Какими свойствами должны обладать матрицы

Матрицы: (A), (B), (C)
Элементы матриц: ({a_{ij}}), ({b_{ij}}), ({c_{ij}}), ({b_i})
Единичная матрица: (I)
Определитель матрицы: (det A)
Минор элемента ({a_{ij}}): ({M_{ij}})
Алгебраическое дополнение элемента ({a_{ij}}): ({A_{ij}})
Транспонированная матрица: ({A_T})

Присоединенная матрица: ({C^*})
Обратная матрица: ({A^{-1}})
След матрицы: (text{tr }A)
Собственные векторы: (X)
Собственные значения: (lambda)
Действительное число: (k)
Натуральные числа: (m), (n), (i), (j)

Определение матрицы
Матрицей размером (m times n) называется прямоугольная таблица элементов ({a_{ij}}), принадлежащих
некоторому множеству (как правило, это числа или функции), состоящая из (m) строк и (n) столбцов.
(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right))
Квадратная матрица (n)-го порядка имеет (n) строк и (n) столбцов.
Квадратная матрица (left( {{a_{ij}}} right)) называется симметричной (или симметрической),
если ({{a_{ij}}} = {{a_{ji}}}), т.е. элементы матрицы расположены симметрично относительно главной диагонали.
Квадратная матрица (left( {{a_{ij}}} right)) называется кососимметричной (или антисимметричной),
если ({{a_{ij}}} = -{{a_{ji}}}).
Квадратная матрица называется диагональной,
если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю.
Диагональная матрица называется единичной, если все элементы на ее
главной диагонали равны (1). (Все остальные элементы при этом равны (0).)
Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей.
Равенство матриц
Две матрицы (A) и (B) равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер (m times n) и их соответствующие элементы равны.
Сложение и вычитание матриц
Две матрицы (A) и (B) можно складывать (или вычитать) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер
(m times n). Если
(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right)),
(B = left( {{b_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}} & {{b_{12}}} & ldots & {{b_{1n}}}\
{{b_{21}}} & {{b_{22}}} & ldots & {{b_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{b_{m1}}} & {{b_{m2}}} & ldots & {{b_{mn}}}
end{array}} right),)
то сумма этих матриц равна
(A + B = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}} + {b_{11}}}&{{a_{12}} + {b_{12}}}& ldots &{{a_{1n}} + {b_{1n}}}\
{{a_{21}} + {b_{21}}}&{{a_{22}} + {b_{22}}}& ldots &{{a_{2n}} + {b_{2n}}}\
vdots & vdots &{}& vdots \
{{a_{m1}} + {b_{m1}}}&{{a_{m2}} + {b_{m2}}}& ldots &{{a_{mn}} + {b_{mn}}}
end{array}} right).)
Умножение матрицы на число
Пусть даны постоянное число (k) и матрица (A = left( {{a_{ij}}} right)). Тогда
(kA = left( {{ka_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{ka_{11}}} & {{ka_{12}}} & ldots & {{ka_{1n}}}\
{{ka_{21}}} & {{ka_{22}}} & ldots & {{ka_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{ka_{m1}}} & {{ka_{m2}}} & ldots & {{ka_{mn}}}
end{array}} right).)
Умножение матриц
Пусть даны две матрицы (A) и (B). Произведение матриц (AB)
существует тогда и только тогда, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. Если
(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right)),
(B = left( {{b_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}} & {{b_{12}}} & ldots & {{b_{1k}}}\
{{b_{21}}} & {{b_{22}}} & ldots & {{b_{2k}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{b_{n1}}} & {{b_{n2}}} & ldots & {{b_{nk}}}
end{array}} right),)
то произведение (AB) представляется в виде матрицы
(AB = C = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{c_{11}}} & {{c_{12}}} & ldots & {{c_{1k}}}\
{{c_{21}}} & {{c_{22}}} & ldots & {{c_{2k}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{c_{m1}}} & {{c_{m2}}} & ldots & {{c_{mk}}}
end{array}} right)),
где элементы матрицы C равны
({c_{ij}} = {a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} + ldots + {a_{in}}{b_{nj}} = sumlimits_{lambda = 1}^n {{a_{ilambda }}{b_{lambda j}}} ),
(left( {i = 1,2, ldots ,m,;j = 1,2, ldots ,k} right))
Так, например, если
(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}}
end{array}} right),;;B = left( {{b_i}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\
{{b_2}}\
{{b_3}}
end{array}} right),)
то произведение (AB) равно
(AB = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}}
end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\
{{b_2}}\
{{b_3}}
end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{c_{11}}}\
{{c_{21}}}
end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{b_1} + {a_{12}}{b_2} + {a_{13}}{b_3}}\
{{a_{21}}{b_1} + {a_{22}}{b_2} + {a_{23}}{b_3}}
end{array}} right).)
Транспонированная матрица
Если строки и столбцы в матрице (A) поменять местами, то новая матрица будет называться
транспонированной. Транспонированная матрица обозначается
как (A^T).
Матрица A называется ортогональной, если

(A{A^T} = I),
где (I) − единичная матрица.
Если произведение матриц (AB) определено, то

({left( {AB} right)^T} = {B^T}{A^T}).
Присоединенная матрица

Если (A) является квадратной матрицей порядка (n), то соответствующая ей присоединенная матрица,
обозначаемая как (C^*), представляет собой матрицу, составленную из
алгебраических дополнений ({A_{ij}}) к элементам транспонированной матрицы (A^T).
След матрицы

Если (A) − квадратная матрица порядка (n), то ее след,
обозначаемый как (text{tr }A), равен сумме элементов, расположенных на главной диагонали:
(text{tr }A = {a_{11}} + {a_{22}} + {a_{33}} + ldots + {a_{nn}}.)
Обратная матрица

Обратная матрица определяется как матрица (A^{-1}), такая, что в результате умножения исходной матрицы (A)
на (A^{-1}) получается единичная матрица (I):
(A{A^{ – 1}} = I).
Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц (определитель которых не равен нулю).
Если (A) − квадратная невырожденная матрица порядка (n), то обратная матрица
(A^{-1}) находится по формуле:
({A^{ – 1}} = largefrac{{{C^*}}}{{det A}}normalsize),
где (C^*) − присоединенная матрица, а (det A) − определитель матрицы (A).
Если произведение матриц (AB) определено, то

({left( {AB} right)^{ – 1}} = {B^{ – 1}}{A^{ – 1}}).
Собственные векторы и собственные значения матрицы

Если (A) является квадратной матрицей, то ее собственные векторы (X)
удовлетворяют матричному уравнению
(AX = lambda X),
а собственные значения (lambda) определяются характеристическим уравнением
(left| {A – lambda I} right| = 0).

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица

(
A=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {dots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {ldots} & {a_{2 n}} \ {ldots} & {ldots} & {ldots} & {ldots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
) представляет собой прямоугольную таблицу чисел, состоящую из (
mathrm{m}
) строк и (
mathrm{n}
) столбцов.

Он имеет размер (
m times n
) и обозначается (
A_{m times n}
) .

Элементы матрицы (
A
) обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца.

Две матрицы (
A
) и (
B
) называются равными, если они имеют одинаковый размер и соответствующие им элементы равны, т.е.

(
A_{m times n}=B_{k times p} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}{m=k} \ {n=p} \ {a_{i j}=b_{i j}, i=overline{1, m}, j=overline{1, n}}end{array}right.
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если (
m=n
), то матрица называется квадратной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме тех, которые расположены на главной диагонали.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Единичные матрицы являются диагональной матрицей, в которой все элементы на главной диагонали равны 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Сумма двух матриц (
A
) и (
B
) того же размера (
m times n
) является матрицей (
C
) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матрицы, т. е. Если (
A_{m times n}=left(a_{i j}right)
) и (
B_{m times n}=left(b_{i j}right)
),

то

(
C_{m times n}=A_{m times n}+B_{m times n}=left(a_{i j}+b_{i j}right)
)

где (
i=overline{1, m}, quad j=overline{1, n}
)

Произведением матрицы (
A_{m times n}=left(a_{i j}right)
) числом (
k in R
) является матрица того же размера (
B_{m times n}=left(b_{i j}right)
)в ,каждый элемент которой получается путем умножения соответствующего элемента матрицы A на число k, т.е.

(
b_{i j}=k cdot a_{i j}
)

где (
i=overline{1, m}
), (
j=overline{1, n}
)

Свойства линейных матричных операций

1. (
A+B=B+A
) – коммутативность (взаимозаменяемый закон) сложения;

2. (
A+(B+C)=(A+B)+C
) – ассоциативность (объединение закона) сложения;

3. для любой матрицы (
A
) существует единственная нулевая матрица (
theta
) такая, что (
A+theta=A
) ;

4. для любой матрицы (
A
) существует единственная матрица (
(-A)=-1 cdot A
) , называемая противоположной, такая, что (
A+(-A)=theta
) где (
theta
) – нулевая матрица;

5.(
1 cdot A=A
)

6.(
alpha cdot(beta A)=(alpha beta) cdot A
)

7.(
(alpha+beta) cdot A=alpha A+beta A
)

8.(
alpha cdot(A+B)=alpha A+alpha B
)

ПРИМЕР

Задача

Для матриц (
Delta
) и (
B
) найдите (
2 A+3 B
).

(
A=left(begin{array}{cc}

\ {-1} & {7}end{array}right), quad B=left(begin{array}{cc}

& {4} \

& {-2}end{array}right)
)

Решение

Найти матрицы (
2 A
) и (
3 mathrm{B}
):

(
2 A=2 cdotleft(begin{array}{cc}

\ {-1} & {7}end{array}right)=left(begin{array}{cc}

& {4} \ {-2} & {14}end{array}right)
)

(
3 B=3 cdotleft(begin{array}{cc}

& {4} \

& {-2}end{array}right)=left(begin{array}{cc}

& {12} \ {9} & {-6}end{array}right)
)

Затем мы найдем их сумму

(
2 A+3 B=left(begin{array}{cc}

& {4} \ {-2} & {14}end{array}right)+left(begin{array}{cc}

& {12} \ {9} & {-6}end{array}right)=left(begin{array}{cc}

& {16} \ {7} & {8}end{array}right)
)

Ответ

(
2 A+3 B=left(begin{array}{ll}

& {16} \ {7} & {8}end{array}right)
)

Произведение матрицы (
A
) размера (
m times n
) и матрицы (
mathrm{B}
) размера (
n times k
) называется матрицей (
C=A B
) размера (
m times k
) , элемент (
c_{i j}
) в i-й строке и j-столбце равен к сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы (
B
):

(
c_{i j}=a_{i 1} cdot b_{1 j}+a_{i 2} cdot b_{2 j}+ldots+a_{i n} cdot b_{n k}=sum_{p=1}^{n} a_{i p} b_{p k}
)

Комментарий. Для матриц (
A
) и (
B
) произведение определено, если число столбцов матрицы (
A
) равно числу строк матрицы (
B
).

Свойства операции умножения матрицы

(
A,B,C
) – матрицы, (
alpha, beta in R
)

1.(
A cdot(B cdot C)=(A cdot B) cdot C
) – ассоциативность умножения;

2.(
alpha cdot(A cdot B)=(alpha A) B
)

3.(
(A+B) cdot C=A cdot C+B cdot C
)

4.(
A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C
)

Если матрица (
A
) имеет размер (
m times n
) , то равенство (
E_{m} A=A E_{n}=A
) справедливо только в том случае, если (
E_{m}, E_{n}
) является единичной матрицей m-го и n-го порядка.

ПРИМЕР 2

Задача

Найти работу с матрицей

(
A=left(begin{array}{cc}{-1} &

& {4}end{array}right), quad B=left(begin{array}{ccc}

& {-1} \

& {-3}end{array}right)
)

Решение

Матрица A имеет размеры 2 x 2, а матрица B имеет размеры 2 x 3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом столбцов второй матрицы, что означает, что их можно умножить. В результате умножения получаем матрицу C с размерами 2 x 3:

(
A_{2 times 2} B_{2 times 3}=C_{2 times 3}
)

(
C_{2 times 3}=left(begin{array}{cc}{-1} &

& {4}end{array}right) cdotleft(begin{array}{ccc}

& {-1} \

& {-3}end{array}right)= left(begin{array}{ccc}{-1 cdot 1+2 cdot 0} & {-1 cdot 2+2 cdot 2} & {-1 cdot(-1)+2 cdot(-3)} \ {0 cdot 1+4 cdot 0} & {0 cdot 2+4 cdot 2} & {0 cdot(-1)+4 cdot(-3)}end{array}right) =left(begin{array}{ccc}{-1} &

& {-5} \

& {8} & {-12}end{array}right)
)

Ответ

(
C=left(begin{array}{ccc}{-1} &

& {-5} \

& {8} & {-12}end{array}right)
)

Матрица (
A^{t}
) размера (
n times m
) называется транспонированной в матрицу (
A
) размера (
m times n
) , если элемент (
a_{j i}
)матрицы (
A
) вместо (
(i, j)
) , или, в противном случае, матрица, полученная из этой замены каждого из ее строки с столбцом с тем же номером. Так что если

(
A=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {dots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {dots} & {a_{2 n}} \ {ldots} & {dots} & {dots} & {ldots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
)

тот

(
A^{t}=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{21}} & {dots} & {a_{m 1}} \ {a_{12}} & {a_{22}} & {dots} & {a_{m 2}} \ {dots} & {dots} & {cdots} & {dots} \ {a_{1 n}} & {a_{2 n}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
)

Свойства переноса матрицы

(
A, B
)- матрицы, (
alpha in R
)

1.(
left(A^{t}right)^{t}=A
)

2.(
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
)

3.(
(A B)^{t}=B^{t} A^{t}
)

4. (
(alpha A)^{t}=alpha A^{t}
)

Источник

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы “Матрицы. Виды матриц. Основные термины”.

Содержание темы:

Сложение и вычитание матриц.
Умножение матрицы на число.
Произведение двух матриц.
Транспонированная матрица.
Некоторые свойства операций над матрицами.
Возведение матрицы в степень.

Сложение и вычитание матриц.

Суммой $A+B$ матриц $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ и $B_{mtimes n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью $A-B$ матриц $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ и $B_{mtimes n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=overline{1,m}$: показатьскрыть

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

$$
A=left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right);;
B=left(begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right); ;; F=left(begin{array} {cc} 1 & 0 \
-5 & 4
end{array} right).
$$

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Решение

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$
C=A+B=left(begin{array} {ccc}
-1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right)+
left(begin{array} {ccc}
10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right)=\=
left(begin{array} {ccc}
-1+10 & -2+(-25) & 1+98 \
5+3 & 9+0 & -8+(-14)
end{array} right)=

left(begin{array} {ccc}
9 & -27 & 99 \
8 & 9 & -22
end{array} right)
$$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$
D=A-B=left(begin{array} {ccc}
-1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right)-
left(begin{array} {ccc}
10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right)=\=
left(begin{array} {ccc}
-1-10 & -2-(-25) & 1-98 \
5-3 & 9-0 & -8-(-14)
end{array} right)=

left(begin{array} {ccc}
-11 & 23 & -97 \
2 & 9 & 6
end{array} right)
$$

Ответ: $C=left(begin{array} {ccc}
9 & -27 & 99 \
8 & 9 & -22
end{array} right)$, $D=left(begin{array} {ccc}
-11 & 23 & -97 \
2 & 9 & 6
end{array} right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ на число $alpha$ называется матрица $B_{mtimes n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=alphacdot a_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: $
A=left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)$. Найти матрицы $3cdot A$, $-5cdot A$ и $-A$.

Решение

$$
3cdot A=3cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)
=left(begin{array} {ccc} 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end{array} right).\

-5cdot A=-5cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)
=left(begin{array} {ccc} -5cdot(-1) & -5cdot(-2) & -5cdot 7 \ -5cdot 4 & -5cdot 9 & -5cdot 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end{array} right).
$$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$
-A=-1cdot A=-1cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end{array} right)
$$

Ответ:
$3cdot A=left(begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end{array} right)$;
$-5cdot A=left(begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end{array} right)$;
$-A=left(begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end{array} right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{ntimes k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$:

$$c_{ij}=sumlimits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, ;; i=overline{1,m}, j=overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_{5times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5times 4}$ на матрицу $B_{4times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5times 4}$ и $B_{4times 9}$ будет матрица $C_{5times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы:
$
A=left(begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \
5 & 4 & -2 & 1 \
-8 & 11 & -10 & -5
end{array} right)$ и

$
B=left(begin{array} {cc}
-9 & 3 \
6 & 20 \
7 & 0 \
12 & -4
end{array} right)$. Найти матрицу $C=Acdot B$.

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов:

$
C=left(begin{array} {cc}
c_{11} & c_{12} \
c_{21} & c_{22} \
c_{31} & c_{32}
end{array} right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: “Матрицы. Виды матриц. Основные термины”, в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Первый элемент

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$
c_{11}=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0.
$$

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Второй элемент

Аналогично предыдущему, имеем:

$$
c_{12}=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37.
$$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Третий элемент

$$
c_{21}=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23.
$$

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$
c_{22}=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91.
$$

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$
c_{31}=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8.
$$

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$
c_{32}=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216.
$$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right)$. Или, если уж писать полностью:

$$
C=Acdot B =left(begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \
5 & 4 & -2 & 1 \
-8 & 11 & -10 & -5
end{array} right)cdot left(begin{array} {cc}
-9 & 3 \
6 & 20 \
7 & 0 \
12 & -4
end{array} right)=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right).
$$

Ответ: $C=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$
left(begin{array} {cc}
6 & 3 \
-17 & -2
end{array}right)cdot

left(begin{array} {cc}
4 & 9 \
-6 & 90
end{array} right)

=left(begin{array} {cc}
6cdot{4}+3cdot(-6) & 6cdot{9}+3cdot{90} \
-17cdot{4}+(-2)cdot(-6) & -17cdot{9}+(-2)cdot{90}
end{array} right)

=left(begin{array} {cc}
6 & 324 \
-56 & -333
end{array} right)
$$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $Acdot Bneq Bcdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $Acdot B=Bcdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза “домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа” означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)cdot A=Ycdot A$.

Транспонированная матрица.

Транспонированной по отношению к матрице $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{ntimes m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3times 5}$:

Транспонированная матрица

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $alpha$, $beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

$A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
$(alpha+beta)cdot A=alpha A+beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
$alphacdot(A+B)=alpha A+alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
$A(BC)=(AB)C$
$(alphabeta)A=alpha(beta A)$
$Acdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)cdot A=BA+CA$.
$Acdot E=A$, $Ecdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
$Acdot O=O$, $Ocdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
$left(A^T right)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^Tcdot A^T$
$left(alpha A right)^T=alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Источник