Какими свойствами обладает электронный газ в состоянии вырождения

Важное принципиальное значение имеет изучение свойств ферми-газа при достаточно низких температурах. Как мы увидим ниже, температуры, о которых при этом идет речь, фактически могут еще быть, с других точек зрения, весьма высокими.

Имея в виду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить ниже об электронном газе; соответственно этому полагаем (спин s = 1 /2).

Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, величина которой определяется числом электронов в газе.

С учетом двукратного ) спинового вырождения уровней, число квантовых состояний электрона, движущегося в объеме V с абсолютной величиной импульса в интервале между равно

Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения , об этом значении говорят как о радиусе ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях

откуда для граничного импульса имеем

и для граничной энергии

Эта энергия имеет простой термодинамический смысл. В согласии со сказанным выше функция распределения Ферми по квантовым состояниям (с определенными значениями импульса и проекции спина)

в пределе обращается в «ступенчатую» функцию: единица при и нуль при (на рис. 6 эта функция изображена сплошной линией). Отсюда видно, что химический потенциал газа при Т = 0 совпадает с граничной энергией электронов:

Полная энергия газа получится умножением числа состояний (57,1) на и интегрированием по всем импульсам:

или, подставив (57,2):

Рис. 6.

По общему соотношению (56,8) находим, наконец, уравнение состояния газа

Таким образом, давление ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3.

Полученные формулы (57,6-7) применимы приближенно также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Условие их применимости (условие «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости Т по сравнению с граничной энергией

Это условие, как и следовало ожидать, противоположно условию (45,6) применимости статистики Больцмана. Температуру называют температурой вырождения.

Вырожденный электронный газ обладает своеобразной особенностью он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедиться следующим образом.

Рассмотрим плазму — газ, состоящий из электронов и соответствующего количества положительно заряженных ядер, компенсирующих заряд электронов (газ из одних только электронов был бы, очевидно, вообще неустойчивым; выше мы не говорили о ядрах, поскольку вследствие предполагающейся идеальности наличие ядер не сказывается на термодинамических величинах электронного газа). Энергия кулонового взаимодействия электронов с ядрами (отнесенная к одному электрону) порядка величины где – заряд ядра, — среднее расстояние между электронами и ядрами. Условие идеальности газа заключается в требовании малости этой энергии по сравнению со средней кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией . Неравенство

после подстановки и выражения (57,3) для дает условие

Мы видим, что это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа

Задача

Определить число столкновений со стенкой в электронном газе при абсолютном нуле температуры.

Решение. Число электронов (в единице объема) с импульсами в интервале направленными под углом к нормали к стенке в интервале , есть

Искомое число столкновений v (отнесенное к стенки) получается умножением на и интегрированием по в пределах от 0 до и по до . В результате найдем

В отличие от идеального газа, представляющего собой математическую модель, на свойства вырожденного газа существенно влияют квантовомеханические эффекты. В большей мере эти эффекты вызваны тождественностью частиц согласно квантовой механике.

Температура вырождения

Газ начинает вырождаться при понижении температуры до так называемой температуры вырождения. Полное вырождение соответствует температуре равной абсолютному нулю. Квантовомеханические эффекты проявляются тем существеннее, чем меньше расстояние между частицами. Дело в том, что классическая механика работает при условии, что расстояние между частицами значительно превышает длину волны де Бройля, с уменьшением же расстояния начинает проявляться волновая природа частицы.

Известно, что чем больше скорость частиц в газе, тем выше температура. Из этого следует, что температура вырождения тем выше, чем больше плотность газа (меньшее расстояние между частицами) и чем меньше масса его частиц. Например, так как масса электрона относительно мала (около 10-27 г), а плотность электронов в металле высока (1022 на 1 см3), то вырожденный электронный газ в металлах можно наблюдать при температуре не меньше 10 000 кельвин.

В отличие от электронного газа, температуры вырождения обычных молекулярных и атомных газов близки к температуре абсолютного нуля. Потому такой газ обычно подчиняется классической механике. Газ с высокой степенью вырождения является квантовым газом.

Принцип тождественности

Говоря о принципе тождественности частиц – это одно из основных различий между квантовой и классической механикой. Его суть состоит в том, что в классической механике всегда можно проследить за траекторией тела, а потому и явно отличить одно тело от другого с течением времени. В случае же с квантовым миром, наблюдение одной частицы невозможно, так как она не имеет определенной траектории, а распространяется в соответствии с волнами де Бройля. Это волны вероятности, которые определяют вероятность обнаружения частицы в заданной точке пространства.

Таким образом, если нельзя отследить траекторию некоторой частицы, то нельзя и утверждать, что с течением времени мы наблюдаем одну и ту же частицу, а не другую частицу того же сорта.

Плотность вероятности обнаружения частицы в том или ином месте описывается при помощи волновой функции (а вернее квадрату ее модуля). Так как природа бозонов и фермионов отличается, то и их волновые функции ведут себя по-разному. По этой причине вырожденный газ разделяют на газ, состоящий из частиц с целым спином – бозонов (вырожденный Бозе-газ), и состоящий из частиц с полуцелым спином – фермионов (Ферми газ).
 
 

Вырожденный газ в природе

Электронный вырожденный газ обычно встречается в белых карликах, образуя ядро звезды, в результате сильного давления со стороны ее верхних слоев. Так как электроны – это фермионы, то они подчиняются принципу Паули – несколько фермионов не могут находиться в одном состоянии (в т. ч. в одной точке). По этой причине внешние слои звезды способны сжать электронный газ лишь до определенного объема.

В случае коллапса звезды – она превращается в нейтронную. В таком случае, под давлением верхних слоев атмосферы электроны «сливаются» с протонами, вследствие чего превращаются в нейтральные частицы – нейтроны. Далее нейтроны сжимаются массой звезды до высокой степени вырождения, образуя нейтронный вырожденный газ.

Вырожденный газ, газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие квантовомеханического влияния одинаковых частиц друг на друга. Это взаимное влияние частиц обусловлено не силовыми взаимодействиями, отсутствующими у идеального газа, а тождественностью (неразличимостью) одинаковых частиц в квантовой механике (см. Тождественности принцип). В результате такого влияния заполнение частицами возможных уровней энергии даже в идеальном газе зависит от наличия на данном уровне других частиц. Поэтому теплоёмкость и давление такого газа иначе зависят от температуры, чем у идеального классического газа; по-другому выражается энтропия, свободная энергия и т. д.

  Вырождение газа наступает при понижении его температуры до некоторого значения, называемого температурой вырождения. Полное вырождение соответствует абсолютному нулю температуры.

  Влияние тождественности частиц сказывается тем существеннее, чем меньше среднее расстояние между частицами r по сравнению с длиной волны де Бройля частиц l = h/mv (m — масса частицы, v — её скорость, h — Планка постоянная). Это объясняется тем, что классическая механика применима к движению частиц газа лишь при условии r >> l. Так как скорость частиц газа связана с температурой (чем больше скорость, тем выше температура), то температура вырождения, определяющая границу применимости классической теории, тем выше, чем меньше масса частиц газа и чем больше его плотность (т. е. чем меньше среднее расстояние между частицами). Поэтому температура вырождения особенно велика (порядка 10 000 К) для электронного газа в металлах: масса электронов очень мала (~ 10-27г), а их плотность в металлах очень велика (1022 электронов в 1 см3). Электронный газ в металлах вырожден при всех температурах, при которых металл остаётся в твёрдом состоянии.

  Для обычных атомных и молекулярных газов температура вырождения близка к абсолютному нулю, так что такой газ практически всегда ведёт себя как классический (при таких низких температурах все вещества находятся в твёрдом состоянии, кроме гелия, являющегося квантовой жидкостью при сколь угодно близких к абсолютному нулю температурах).

  Поскольку характер несилового влияния тождественных частиц друг на друга различен для частиц с целым (бозоны) и полуцелым (фермионы) спином, то поведение газа из фермионов (ферми-газа) и из бозонов (бозе-газа) также будет различным при вырождении.

  У ферми-газа (к которому относится электронный газ в металле) при полном вырождении (при Т = 0 К) заполнены все нижние энергетические уровни вплоть до некоторого максимального, называемого уровнем Ферми, а все последующие остаются пустыми. Повышение температуры лишь незначительно изменяет такое распределение электронов металла по уровням: малая доля электронов, находящихся на уровнях, близких к уровню Ферми, переходит на пустые уровни с большей энергией, освобождая таким образом уровни ниже фермиевского, с которых был совершен переход.

  При вырождении газа бозонов из частиц с отличной от нуля массой (такими бозонами могут быть атомы и молекулы) некоторая доля частиц системы должна переходить в состояние с нулевым импульсом; это явление называется Бозе — Эйнштейна конденсацией. Чем ближе температура к абсолютному нулю, тем больше частиц должно оказаться в этом состоянии. Однако, как уже говорилось, системы таких частиц при понижении температуры до очень низких значений переходят в твёрдое или жидкое (для гелия) состояния, в которых значительны силовые взаимодействия между частицами и к которым поэтому неприменимо приближение идеального газа. Явление Бозе — Эйнштейна конденсации в жидком гелии, который можно рассматривать как неидеальный газ из так называемых квазичастиц, приводит к появлению сверхтекучести.

  Для газа из бозонов нулевой массы, к которым относятся фотоны (спин 1), температура вырождения равна бесконечности; поэтому фотонный газ — всегда вырожденный и классическая статистика к нему не применима ни при каких условиях. Фотонный газ является единственным вырожденным идеальным бозе-газом стабильных частиц. Однако Бозе — Эйнштейна конденсации в нём не происходит, так как не существует фотонов с нулевым импульсом (фотоны всегда движутся со скоростью света). При нулевой абсолютной температуре фотонный газ перестаёт существовать.

  См. также Статистическая физика, Металлы, Полупроводники и лит. при этих статьях.

  Г. Я. Мякишев.

Оглавление