3 стороны треугольника:( displaystyle A{{H}_{A}}=frac{2}{BC}cdot sqrt{pcdot (p-BC)cdot (p-AC)cdot (p-AB)}),где ( displaystyle p) – полупериметр треугольника: ( displaystyle p=frac{AB+BC+AC}{2}).
- Через сторону и площадь треугольника: ( displaystyle A{{H}_{A}}=frac{2S}{BC}).
- Через стороны треугольника и радиус описанной окружности:
( displaystyle A{{H}_{A}}=frac{ABcdot AC}{2R}),где ( displaystyle R) – радиус описанной окружности.
P.S. Последний бесценный совет ????
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.
Почему?
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
Набить руку, решая задачи.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.
Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.
А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.
После регистрации ты сможешь:
- проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
- подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
- понять тему с помощью статей учебника YouClever;
- набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
- сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.
Бонус: информатика и физика.
И в заключение…
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Твоя очередь!
Ты знаешь очень много о высоте треугольника. И вот, что нужно сделать дальше. Практикуйся! Ведь я уверен, что с каждой задачей ты будешь все увереннее применять свои знания!
Высота треугольника – не просто перпендикуляр, длину которого мы используем для нахождения площади, верно? Это кое-что покруче ????
А теперь мы хотим узнать твое мнение!
Помогла ли тебе эта статья? Понравилась ли она тебе и все ли было понятно?
Напиши внизу в комментариях!
А если остались вопросы, задай их! Мы непременно ответим тебе!
Успехов!
Источник
Анонимный вопрос
6 июня 2018 · < 100
Чему равна скорость свободного падения?
Такой скорости не существует. Тело, находящееся под действием силы тяжести, в отсутствие других сил увеличивает свою скорость по закону v=gt, где g – ускорение свободного падения, или, выражаясь хитрее, напряжённость гравитационного поля в данной точке. Если на тело действует сила сопротивления среды, то она увеличивается по сложному закону с ростом скорости тела, и при достижении равенства силы тяжести, действующей на тело, силе сопротивления данная скорость падения остаётся неизменной.
Прочитать ещё 3 ответа
Сколько весит тень?
физик-теоретик в прошлом, дауншифтер и журналист в настоящем, живу в Германии
Вес (в физике) – это сила, с которой тело давит на опору. Обычно его путают с массой, так как в гравитационном поле Земли вес пропорционален массе, а коэффициент пропорциональности (ускорение свободного падения) практически неизменен. Также и во вращающейся неинерциальной системе (например, во вращающейся космической станции) центробежная сила (а с нею и вес объектов) будет пропорциональна их массе, но коэффициент пропорциональности будет уже иным.
Теперь о тени. Конечно, это не объект. И массы у нее нет. Тем не менее, в некотором смысле у тени есть вес. Только он – отрицательный!
Ведь тень – это отсутствие света из-за вставшей на его пути преграды. Свет – это поток фотонов, имеющих массу и скорость, а с ними и импульс. Если бы фотоны долетали, они передавали бы свои импульсы освещенной “опоре”, оказывая непрерывное давление. А давление, умноженное на площадь – это сила. Можно сказать, вес света. Ну а тень – это отсутствие и света и его “веса”. То есть, по сравнению с освещением тень как бы имеет “отрицательный” вес, примерно как “дырка” (нехватка отрицательно заряженного электрона в полупроводнике) “имеет” положительный заряд.
Прочитать ещё 3 ответа
Как найти площадь треугольника без прямого угла?
См. рисунок ниже. Найдем площадь треугольника следующим образом. В произвольном треугольнике ABC проведем высоту BD, длина которой h. Высота разобьет сторону AC на две отрезка AD и DC с длинами a и b соответственно. Достроим к получившимся прямоугольным треугольникам ADB и DBC им равные треугольники AA‘B и BC‘C. Получим два прямоугольника AA‘BD и BC‘CD. Их площади равны: S(AA‘BD) = ah, S(DBC‘C) = bh, а площади треугольников, поскольку треугольники, из которых состоят прямоугольники, равны значит и площади их равны, можно найти как половины соответственных треугольников:
S(ADB) = (1/2) • S(AA‘BD) = (1/2)ah, S(BDC) = (1/2) • S(DBC‘C) = (1/2)bh, тогда площадь всего треугольника ABC будет равна сумме площадей треугольников, на которые разбит исходный:
S(ABC) = (1/2)h(a + b), если a + b = d то, S(ABC) = (1/2)hd. Если на известен угол между любыми смежными сторонами треугольника ABC то, можно его площадь выразить иначе. Синус, например угла α, равен: sin(α) = h/[AB] откуда h = [AB]sin(α), подставим в ранее полученный результат и тогда получим, что S(ABC) = (1/2)d[AB]sin(α), замените длину стороны AB на любую букву, например l, и тогда получим, что S(ABC) = (1/2)ldsin(α).
Прочитать ещё 2 ответа
Как ориентироваться по компасу?
Педагог, музыкант, начинающий путешественник и немножко психолог
Особенность компаса такова, что его стрелка всегда указывает на север. Для большей точности положите прибор на ровную поверхность параллельно земле. Разверните его так, чтобы север был наверху – на 12 часов по аналогии с циферблатом. Теперь Вы легко сможете определить остальные стороны горизонта: внизу юг, слева запад, справа восток. Зная направление движения, наметьте себе ориентир на местности и идите к нему. Чтобы не сбиться, периодически сверяйтесь с компасом и находите новые ориентиры.
Прочитать ещё 2 ответа
Источник
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки на отрезок , зато можем опустить его на прямую — то есть на продолжение стороны .
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол равен ) пересекаются в точке .
Рассмотрим треугольник .
,
, тогда
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Тогда .
Ответ: .
2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Пусть — высота, проведенная из вершины прямого угла , — биссектриса угла .
Тогда
.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
Ответ: .
3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Из треугольника (угол — прямой) найдем угол . Он равен .
Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .
В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :
.
Ответ: .
4. В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .
Рассмотрим треугольник .
, тогда .
Из треугольника получим, что .
Тогда .
Ответ: .
5. В треугольнике угол равен , угол равен . , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Найдем угол . Он равен .
Тогда .
Из треугольника найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник .
, . Значит
Ответ: .
6. В треугольнике , — медиана, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».
Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.
Правильный ответ: .
Источник