Какими свойствами обладает множество действительных чисел

Примеры числовых множеств

– множество натуральных чисел.

– множество целых чисел.

– множество целых неотрицательных чисел.

– множество рациональных чисел.

– множество действительных чисел.

Свойства множества действительных чисел

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для двух любых различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и ( ) содержится бесконечное множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству

3. Множество непрерывное.

Пусть множество разбито на два непустых подмножества и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел выполняется неравенство .

Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству

( ).

Оно отделяет числа из классов и . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа) либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего числа).

1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически

Функция называется явнозаданной, если действия, выполняемые для ее вычисления, указаны и можно их осуществить для .

Функция может быть задана неявно. Форма ее задания в имеет вид

, (1)

где – символ функции двух аргументов, заданной явно.

Например,

Теперь нет явного правила вычисления функции по ее аргументу . Однако, в этом случае оно может быть легко получено в виде

или .

Под неявно заданной функцией

понимается такая, подстановка которой в уравнение (1) обращает его в тождество

Зависимость от можно задать с помощью третьей переменной в виде

где .

Этот способ задания функции называется параметрическим. В частности при получается – явный способ задания функции.

2. Графики элементарных функций

2.1. Степенная функция

Степенная функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где – действительное число[2].

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени . Например, если – целое положительное (натуральное) число, то областью определения степенной функции является множество действительных чисел . В этом случае получается следующий ряд степенных функций: , , … Степенные функции с нечетными показателями степени являются нечетными, а с четными показателями степени – четными. Графики некоторых нечетных функций приведены на рис. 1, а четных – на рис. 2.

Рис. 1. – сплошная линия, – пунктирная линия

Рис. 2. – сплошная линия, – пунктирная линия

Если – целое отрицательное число, то в этом случае степенная функция определена для всех действительных значений , кроме . Если степень является четным отрицательным числом, то степенная функция является четной. В противном случае она является нечетной. Эти утверждения проиллюстрированы на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Степенная функция

Рис. 4. Степенная функция

Среди степенных функций с показателем степени, являющимся рациональной дробью рассмотрим функцию . Поскольку рассматривается арифметическое значение корня, то областью определения функции будет множество неотрицательных действительных чисел ( ). График этой степенной функции представлен на рис. 5.

Рис. 5. Степенная функция

График функции представлен на рис. 6. Областью определения функции является вся действительная ось.

Рис. 6. Степенная функция

2.2. Показательная функция

Показательная функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где и – действительное число.

Показательная функция с указанными ограничениями для основания степени определена для любых значений ( ). Вид показательной функции существенно зависит от основания степени . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).

Рис. 1. Показательная функция .

Рис. 2. Показательная функция .

Отметим, что графики всех показательных функций проходят через одну и ту же точку с координатами .

2.3. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где и – действительное число. Она понимается как число, которое должно быть степенью числа , чтобы получить . Иначе говоря, значение функции должно быть таким, чтобы выполнялось соотношение

Число называется основанием логарифмической функции. Поскольку любая степень положительного числа дает также положительное число, то областью определения логарифмической функции (1) является множество положительных вещественных чисел ( ). Вид логарифмической функции существенно зависит от величины основания логарифма . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).

Рис. 1. Логарифмическая функция .

Рис. 2. Логарифмическая функция .

Отметим, что графики всех логарифмических функций проходят через одну и ту же точку с координатами .

2.4. Тригонометрические функции

2.4.1. Функция

Аргумент называется углом. Угол определяется как отношение длины дуги части окружности, проведенной из вершины угла как из центра, к величине радиуса окружности. Угол является безразмерной величиной. Однако условно его считают выраженным в радианах. Отметим, что угол может выражаться в градусах. Для острых углов, т. е. для углов величиной функция синуса определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция синуса определяется как ордината конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция синуса .

Областью определения функции синуса является все множество действительных чисел ( ).

2.4.2. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция косинуса определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция косинуса определяется как абсцисса конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция косинуса .

Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел ( ).

2.4.3. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция тангенса определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему прямоугольного треугольника или как отношение синуса к косинусу

. (1)

Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к его абсциссе или как ордината точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция тангенса .

Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция косинуса обращается в нуль, т. е. кроме

где ( ).

2.4.4. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция котангенса определяется как отношение прилежащему катета противолежащего к прямоугольного треугольника или как отношение косинуса к синусу

. (1)

Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к его ординате или как абсцисса точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси ординат и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция тангенса .

Областью определения функции котангенса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция синуса обращается в нуль, т. е. кроме

где ( ).

2.5. Обратные тригонометрические функции

2.5.1. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция синуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку значение функции (1) по модулю не превосходит единице, то областью определения функции является .

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арксинуса .

2.5.2. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция косинуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арккосинуса .

2.5.3. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция тангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку функция (1) может принимать любое действительное значение, то областью определения функции является .

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арктангенса .

2.5.4. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция котангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арккотангенса .

[1] В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» к основным элементарным функциям относят постоянную.

[2]В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» добавлено «не равное нулю».

Источник

Совокупность основных свойств множества действительных чисел может быть принято за систему аксиом, основополагающую для построения теории действительных чисел.

1. Свойства суммы

$forall a, b in R$ операция $a+b$ называется суммой и обладает следующими свойствами:

1) Коммутативность сложения

$forall a, b in R a+b=b+a$

Для любых действительных чисел a и b сумма a и b равна сумме b и a.

2) Ассоциативность сложения

$forall a, b, c in R (a+b)+c=a+(b+c)$

Для любых действительных чисел a, b и c сумма a и b плюс c равна a плюс сумма b и c.

3) Свойство нуля

$forall a in R ;;; exists ! 0 in R ;;; a+0=a$.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число 0 и при том единственное, что сумма a и 0 равна a.

4) Свойство противоположного элемента

$forall a in R ;;; exists (-a) in R ;;; a+(-a)=0$.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число -a, что их сумма равна нулю.

2. Свойства умножения

$forall a, b in R$ операция $a cdot b$ называется произведением, и ей присущи следующие свойства:

1) Коммутативность умножения

$forall a, b in R ;;; a cdot b = b cdot a$.

2) Ассоциативность умножения

$forall a, b, c in R ;;; a cdot (b cdot c)=(a cdot b) cdot c$.

3) Свойство единицы

$forall a in R ;;; exists 1 in R ;;; a cdot 1 = a$.

4) Свойство обратного числа

$forall a in R ;;; a ne 0 ;;; exists a^{-1} in R ;;; a^{-1}=frac{1}{a} ;;; a cdot a^{-1}=1$.

Множество $R setminus {0}$ относительно операции умножения является коммутативной группой.

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

$forall a, b, c in R ;;; (a+b) cdot c = ac+bc$.

4. Свойства отношения порядка

Для любых действительных чисел a и b: или $a le b$, или $a ge b$. При этом выполняются следующие свойства:

1) Свойство полноты

$forall a, b in R$ справедливо одно из трёх: $a=b$, $a>b ;;; (b<a)$, $a<b ;;; (b>a)$.

Для любых действительных чисел a и b справедливо одно из трёх утверждений: либо a и b равны, либо a больше b (b меньше a), либо a менше b (b больше a).

2) Рефлексивность

$forall a in R ;;; a le a$.

Для любого действительного числа a: a меньше либо равно a.

3) Свойство тождества

$forall a, b in R ;;; a le b ;;; и ;;; a ge b Rightarrow a=b$.

Если для двух любых действительных чисел a и b выполняется условие a меньше либо равно b и b меньше либо равно a, то a и b равны.

4) Транзитивность

$forall a, b, c in R ;;; a le b ;;; и ;;; b le c Rightarrow a le c$.

Для любых действительных чисел a, b, c: если a меньше либо равно b и b меньше либо равно c, то a меньше либо равно c.

5) Сохранение неравенства

$forall a, b, c in R ;;; a le b Rightarrow a+c le b+c$.

Для любых действительных чисел a, b, c, в случае выполнения неравенства a меньше либо равно b, при прибавлении к обоим частям неравенства одного и того же числа c знак неравенства остаётся прежним.

6) Правило знаков

$forall a, b in R ;;; a ge 0 ;;; и ;;; b ge 0 Rightarrow a cdot b ge 0$.

Произведение двух любых положительных действительных чисел положительно.

5. Аксиома Архимеда.

$forall a in R ;;; exists n in N ;;; a le n$

6. Теорема (аксиома) Дедекинда.

Пусть заданы два множества $A$ и $B$ – не пустые, не пересекающиеся и в объединении дающие множество действительных чисел: $A ne emptyset , B ne emptyset , A cap B = emptyset , A cup B = R$. И пусть $forall a in A ;;; forall b in B ;;; a<b$, тогда существует такое действительное число $c$, для которого выполняется следующее условие: $a le c le b$.

О множествах A и B говорят, что они образуют Дедекиндово сечение, а число c это сечение производит. Это число c принадлежит либо множеству A, тогда в множестве A есть наибольшее число, а в множестве B нет наименьшего числа, либо c принадлежит множеству B, тогда в множестве B оно наименьшее, а в множестве A нет наибольшего. Ясно, что число c, осуществляющее Дедекиндово сечение, единственно. Теорема Дедекинда формулирует свойство полноты (или непрерывности) множества действительных чисел.

Источник

ГЛАВА II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА

Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.

Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода — основной неарифметической операции анализа.

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел

1. Определение множества действительных чисел

Определение 1. Множество Е называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными (вещественными)

числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

(I) Аксиомы сложения

Определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый суммой х и у. При этом выполнены следующие условия:

Существует нейтр алъный элемент 0 (называемый в случае сложения нулем) такой, что для любого

Для любого элемента имеется элемент , называемый пр отивопо ложным к такой, что

Операция 4 ассоциативна, т. е. для любых элементов из выполнено

Операция 4 коммутативна, т. е. для любых элементов из Е выполнено

Если на каком-то множестве определена операция, удовлетворяющая аксиомам то говорят, что на задана структура группы или что есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. е. выполнено условие то группу называют коммутативной или абелевой. Итак, аксиомы говорят, что Е есть аддитивная абелева группа.

(II) Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия:

1. Существует нейтральный элемент в случае умножения единицей) такой, что

2. Для любого элемента имеется элемент , называемый обратным, такой, что

3. Операция ассоциативна, т. е. любых из Е

4. Операция коммутативна, т. е. для любых

Заметим, что по отношению к операции умножения множество как можно проверить, является (мультипликативной) группой.

(I, II) Связь сложения и умножения

Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.

Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей.

Если на каком-то множестве действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то называется алгебраическим полем или просто полем.

(III) Аксиомы порядка

Между элементами Е имеется отношение т. е. для элементов из Е установлено, выполняется ли или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия:

Отношение называется отношением неравенства.

Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0, 1, 2, как известно, называют частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3, т. е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.

Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено отношением неравенства между его элементами.

(I, III) Связь сложения и порядка в R

Если х, — элементы R, то

(II, III) Связь умножения и порядка в R

Если — элементы R, то

(IV) Аксиома полноты (непрерывности)

Если X и Y — непустые подмножества Е, обладающие тем свойством, что для любых элементов выполнено то существует такое , что для любых элементов .

Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел.

Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний.

Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия «больше» что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии.

Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса.

Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует лимножество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики.

Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксиом.

Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами можно установить биективное соответствие, пусть сохраняющее арифметические операции и отношение порядка, т. е.

С математической точки зрения в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, — бесконечные десятичные дроби, а — точки на числовой прямой). Такие реализации называются изоморфными, а отображение — изоморфизмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.

Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них.

Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I, § 4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество Е всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.

Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно, решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа.

Источник