Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.
Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:
Параллелограмм – это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Свойства произвольных четырехугольников:
Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360o Если соединить отрезками середины соседних сторон – получится параллелограмм:
Свойства параллелограмма:
Противолежащие стороны попарно равны: Противолежащие углы попарно равны: Сумма углов прилежащих к любой стороне равна 180о: Диагонали делятся точкой пересечения пополам: Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: Каждая диагональ делить параллелограмм на два равных треугольника: Обе диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника:
Свойства ромба:
Диагонали ромба перпендикулярны, и делятся точкой пересечения пополам: Диагонали ромба являются биссектрисами внутренних углов: Если соединить отрезками середины соседних сторон любого ромба, получается прямоугольник:
Свойства прямоугольника:
Диагонали прямоугольника равны, и делятся точкой пересечения пополам: Если соединить отрезками середины соседних сторон любого прямоугольника, то получится ромб:
Свойства квадрата:
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, и точкой делятся точкой пересечения пополам:
Свойства трапеции:
Средняя (“серединная”) линия трапеции параллельна основаниям, равна их полусумме, и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180о: Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции – равновелики: Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции – подобны: Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции делится этой точкой в отношении:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Источник

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром.

Свойства параллелограмма:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^{circ}$, а противоположные углы равны.
Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ параллелограмма являются внутренними односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, то есть их сумма равна $180^circ$. Аналогично для других пар углов.

Если $angle A + angle B=180^circ$ и $angle C + angle B=180^circ$, то $angle A = angle C$. Аналогично, $angle B = angle D$.

2. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности противоположных сторон параллелограмма следует, что $angle BAC=angle DCA$ и $angle BCA=angle DAC$. Поскольку $AC$ — общая, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что $AB=CD$ и $BC=AD$.

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

3. Поскольку параллелограмм — выпуклый четырехугольник, то его диагонали пересекаются. Пусть $O$ — точка пересечения. Из параллельности сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма следует, что $angle OAD=angle OCB$ и $angle ODA=angle OBC$. Учитывая равенство $BC=AD$ получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по второму признаку. Следовательно, $AO=CO$ и $DO=BO$, что и требовалось.

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Признаки параллелограмма:

Если в четырехугольнике сумма любых двух соседних углов равна $180^{circ}$, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если диагонали четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ являются внутренними односторонними при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как их сумма равна $180^circ$, то прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Аналогично для другой пары прямых, то есть $ABCD$ — параллелограмм по определению.

2. Заметим, что $angle A + angle B + angle C + angle D=360^circ$. Если $angle A = angle C$, а $angle B = angle D$, то $angle A + angle B=180^circ$ и аналогично для других пар соседних углов. Далее используем предыдущий признак.

3. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Поскольку $AC$ — общая, то из равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $angle BAC=angle DCA$ и $angle BCA=angle DAC$, откуда следует параллельность противолежащих сторон.

4. Пусть $BC$ и $AD$ равны и параллельны. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности прямых следует, что $angle BCA=angle DAC$. Поскольку $AC$ — общая и $BC=AD$, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по первому признаку. Следовательно, $AB=CD$. Далее используем предыдущий признак.

5. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей и $AO=CO$, а $DO=BO$.Учитывая равенство вертикальных углов, получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по первому признаку. Следовательно, $angle OAD=angle OCB$, откуда следует параллельность $BC$ и $AD$. Аналогично для другой пары сторон.

Определение

Четырехугольник, в котором есть три прямых угла, называется прямоугольником.

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны. Тогда прямоугольные треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум катетам, откуда следует, что $BD=AC$.

Признаки прямоугольника:

Если в параллелограмме есть прямой угол, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

1. Если один из углов параллелограмма прямой, то, учитывая, что сумма соседних углов равна $180^{circ}$, получим, что прямыми являются и остальные углы.

2. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Учитывая равенство противолежащих сторон $AB$ и $DC$, получим, что треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $angle BAD=angle CDA$, то есть они прямые. Осталось воспользоваться предыдущим признаком.

Определение

Четырехугольник, в котором все стороны равны, называется ромбом.

Свойства ромба:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Пусть в ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как ромб является параллелограммом, то $AO=OC$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$. Так как $AO$ — медиана проведнная к основанию, то она является биссектрисой и высотой, что и требовалось.

Признаки ромба:

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Если диагонали перпендикулярны, то $BO$ является в треугольнике медианой и высотой.

2. Если диагональ $BD$ содержит биссектрису угла $ABC$, то $BO$ является в треугольнике медианой и биссектрисой.

В обоих случаях получим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный и в параллелограмме соседние стороны равны. Следовательно, он является ромбом, что и требовалось.

Определение

Прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, называется квадратом.

Признаки квадрата:

Если у ромба есть прямой угол, то этот ромб является квадратом.
Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Если у параллелограмма есть прямой угол или равны диагонали, то он является прямоугольником. Если же четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он — квадрат.

Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые (ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Выпуклый четырехугольник

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C, B и D.

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S=12d1d2⋅sinφ

где d1 и d2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d12+d22=2(a2+b2)

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

S=a⋅ha=b⋅hb

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

S=a⋅b⋅sinα

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

S=12⋅d1⋅d2⋅sinφ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

S=a⋅h

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

S=a2⋅sinα

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

S=12⋅d1⋅d2

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90°.

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

S=a⋅b

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

S=12⋅d2⋅sinφ

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

S=a2

Как квадрат стороны.

S=d22

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.

BC и AD – основания, AB и CD – боковые стороны трапеции ABCD.

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

∠A+∠B=180°

∠C+∠D=180°

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m=a+b2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

S=a+b2⋅h=m⋅h

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

S=12d1⋅d2⋅sinφ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Источник

Четырехугольником называется фигура,
которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих
их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой,
а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными
. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие
стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Противоположные углы попарно равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие
стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные
стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых
сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной
(или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании
равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать
окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать
окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его
параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм,
у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

все свойства параллелограмма;
диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм,
у которого все стороны равны.

Свойства ромба

все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой
его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения
делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом,
если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

Произвольный выпуклый четырехугольник
d1, d2 — диагонали; —
угол между ними; S — площадь.

S =d1d2
sin

Параллелограмм
a и b — смежные стороны; —
угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне
a.

S = aha

S = ab sin

S =d1d2
sin

Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними;
l — средняя линия.

S = lh

Прямоугольник

S = ab

S =d1d2
sin

Ромб

S = aha

S = a2sin

S =d1d2

Квадрат
d — диагональ.

S = a2

S =d2

Источник

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD).

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Проведём диагональ (AC), разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ((AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC)), поэтому (angle 3 = angle 4). Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC), следовательно, (ADparallel BC). Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD), разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA).

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Эти треугольники равны по трем сторонам ((AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC). Отсюда следует, что (ABparallel CD). Так как (AB = CD) и (ABparallel CD), то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD), в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ((AO = OC), (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle
COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle
2). Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC)) следует, что (ABparallel CD).

Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD).

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE). Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2), откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.

2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM)– биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), тогда (angle DAB + angle ABC =
180^{circ}).

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM =
0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^{circ}), откуда (angle AOB = 180^circ – (angle BAN + angle ABM) =
90^circ).

3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD).

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 =
0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1). Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM), тогда (angle 2 = angle 3), откуда следует, что (ANparallel CM). Кроме того, (AMparallel CN), тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM).

Источник

Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Виды четырехугольников:

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Свойства параллелограмма:

Признаки параллелограмма:

Свойства прямоугольника:

Признаки прямоугольника:

Свойства ромба:

Признаки ромба:

Признаки квадрата:

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Трапеция

Свойства трапеции

Признаки трапеции

Прямоугольник

Признаки прямоугольника

Ромб

Свойства ромба

Признаки ромба

Квадрат

Свойства квадрата

Признаки квадрата

Основные формулы