Какими свойствами обладает квадрат прямоугольник ромб
Предварительные сведения
Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.
Определение 1
Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.
Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.
Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.
Определение 2
Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой.
Напомним основные свойства параллелограмма.
Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.
Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.
Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.
Прямоугольник
Определение 3
Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 1).
Рисунок 1. Прямоугольник
Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются ${90}^0$
Рассмотрим два свойства прямоугольника.
Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.
Рисунок 2.
Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем
Так как $angle B=angle A={90}^0$, а $AB$ – общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $triangle ABD=triangle ABC$. Следовательно
Свойство доказано.
Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).
Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим
Так как $angle DRC=angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $triangle DRC=triangle ARB$. Значит, $angle RDC=angle RCD=angle RAB={rm }angle RBA$.
Так как $angle DRA=angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $triangle DRA=triangle CRB$. Значит, $angle RDA=angle RAD=angle RCB={rm }angle RBC$.
Следовательно, $angle A=angle B=angle C=angle D$.
Так как сумма углов четырехугольника равняется ${360}^0$, то
Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.
Свойство доказано.
Ромб
Определение 4
Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 3).
Рисунок 3. Ромб
Рассмотрим свойство ромба.
Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.
Доказательство.
Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,
Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.
Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ – медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.
Свойство доказано.
Квадрат
Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).
Рисунок 5. Квадрат
Очевидно, что квадрат — частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Пример задачи
Пример 1
Найти периметр квадрата, диагональ которого равняется $10$.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора
[a^2+a^2=100] [{2a}^2=100] [a^2=50] [a=5sqrt{2}] [P=4a=20sqrt{2}]
Ответ: $20sqrt{2}$.
Источник
Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Свойства прямоугольника
- Противоположные стороны прямоугольника равны.
- Каждый угол прямоугольника равен 90°.
- Значит, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
- Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.
- Накрест лежащие углы при диагонали равны.
- Диагонали прямоугольника равны.
- Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности.
- Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки прямоугольника
- Если три угла четырехугольника прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.
- Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата
Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны и для квадрата.
- Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны.
- Противоположные стороны квадрата параллельны.
- Сумма углов квадрата равна 360°.
- Диагонали квадрата имеют одинаковые длины.
- Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам.
- Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
- Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
- Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные, и прямоугольные.
Признаки квадрата
- Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
- Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Формулы определения длины диагонали квадрата:
(d=asqrt{2}; d=sqrt{2S}; d=2R; d=2rsqrt{2}).
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.
Свойства ромба
- Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
- Противолежащие стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
- Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4:
- Диагонали перпендикулярны.
- Диагонали являются биссектрисами его углов.
- Центром вписанной в ромб окружности будет точка пересечения его диагоналей.
Признаки ромба
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.
- Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.
Формулы определения длины стороны ромба:
(a=frac{S}{h_a}; a=sqrt{frac{S}{sinalpha}}; a=frac{S}{2r}; a=frac{sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}).
Формулы определения длины диагонали ромба:
(d_1=asqrt{2-2cosbeta}; d_2=asqrt{2+2cosbeta}; d_1=sqrt{4a^2-d_2^2}; d_2=sqrt{4a^2-d_1^2}).
Диагональ ромба равна его стороне. Найдите меньший угол ромба.
В параллелограмме (ABCD) сторона (AB=7, AD=3,sinA=frac67). Найдите большую высоту параллелограмма.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10.
Диагональ квадрата равна (2sqrt{8}) см. Найдите сторону квадрата.
Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.
Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4:5, а другая сторона равна 6. Числовое значение площади прямоугольника принадлежит промежутку
Источник
Комментарии преподавателя
Ромб и квадрат
1. Ромб и его свойства
Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.
Теорема
Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).
Дано:
– ромб
Доказать:
.
Доказательство:
Рис. 1
Рассмотрим : – середина (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник – равнобедренный; является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:
, то есть диагонали ромба перпендикулярны;
, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).
Доказано.
Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.
2. Квадрат и его свойства
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:
· все углы квадрата прямые;
· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.
3. Задачи на ромб и квадрат
Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.
Задача 1.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:
а) углы ромба;
б) углы между диагоналями и сторонами.
Дано: – ромб; .
Найти: а) ; б) .
Решение:
Рис. 2
а) (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .
Ответ: .
б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .
Ответ: .
Задача 2.
Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.
Дано: – ромб; .
Найти:
Решение:
Рис. 3
Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .
Ответ: .
Задача 3.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .
Дано: – ромб, .
Найти:
Решение:
Рис. 4
Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .
Ответ:
Задача 4.
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:
а) его диагонали взаимно перпендикулярны;
б) его диагонали являются биссектрисами углов.
а) Дано: – параллелограмм, .
Доказать: – ромб.
Доказательство:
Рис. 5
Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть – ромб.
Доказано.
б) Дано: – параллелограмм, – биссектрисы углов параллелограмма.
Доказать: – ромб.
Доказательство:
Рис. 6
Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть, – ромб.
Доказано.
Задача 5.
Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.
Дано: – ромб,
Доказать: – квадрат.
Доказательство:
Рис. 7
Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию: (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что – прямоугольник, а значит, и квадрат.
Доказано.
На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.
ИСТОЧНИК
https://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/romb-i-kvadrat
https://www.youtube.com/watch?v=axMe7L_01j0
https://www.youtube.com/watch?v=y4x7r57AuSM
https://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/17412/2387c05b0d646493088efdb6da84d39d.ppt
https://prezentacii.com/uploads/ppt/03-13/Prjamougolnik-Romb-Kvadrat.rar
https://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Prjamougolnik-romb-kvadrat/Prjamougolnik-romb-kvadrat.html
https://u.900igr.net/zip/397eb071b35912c86e9059e79cf8ca54.zip
https://player.myshared.ru/1246878/data/images/img3.jpg
https://www.euroki.net/books/gdzs/273/112569.png
https://900igr.net/datas/geometrija/Prjamougolnik-romb-kvadrat/0005-005-Otvety-k-proverochnomu-testu.jpg
Источник
Видеоурок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1
Видеоурок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2
Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
Четырехугольники
Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.
В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.
Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.
Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.
Параллелограмм
Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:
Параллельные стороны параллелограмма попарно равны между собой
Противолежащие углы параллелограмма также равны
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит из пополам
Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:
- Какой – то Один признак выполнен
- Все свойства параллелограмма можно использовать
Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.
Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:
Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:
Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:
Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:
Квадрат
Правильный четырехугольник – это квадрат. Как известно, у всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.Свойства квадрата:
- Все стороны равны.
- Все углы равны 90 градусам.
- Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения делит их пополам.
Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.
Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:
Прямоугольник
Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.
Свойства прямоугольника:
У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.
Все углы прямые.
Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:
Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.
Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:
Формулы сторон прямоугольника
Формулы периметра прямоугольника
Формулы площадей
Ромб
И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.
У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.
Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.
Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.
У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:
Формулы для сторон ромба
Формулы площадей ромба
Источник
Автор:
02 апреля 2019 08:28
Мы все учили в школе геометрию, но с годами многое подзабыли. Чтобы не попасть впросак, когда ваш ребенок спросит, чем ромб отличается от квадрата, почитайте эту статью и вспомните, казалось бы, давно забытое.
Источник:
Очень часто четкое определение какого-либо предмета дает о нем практически полную информацию. Вот, например, ромб и квадрат – едва ли не самые распространенные геометрические фигуры. Глядя на них, мы понимаем, что они отличаются, но вот чем и как это объяснить простыми словами? Давайте разбираться.
Что представляет собой ромб
Источник:
Геометрия дает такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм…». Стоп, сначала придется вспомнить, что такое параллелограмм. Это многоугольник с четырьмя углами, у которого противоположные стороны параллельны. А какими же свойствами обладает ромб как разновидность параллелограмма? Вот они:
1. Если соединить противоположные углы ромба диагоналями, то углы их пересечения составят 90º, то есть они взаимно перпендикулярны.
2. Эти диагонали (вообще-то в строгой науке геометрии принято говорить «отрезки диагоналей ромба») лежат на биссектрисах, делящих его углы пополам (помните школьный стишок: «Биссектриса – это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»? Ребенку тоже будет полезно).
Что представляет собой квадрат
Источник:
С квадратом все намного проще, его определение звучит так: квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Теперь нужно определить, что такое прямоугольник. Это тоже параллелограмм, как и ромб, но с прямыми углами, то есть равными 90º.
Основные свойства квадрата следующие:
1. Если провести биссектрисы всех углов квадрата (напомним, что углы прямые), то отрезки диагоналей квадрата будут лежать на этих биссектрисах.
2. Если провести диагонали между противоположными углами квадрата, то в центре симметрии квадрата, где эти диагонали пересекутся, они поделятся пополам.
3. Все отрезки диагоналей квадрата будут равны между собой.
Так в чем же отличие?
Источник:
Проще всего это понять и продемонстрировать ребенку с помощью спичек или зубочисток. Возьмите 4 спички и сделайте из них ромб. Обратите внимание на то, что у ромба разные углы: 2 острых и 2 тупых. А теперь превратите ромб в квадрат – просто сдвиньте спички таким образом, чтобы все углы стали прямыми, то есть по 90º.
Таким образом, получается, что квадрат – это как бы частный случай ромба (хотя настоящему специалисту это определение может показаться не совсем научным).
Еще одно отличие заключается в том, что у квадрата диагонали равны друг другу, а у ромба одна длиннее, а другая короче.
Вывод: каждый квадрат – это ромб с прямыми углами, но не каждый ромб – это квадрат.
Источник:
Ссылки по теме:
Понравился пост? Поддержи Фишки, нажми:
Источник