Какими свойствами обладает длина отрезка
ВОПРОСЫ
1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две данные точки?
2. Как обозначают отрезок?
3. Какие вы знаете единицы длины?
Нам известны такие единицы длины: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.
1 см – 10 мм
1 дм – 10 см
1 м – 100 см – 10 дм
1 км – 1000 м
4. Объясните, что означает измерить длину отрезка.
5. Каким свойством обладает длина отрезка?
6. Какие отрезки называют равными?
7. Какие длины имеют равные отрезки?
8. Какой из двух неравных отрезков считают большим?
9. Что называют расстоянием между точками А и В?
10. Объясните, какую геометрическую фигуру называют ломаной.
11. Что называют длиной ломаной?
12. Какую ломаную называют замкнутой?
РЕШАЕМ УСТНО
1. Какое число больше числа 46 на 9? Какое число меньше числа 72 на 15? Какое число больше числа 21 в 7 раз? Какое число меньше числа 65 в 13 раз?
55, 57, 147, 5
2. Назовите все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6.
15, 24, 33, 42, 51, 60
3. Назовите все двузначные числа, разность цифр которых равна 7.
18, 29, 70, 81, 92
4. Назовите три последовательных натуральных числа, наименьшим из которых является наибольшее четырехзначное число.
9999, 10000, 10001
5. Назовите три последовательных натуральных числа, наибольшим из которых является наименьшее четырехзначное число.
9997, 9998, 9999
6. Выразите в сантиметрах:
1) 7 дм 4 см = 74 см
2) 4 м 1 см = 401 см
3) 2 м 6 дм = 260 см
4) 1 м 2 дм 5 см = 125 см
7. Выразите в дециметрах и сантиметрах:
1) 72 см = 7 дм 2 см
2) 146 см = 14 дм 6 см
3) 450 мм = 4 дм 5 см
4) 8 м 40 мм = 80 дм 4 см
УПРАЖНЕНИЯ
44. Запишите все отрезки, изображенные на рисунке 15.
a) AB, BC, AC, BK
б) OP, OR, OT, PR, PT, RT
в) AE, EC, CD, AC, ED, AD
г) MN, NE, ME, EP, PQ, EQ, MQ, NP
45. Запишите все отрезки, изображенные на рисунке 16.
а) AO, OC, AC, BO, OD, BD, AD
б) MK, KN, NP, MN, KP, MP, FK, KE, FE, EN, NS, ES
46. Отметьте в тетради точки A, B, C, D и соедините их попарно отрезками. Сколько отрезков образовлось? Сколько образовалось отрезков с концом в точке А?
47. Начертите отрезки MN и AC так, чтобы MN=6 см 3 мм, AC = 5 см 3 мм.
48. Начертите отрезки EF и BK так, что EF = 9 см 2 мм, BK = 7 см 6 мм.
49. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 8 см 9 мм. Отметьте на нём точку С так, чтобы СВ = 3 см 4 мм. Какова длина отрезка АС?
50. Начертите отрезок TP, длина которого равна 7 см 8 мм. Отметьте на нём точку Е так, чтобы ТЕ = 2 см 6 мм. Какова длина отрезка ЕР?
51. Сравните на глаз отрезки АВ и CD (рис. 17). Проверьте свой вывод измерением.
52. Назовите все ломаные, изображённые на рисунке 11. Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?
53. Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 18, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.
54. Запишите звенья ломаной, изображённой на рисунке 19, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.
55. Отметьте в узле клеток тетради точку А; точку В разместите на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки А; точку С — на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки В; точку D — на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки С; точку Е — на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки D. Соедините последовательно отрезками точки А, В, С, D и Е. Какая фигура образовалась? Запишите её название и укажите количество звеньев.
56. Вычислите длину ломаной ABCDE, если АВ = 8 см, ВС = 14 см, CD = 23 см, DE = 10 см.
57. Вычислите длину ломаной MNKPEE, если MN = 42 мм, NK = 38 мм, КР = 19 мм, РЕ = 12 мм, ЕF = 29 мм.
58. Начертите в тетради ломаную, изображённую на рисунке 20. Измерьте длины звеньев (в миллиметрах) и найдите длину ломаной.
59. Известно, что отрезок SK в 3 раза больше отрезка RS (рис. 21). Найдите длину отрезка RK, если RS = 34 см.
60. Известно, что отрезок DВ в 5 раз меньше отрезка AD (рис. 22). Найдите длину отрезка АВ, если АD = 135 см.
61. Известно, что AC = 32 см, ВС = 9 см, CD = 12 см (рис. 23). Найдите длины отрезков АВ и BD.
62. Известно, что MF= 43 см, МЕ = 26 см, КЕ = 18 см (рис. 24). Найдите длины отрезков МК и EF.
63. Даны две точки А и В. Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки? Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?
64. Начертите отрезок МК и отметьте на нём точки А и С. Запишите все образовавшиеся отрезки.
65. Длина отрезка АВ равна 28 см. Точки М и К принадлежат этому отрезку, причём точка К лежит между точками М и В, AM =12 см, ВК = 9 см. Найдите длину отрезка МК.
66. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина отрезка АС равна 15 см, а отрезок АВ на 5 см больше отрезка АС. Чему равна длина отрезка ВС? Есть ли в условии задачи лишние данные?
67. Отрезки МТ и FK равны (рис. 25). Сравните отрезки MF и ТК.
68. Постройте ломаную ACDM так, чтобы АС = 15 мм, CD = 24 мм, DM = 32 мм. Вычислите длину ломаной.
69. Постройте ломаную CEFK так, чтобы звено СЕ было равно 8 мм, звено EF было на 14 мм больше звена СЕ, а звено FK — на 7 мм меньше звена EF. Вычислите длину ломаной.
70. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 26.
71. Известно, что АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 2 см (рис. 27). Найдите длину отрезка AD.
72. Известно, что MF = 30 см, ME = 18 см, KF = 22 см (рис. 28). Найдите длину отрезка КЕ.
73. Известно, что КР = РЕ = EF = FT = 2 см (рис. 29). Какие ещё равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.
74. На первом отрезке отметили семь точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, а на втором — десять точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Расстояние между какими крайними точками больше: лежащими на первом отрезке или лежащими на втором отрезке?
75. Известно, что АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = МС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Найдите длину отрезка QR.
76. Какое наименьшее количество точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 31, чтобы на каждом из них было две отмеченные точки, не считая концов отрезков?
77. У Миши есть линейка, на которой отмечены только 0 см, 5 см и 13 см (рис. 32). Как, пользуясь этой линейкой, он может построить отрезок длиной: 1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
78. Вычислите:
79. Выполните действия:
80. Детскому саду подарили четыре ящика конфет по 5 кг в каждом и шесть ящиков печенья по 3 кг в каждом. На сколько килограммов больше подарили конфет, чем печенья?
81. Медведица Настасия Петровна заготовила на зиму семь бочонков мёда по 12 кг в каждом и 8 бочонков мёда по 10 кг в каждом. Сколько всего килограммов мёда заготовила Настасия Петровна?
82. В магазин привезли 240 кг бананов и 156 кг апельсинов. Треть привезённых фруктов продали в первый день, а остальные — во второй день. Сколько килограммов фруктов продали во второй день?
83. Кот Матроскин вырастил в своём саду 246 кг яблок и 354 кг груш. Шестую часть всех фруктов он отдал своим друзьям из детского сада, пятую часть всех фруктов — друзьям из школы, а остальное — в больницу. Сколько килограммов фруктов Матроскин отдал в больницу?
84. Укажите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 101.
Источник
Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы неоднократно, в частности, когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представления о длине отрезка как геометрической величине.
В геометрии длина – это величина, характеризующая протяженность отрезка, а также других линий (ломаной, кривой). В нашем курсе будет рассмотрено только понятие длины отрезка. При его определении будем использовать введенное в теме 18 понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение.Длиной отрезка называется положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины. В геометрии такой единицей является длина произвольного отрезка.
Как показано в теме 18, результатом измерения длины отрезка является положительное действительное число – его называют численным значением длины отрезка при выбранной единице длины или мерой длины данного отрезка. Если обозначить длину отрезка буквой X, единицу длины – Е, а получаемое при измерении действительное число – буквой а, то можно записать: а=mЕ (Х) или Х = а∙Е.
Получаемое при измерении длины отрезка положительное действительное число должно удовлетворять ряду требований:
1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин тоже равны.
2. Если отрезок х состоит из отрезков х1 и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х1 и х2.
3. При замене единицы длины численное значение длины данного отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
4. Численное значение длины единичного отрезка равно единице.
Доказано, что положительное действительное число, являющееся мерой длины заданного отрезка, всегда существует и единственно. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Заметим, что часто, ради краткости речи, численное значение длины отрезка называют просто длиной. Например, в задании «Найдите длину данного отрезка» под словом «длина» подразумевается численное значение длины отрезка. Не менее часто допускают и другую вольность – говорят: «Измерь отрезок» вместо «Измерь длину отрезка».
Задача. Построить отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза ?
Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е (рис. 1).
Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 10 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = . Если от точки В отложить отрезок, равный единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.
Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим:
3,2 : 3 == 3 : 3 = = 1 . Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1 .
Источник
Лекция 10. Длина отрезка и её измерение.
Понятие длины отрезка и ее измерения используется во многих областях деятельности человека и научных исследованиях. Поэтому рассмотрим эту величину более детально.
Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка, так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
Процесс измерения длины отрезков выглядит так. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а, длину которого измеряют, от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тек пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е, отложились n раз и конец последнего отрезка совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n и пишут а = n е. Если же отрезки, равные е, отложились n раз, и еще остался остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е1 = 110 е. Если они отложились ровно n1раз, то тогда а = n, n1 е, и значение длины отрезка есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1 отложился n1 раз и остался еще остаток, меньший е1, то на нем откладывают отрезки, равные е2= 1100е1. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь. Таким образом, при выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действующим числом. Вполне очевидно, что верно и обратное: если дано положительное действительное число, то всегда можно построить отрезок, численное значение которого выражается этим действительным числом.
Нетрудно доказать следующие свойства длин отрезков.
1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
2. Если два отрезка равны, то и численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин отрезков равны, то и равны сами отрезки, т.е. а = в mе (а) = mе (в).
3. Если данный отрезок равен сумме нескольких отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков слагаемых и, обратно, если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений отрезков слагаемых, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков, т.е. с = а + в mе (с) = mе (а) + mе (в).
4. Если длины отрезков а и в таковы, что в = х ∙ а, где х – положительное действительное число и длина отрезка а измерена при помощи единицы измерения е, то, чтобы найти численное значение отрезка в при единице измерения е, достаточно число х умножить на численное значение длины отрезка а при единице измерения е, т.е. в = х а mе (в) = х mе (а).
5. При замене единицы измерения длины численное значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения длины отрезка меньше (больше) старой. Из других свойств длины отрезков отметим следующие.
6.а > в mе (а) >mе (в);
7.с = а – в mе (с) = mе (а) – mе (в);
8.х = а : в х = mе (а) : mе (в).
Все эти свойства позволяют сравнение длин отрезков и действия над ними сводить к сравнению и действием над соответствующими числовыми значениями длин этих отрезков. На практике, сравнивая длины отрезков и выполняя действия над длинами отрезков, теоретические положения, сформулированные выше, используются неявно.
Примеры.
1. 12 м < 12,3 м, так как 12 < 12,3.
2. 8,8 см + 3,4 см = (8,8 + 3,4) см = 12,2 см.
3. 18 ∙ 3 дм = (18 ∙ 3) дм = 54 дм.
Приводим несколько типичных задач.
Задача 1. Постройте отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза?
Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е. Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 20 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = 15. Если от точки В отложить отрезок, равный 15 единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.
Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим: 3,2 : 3 = 3 15 : 3 = 1615 = 1115.
Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1115.
Задача 2. Начертите два отрезка: длина первого – 8 см, а другой – в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?
Решение. 1 способ. Строят отрезок 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают 2 равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см). 2 способ. Находят длину второго отрезка: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см), а затем строят два отрезка: один – длиной 6 см, а другой – длиной 12 (см).
Задача 3. Отрезок длиной 18 см разделите на две равные части. Решение. Поскольку не выделена операция деления длины отрезка на натуральное число, то мы воспользуется тем, что деление на натуральное число равносильно умножению ее на дробь 1n. В связи с этим получаем: 18 (см) : 2 = 18 см ∙ 12 = 8 ∙12 см = 9 см. Ответ: 9 см.
В заключение приводим таблицу мер длины. 1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм); 1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см); 1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см); 1 километр (км) = 1000 метрам (м).
Источник
В геометрии длина – это величина, характеризующая протяженность отрезка.
Определение. Длиной отрезка называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:
1) равные отрезки имеют равные длины;
2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрезка. Результатом измерения длины отрезка х является неотрицательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.
Такое число всегда существует и единственно. Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Из определения длины отрезка следуют известные свойства численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.
1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.
х = y <=> т(х) = т(у)
2. Если отрезок х состоит из отрезков х, и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х, и х2. Справедливо и обратное утверждение.
х = х1 х2 <=> т(х) = т(х1) + т(х2)
3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
4. Численное значение длины единичного отрезка равно единицы.
Рассмотрим процесс измерение длин отрезков. Из множество отрезков выбирают какой – нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е отложились п раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п, и пишут а = пе. Если же отрезки, равные е, отложились п раз и остался еще остаток, меньшее, то на нем откладывают отрезки равные е1= 1/10 ∙е. Если они отложились точно п1 раз, то тогда а = п1е и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1отложился п1 раз и остался еще остаток, меньшей е1, то на нем откладывают отрезки равные е2 = 1/100 ∙ е. Если представить этот процесс бесконечно продолжительным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.
Итак, при выбранной единицы длина любого отрезка выражается положительными числами.
На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.
При решении практических задач используются стандартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.
Соотношение между ними:
1 километр (км) = 1000 метрам (м)
1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)
1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм)
Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 385; Нарушение авторских прав
Источник
- Длина отрезка
- Равные отрезки
- Сравнение отрезков
- Середина отрезка
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.
Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.
Длина отрезка
Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:
Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:
длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:
AB = 6 см.
Свойства длин отрезков:
- Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
- Длины равных отрезков равны.
- Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Равные отрезки
Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.
Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:
Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:
Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.
Сравнение отрезков
Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.
Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.
Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.
При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.
Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):
CA < CB или CB > CA.
Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):
CA > CB или CB < CA.
Если точки A и B совпадут, то отрезки CA и CB равны:
CA = CB.
Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.
При сравнении отрезков путём измерения их длин больше будет тот отрезок, у которого больше длина.
Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.
Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то
AB > AC.
Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то
AB = AC.
Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.
Середина отрезка
Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.
Источник