Какими свойствами обладает математическое ожидание

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значение на соответствующие им вероятности.

Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероятности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла

при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).

Пример 1. Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона. По определению

или обозначим

Значит, параметр,определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.

Пример 2. Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения , математическое ожидание равно

():

(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f (x) отлична от нуля только при положительных x).

Пример 3. Случайнаявеличина, распределенная по закону распределения Коши, не имеет среднего значения. Действительно

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.

Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С

Свойство 2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что

Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями

По определению

Но

где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. . Аналогично . Окончательно имеем

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.

Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения

Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда

Следствие. Постоянныймножитель можно выносить за знак математического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Пример. Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых равна Р. Число появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).


Р	1-р	р

Поэтому

или

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 апреля 2020; проверки требуют 14 правок.

Математи́ческое ожида́ние — одно из важнейших понятий в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины[1]. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонент случайного вектора.

Обозначается через [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert);
в русскоязычной литературе также встречается обозначение (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно p — вероятности “единицы”.
Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

Определение[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]

Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

, .

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно

Определение для дискретной случайной величины[править | править код]

Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

, ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]

Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

, , ,

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]

Пусть — случайный вектор. Тогда по определению

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

если имеет дискретное распределение;

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

В специальном случае, когда , математическое ожидание называется -м моментом случайной величины.

Свойства математического ожидания[править | править код]

Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

— константа;

Математическое ожидание линейно[3], то есть

,
где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно – разности) их математических ожиданий.

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверняка, то

Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных[4] случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины определённой на вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием выполняется неравенство:

, где .

Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть — вероятностное пространство, — определённая на нём случайная величина, — выпуклая борелевская функция, такие, что , то

Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Теорема Леви о монотонной сходимости.

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости — пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: . Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что почти наверное. Тогда случайные величины интегрируемы и

Тождество Вальда — для независимых одинаково распределённых случайных величин , где является положительной целочисленной случайной величиной, независимой от , при условии, что и имеют конечное математическое ожидание, будет выполняться следующее равенство:

Математическое ожидание случайной величины равно значению первой производной её производящей функции моментов в точке 0:

Примеры[править | править код]

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда

то есть математическое ожидание не определено.

См. также[править | править код]

Дисперсия случайной величины
Моменты случайной величины
Условное математическое ожидание

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки[править | править код]

Математическое ожидание и его свойства на https://www.toehelp.ru

Источник

Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. М(С)=С.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как дискретную с одним значением х1=С и вероятностью этого значения р1=1. По формуле (6.1) получим М(С)=С∙1=С.

Свойство доказано.

2. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е. М(Х±Y) = М(Х) ± М (Y).

Доказательство. Доказательство проведем только для дискретных случайных величин. Пусть случайные величины Х и Y заданы своими рядами распределения:

Х	x1	x2	…	xn	и	Y	y1	y2	…	ym
P	p1	p2	…	pn	Q	q1	q2	…	qm

Возможными значениями суммы Х±Y являются числа хi ± уj. Обозначим через pij вероятность того, что величина X примет значение хi, а величина Y примет значение уj. По определению математического ожидания имеем

Нетрудно понять, что по теореме о полной вероятности имеют место равенства . Следовательно,

Свойство доказано.

Следствие. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих величин.

Доказательство данного следствия можно провести методом математической индукции.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если Х и Y – независимые случайные величины, то М(Х·Y) = М(Х) · М (Y).

Доказательство. Доказательство проведем также только для дискретных случайных величин. Пусть случайные величины Х и Y заданы, как и при доказательстве второго свойства, своими рядами распределения. Очевидно, что с учетом независимости случайных величин, ряд распределения случайной величины Z=X·Y имеет вид

x1y1

x1y2

…

x1ym

x2y1

x2y2

…

x2ym

…

xny1

…

xnym

p1q1

p1q2

…

p1qm

p2q1

p2q2

…

p2qm

…

pnq1

pnq2

…

pnqm

Согласно определению математического ожидания, получим

Свойство доказано.

Следствие. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Доказательство данного следствия можно провести методом математической индукции.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(С·Х) =С · М(Х).

Доказательство. Применим третье и первое свойства, получим М(С·Х)=М(С)·М(Х) =С · М(Х).

Свойство доказано.

Несмотря на то, что доказательство свойств приведено для дискретных случайных величин, однако они все справедливы и для непрерывных случайных величин.

Пример 6.5. Найти математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р.

Решение. Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях. Введем в рассмотрение еще n случайных величин:

Х1 – число появлений события А в первом испытании;

Х2 – число появлений события А во втором испытании;

…………………………………………………………….

Хn – число появлений события А в n – ом испытании.

Очевидно, что Х=Х1+Х2+…+Хn. Найдем, используя второе свойство, математическое ожидание, получим

М(Х)= М(Х1+Х2+…+Хn)=М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn)=р+р+…+р=n·р.

В последнем равенстве использовались результаты примера 5.2. ■

Математическое ожидание – это не единственная характеристика положения случайной величины. К таким характеристикам относятся также мода и медиана.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Очевидно, что для дискретной случайной величины модой является то значение хi, для которого вероятность рi является самой большой. Для непрерывной случайной величины модой является то значение х, при котором функция плотности f(x)достигает максимального значения.

Если вероятность или плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным(многомодальным); если в одной точке, то унимодальным(одномодальным).

Медианой случайной величины Х называется такое значение хт, для которого одинаково вероятными оказываются следующие события: “Х< хт” и “Х> хт“.

Как правило, медиана применяется, в основном, для непрерывных случайных величин. Если хт – медиана некоторой непрерывной случайной величины, то для нее выполнены равенства:

Р(Х< хт) = Р(Х> хт) = .

Геометрически медиана – это точка на оси абсцисс, для которой площади под графиком функции плотности, лежащие справа и слева от нее равны и равны .

Кроме характеристик положения распределение случайной величины могут определять характеристики разброса.

Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 2436 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

Источник

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:.

Доказательство: Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно,.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Например, если вероятность возможного значения равна , то вероятность того, что величина СХ примет значение , также равна .

Получить решение

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
.

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:…

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

Тогда .

Итак,.

Замечание 2. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин Х и Y как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна , вероятность возможного значения равна , то вероятность возможного значения равна .

Следующее свойство приведем без доказательства.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем
.

ПРИМЕР 13.1.31 Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
,.

Случайные величины Х и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание
.

Замечание 4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений Х+Y для независимых величин Х и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого, на условную вероятность второго.

Следующее свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин, его приведем без доказательства.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых
.

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем
.

ПРИМЕР 13.1.32 Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х и на второй — через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Очевидно, что и .

Искомое математическое ожидание

Рассмотрим следующую задачу. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 13.1.10. Математическое ожидание М (X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
.

ПРИМЕР 13.1.33 Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Источник