Какими силами обусловлены упругие свойства тел
Изменение размеров и формы тел под
действием приложенных сил называется деформацией.
Если после прекращения действия сил, вызвавших деформацию, тело принимает
первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации происходят в том
случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый,
определенный для каждого конкретного тела предел. При превышении этого предела
тело получает остаточные (пластические) деформации, т.е. такие
деформации, которые сохраняются и после прекращения действия силы. Все
возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум
основным: растяжению-сжатию и сдвигу.
Диаграмма деформации.
Качественное поведение функциональной связи между относительной деформацией ε и напряжением σ представлено графически на рис. 16. При малых деформациях
(прямая линия 0-П) наблюдается область пропорциональной упругой деформации.
Здесь выполняется закон Гука. В области П-У деформация – также упругая, но
закон Гука не справедлив. Начиная с точки У, вплоть до точки Т наблюдается
область остаточных неупругих деформаций. Интервалу Т-Р соответствует область
текучести, когда приложение незначительного усилия приводит к повышенной
необратимой деформации. Вблизи точки Р текучесть прекращается, и для дальнейшего
деформирования тела требуется приложение повышенного усилия. Однако это
дополнительное усилие приводит к разрушению тела. Ниже перечислены названия
особых точек и областей деформации:
П – предельная точка пропорциональной деформации,
У – предел упругости,
0-У – область упругих деформаций,
Т – предел текучести,
У-Т – область остаточных деформаций,
Т-Р – область текучести,
Р – предел прочности, точка разрыва.
Рис. 16
Продольное
растяжение-сжатие (рис. 17 и 18). Если
к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль
его оси силы F1 и F2, действие которых равномерно
распределено по всему сечению, причем F1
= – F2, то
первоначальная длина стержня l
получит положительное (при растяжении), либо
отрицательное (при сжатии) приращение Δl = l
– l
и станет равной l.
При этом каждый произвольно выбранный элемент длины стержня δl получает приращение Δ(δl), пропорциональное его
длине, так что для всех элементов стержня отношение Δ(δl)/δl оказывается одним итем же. Естественно поэтому в
качестве величины, характеризующей деформацию стержня, взять относительное
изменение его длины: ε = Δl/l0.
Относительное удлинение ε является безразмерной
величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия отрицательно.
Закон
Гука для стержней из однородного материала–
относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе,
приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
ε = a∙F
/ S = a∙s.
Коэффициент пропорциональности aназывается
коэффициентом упругости (упругой податливости). Он зависит только
от свойств материала стержня. Величина s, равная отношению силы F к величине поверхности S, на которую сила действует, называется напряжением F / S = s. Если сила направлена по
нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена
по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется
тангенциальным (или касательным). (Нормальное напряжение принято обозначать
символом s,
тангенциальное – τ). Итак, относительное удлинение оказывается пропорциональным
нормальному напряжению, и коэффициент упругости aчисленно
равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.
Наряду с коэффициентом упругости aдля
характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е = 1/ɑ,
которая называется модулем Юнга.
Заменяя ɑчерез Е в формуле ε= ɑ∙s, получим другую форму
закона Гука:
= (1/Е) ∙s.
Рис. 17 Рис.
18 Рис. 19
Следовательно, модуль Юнга равен
нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице (т.
е. приращение длины Δl равно первоначальной
длине l0,если бы столь большие
упругие деформации были доступны). На самом деле, при значительно меньших
напряжениях происходит разрыв стержня, а предел упругости достигается еще
раньше.
С учетом формул s = F / S и = Δl /
l0 из
закона Гука
= s
/Е следует
формула упругой силы:
F
= (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl,
где k– постоянный для данного
стержня коэффициент, который для пружин называется жесткостью пружины.
Изменение длины стержня при деформации
сопровождается изменением 
относительным поперечным
расширением или сжатием:
ε‘ = Δ d /
d.
Обычно ε
и ε‘ имеют противоположные знаки: при
растяжении ε положительно, a ε‘
отрицательно, при сжатии
отрицательно, a ‘положительно.
Опыт дает, что в области упругих деформаций ε‘
пропорционален ε :
ε‘ = – μ.∙ε,
где μ–
коэффициент поперечного сжатия или коэффициент
Пуассона (положительный коэффициент, зависящий только от свойств
материала).
Деформация
сдвига (рис. 19). Возьмем однородное тело, имеющее
форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням
силы 
и 
(
= – ),
направленные параллельно этим граням. Если действие сил будет равномерно
распределено по всей поверхности соответствующей грани S, то в любом сечении, параллельном этим
граням, возникнет тангенциальное напряжение τ = F
/ S.
Под действием напряжения тело деформируется так, что одна грань смещается
относительно другой грани на некоторое расстояние а. Если тело мысленно
разбить на элементарные горизонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым
относительно соседних с ним слоев.
При деформации сдвига любая прямая,
первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый
угол j.
Следовательно, отношение сдвига δа двух произвольно взятых
слоев к расстоянию между этими слоями δb будет одинаково для
любой пары слоев. Это отношение естественно
взять в качестве характеристики деформации
сдвига : 
.
Величина gназывается относительным сдвигом. В силу малости угла
j можно
положить tg j
≈ j.
Следовательно, относительный сдвиг gоказывается
равным углу сдвига j
(выраженному в радианах). Опыт показывает, что для малых деформаций
относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
Коэффициент G зависит
только от свойств материала и называется модулем
сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол
сдвига оказался бы равным 45° (tg j = 1), если бы при столь больших
деформациях не был превзойден предел упругости.
Кручение
круглого стержня (рис. 20). Если круглый стержень закрепить одним концом
неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент (момент пары сил) 
,
имеющий
направление вдольоси стержня, то
стержень получит такую деформацию, при которой одно основание повернется по
отношению к другому на некоторый угол j.
Деформация кручения – это пример
неоднородного сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на
элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то
закручивание приведет к сдвигу
каждого из таких слоев по риотношению к соседним
слоям. Правда, этот сдвиг Рис. 20
будет неоднороден: участок слоя ΔS получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя
тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня. Угол
закручивания стержня определяется следующим
выражением: Рис. 48
,
где l –
длина стержня,
R – радиус его сечения, G – модуль
сдвига, М –
вращательный момент (момент сил).
Энергия
упругой деформации. Упруго деформированное
тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в начальное
состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над
внешними телами, т.е. обладает некоторым запасом энергии. Поскольку эта энергия
обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой
потенциальную энергию WП.
Запас энергии деформированного тела равен работе, которая совершается внешними
силами при деформации WП
= A. Вычислим энергию упруго
растянутого стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой,
модуль которой определяется выражением F
= k∙Δl. Работа этой силы равна: 
, где буквой х
обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации
изменяется от 0 до Δl. Сила F, соответствующая
удлинению х,
согласно формуле F
= (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl, равна
F
= k∙x = (Е∙S / l0)× x.
Следовательно, 
Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l0,
заменяя затем отношение Δl /
l0 относительным
удлинением e
= Δl
/ l
и учитывая, наконец, что произведение S∙l равно объему стержня V, получим:
.
Введем в рассмотрение плотность энергии w, которую определим как отношение
энергии ΔW
к тому объему ΔV,
в котором она заключена. Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация
является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия
распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно
считать, что выражение
определяет плотность энергии упругой деформации при
растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что
плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна:
.
В области пропорциональной деформации справедливы
также эквивалентные формулы:
и 
.
Источник
Упругость — свойство восстанавливать форму тела после прекращения воздействия других тел или полей.
Деформация — изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил. Деформации могут быть упругими и пластичными.
Упругая деформация — деформация, при которой после прекращения действия внешних сил тело восстанавливает прежние размеры и форму.
Пластическая (остаточная) деформация — деформация, которая не исчезает в теле после прекращения действия внешних сил.
Все виды возможных деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к двум одновременно происходящим деформациям — растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Относительная деформация — мера деформации, равная отношению абсолютной деформации Ах к первоначальному значению величины х, характеризующей размеры и форму тела.
Если к концам стержня (рис. 3.14) с площадью поперечного сечения S приложены направленные вдоль его оси внешние силы Fj и Р2 (Fj = F2 = F), то длина стержня I получит положительное (при растягивании) или отрицательное (при сжатии) приращение Al, принятое называть абсолютным удлинением. Изменение длины стержня сопровождается изменением диаметра d стержня, причем при растяжении Al > О, Ad 0, при сжатии — Al 0.
Рис. 3.14
Относительное удлинение (сжатие) — это отношение абсолютного удлинения А? к начальной длине I тела:
Сила упругости Fynp — сила, возникающая при деформации тела и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц при деформации.
Напряжение а — физическая величина, равная по модулю силе упругости, действующей на единицу площади поперечного сечения тела:
Закон Гука: в пределах упругой деформации напряжение прямо пропорционально относительной деформации:
где Е — модуль Юнга (модуль Юнга равен напряжению, когда относительное удлинение равно единице, т. е. при е = 1 получаем ст = Е).
Закон Гука справедлив только для упругих деформаций, исчезающих после прекращения действия сил.
Закон Гука можно представить в виде:
Сопоставив данное выражение с формулой закона Гука F = = -кх, где к — жесткость тела, получим:
В зависимости от условий внешнего воздействия различают несколько видов деформации. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.
Деформация (растяжения) сжатия возникает (рис. 3.15, а), если к концам стержня длиной I и площадью поперечного сечения S прикладываются направленные вдоль его оси силы F] и F2 (Fj = F2 = F), в результате чего длина стержня меняется на величину Д/.
Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок и приложить к нему силу F (рис. 3.15,6), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы:
где Д/ — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; у — расстояние между слоями (при малых углах имеет место tgy ~ у).
Деформация изгиба характеризуется искривлением оси или срединной поверхности деформируемого тела (балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 3.15, в).
Если на середину прямого упругого стержня, свободно наложенного на твердые опорные призмы, действует сила F (рис. 3.15, в), то стержень изгибается. При таком изгибе верхние слои сжимаются, нижние — растягиваются, а некоторый
Рис. 3.15
средний слой, который называют нейтральным, сохраняет длину и только претерпевает искривление.
Деформация кручения характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под влиянием пар сил, действующих в плоскости этих сечений (рис. 3.15, г).
Предел прочности материала стпред — предельное напряжение, при котором тело начинает разрушаться.
Запас прочности — скалярная величина, равная отношению предельного напряжения апред к допустимому стдоп:
Связь между напряжением ст и деформацией в представляют в виде диаграмм напряжений (рис. 3.16).
Рис. 3.1 б
Источник
Сила – это количественная мера взаимодействия тел. В рамках классической механики мы имеем дело со следующими видами сил: силами инерции, гравитационными, электростатическими, упругими, силами трения и сопротивления. Объектами воздействия классических сил являются м.т., с.м.т., твердое тело, сплошная среда (твердое вещество, газ, жидкость).
Силы упругости, силы трения и сопротивления определяются взаимодействиеями между молекулами вещества и имеют в своей основе электромагнитное происхождение и действуют в масштабах межмолекулярных расстояний.
Закон Гука
Закон Гука применим к деформируемым объектам, возвращающимся к исходному состоянию после снятия силы. Например, для растягивающейся пружины справедлива формула силы
F = kx, (1)
где F – действующая сила,
k – коэффициент пропорциональности, или жесткость пружины,
x – растяжение пружины.
Кроме линейных объектов типа пружины, на практике встречается множество других типов деформируемых объектов, по отношению к которым можно применять закон Гука. Только в этом случае коэффициент k может быть тензором 2–го порядка соответствующей размерности. Движение при этом обратимо.
Деформацией называют изменение формы, размеров или объема тела. Деформация может быть вызвана действием на тело приложенных к нему внешних сил. Если после прекращения действия сил тело возвращается в прежнее состояние (деформация исчезает), то деформация называется упругой. Деформации, сохраняющиеся и после того, как внешние силы перестали действовать на тело – пластическими. Обычно деформация бывает упругой, если ее величина не превосходит определенного предела (предела упругости). Внутри такого деформированного тела возникают силы, называемые силами упругости.
Различают деформации растяжения или сжатия (одностороннего или всестороннего), изгиба, кручения и сдвига.
Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела.
Природа упругих сил электрическая. При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации. Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена английским физиком Гуком.
Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия) формулируют так: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению этого тела. Опытным путем установлено, что при малых деформациях упругая сила пропорциональна величине деформации. Например, при растяжении пружины на величину Δlупругая сила F вдоль оси пружины будет равна
F = –kΔl, (2)
где F – сила упругости;
Δl – удлинение (деформация) тела;
k – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ – ньютон на метр (Н/м).
Знак “–” в формуле (2) указывает, что направление силы противоположно направлению деформации (при растяжении пружины сила F сжимает ее и наоборот, при сжатии растягивает).
Упругую силу принято характеризовать не ее непосредственной величиной F, а отношением F к площади поверхности S, через которую она действует. Это отношение называют напряжением. В случае, когда сила F перпендикулярна поверхности S, напряжение называют нормальным. Его обозначают σ. Напряжение измеряют в паскалях [Па]. (1 Па = 1 Н / 1 м2).
Деформацию твердых тел чаще характеризуют не абсолютным изменением длины Δl, а относительным удлинением ε (3)
где l – длина тела. ε – безразмерная величина.
При малых деформациях относительное удлинение пропорционально нормальному напряжению. Эту связь деформации и напряжения также называют законом Гука. Его принято записывать в следующей форме (4):
Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука характеризует упругость данного материала и называется модулем (продольной) упругости (модулем Юнга). Модуль Юнга численно равен такому нормальному напряжению, которое должно было бы возникнуть в теле при увеличении его длины в 2 раза (если бы для такой большой деформации выполнялся закон Гука). Модуль упругости выражается в паскалях.
Диаграмма растяжения
Используя формулу (3), (4), по экспериментальным значениям относительного удлинения ε можно вычислить соответствующие им значения нормального напряжения σ, возникающего в деформированном теле, и построить график зависимости σ от ε. Этот график называют диаграммой растяжения. Подобный график для металлического образца изображен на рис. 1.
Рис. 1. График деформации реального тела.
На участке 0–1 график имеет вид прямой, проходящей через начало координат. Это значит, что до определенного значения напряжения σп деформация является упругой и выполняется закон Гука, т. е. нормальное напряжение пропорционально относительному удлинению. Максимальное значение нормального напряжения σп, при котором еще выполняется закон Гука, называют пределом пропорциональности.
При дальнейшем увеличении нагрузки зависимость напряжения от относительного удлинения становится нелинейной (участок 1–2), хотя упругие свойства тела еще сохраняются. Максимальное значение нормального напряжения, при котором еще не возникает остаточная деформация, называют пределом упругости. (Предел упругости лишь на сотые доли процента превышает предел пропорциональности.) Увеличение нагрузки выше предела упругости (участок 2–3) приводит к тому, что деформация становится остаточной.
Затем образец начинает удлиняться практически при постоянном напряжении (участок 3–4 графика). Это явление называют текучестью материала. Нормальное напряжение σт, при котором остаточная деформация достигает заданного значения, называют пределом текучести.
При напряжениях, превышающих предел текучести, упругие свойства тела в известной мере восстанавливаются, и оно вновь начинает сопротивляться деформации (участок 4–5 графика). Максимальное значение нормального напряжения σпр, при превышении которого происходит разрыв образца, называют пределом прочности.
Таблица 1. Пример таблицы модулей упругости металлов
—————————————————————————————-
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите “Искать в …”, далее – “Yandex”. Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите “перейти …”. Все! О-ля-ля!
Если вам понравилась статья, то поставьте “лайк” и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Источник