Какими свойствами обладает множество n натуральных чисел

Рассматриваемая теория натуральных чисел является теорией порядковых натуральных чисел. Идея порядка заложена в отношении “непосредственно следовать за”, которое, однако, затрагивает лишь соседние элементы. Сравнить два натуральных числа, не являющихся соседними, при помощи отношения “непосредственно следовать за” невозможно. Упорядочить множество натуральных чисел можно, задав на нем отношение «меньше».

Определение 5. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Свойства отношения “меньше”:

1. Для любого натурального числа а справедливо а < а ,.

2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.

3. Если а < b и b < с, то а < с.

4. Если а < b, то неверно, что b < а.

Свойство монотонности сложения

1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.

Свойство монотонности умножения

1) а < b ac < bc;

2) а > b ac > bc.

7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует такое натуральное число n, что пb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства:

1) Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а<п<а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа.

3) Если М– непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 – это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Вычитание и деление натуральных чисел

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а – bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b – вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел а – b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство (существования). Пусть разность а – b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а – b, т.е. разность а – b существует.

Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а – b = с₂, причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂: и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила:

1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

(а + b) – с = (a – с) + b.

2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

а – (b + с) = (а – b) – с

Для того чтобы вычесть из числа разность двух чисел, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое и из полученного числа вычесть уменьшаемое.

а – (b – с) = (а + с) – b

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b×с = а.

Число а:b называется частнымчисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда.

Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а.

Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления:

1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

(а + b):с = а:с + b:с.

2) правило деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

(а – b):с = а: с – b:с.

3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

(а × b):с = (а:с) × b.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.

Рекомендуемые страницы:

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот, какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Что точно не является натуральным числом:

Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
Отрицательные числа: −1, −2, −3, −4.
Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Особенности натуральных чисел
Наименьшее натуральное число: единица (1). Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен. У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Особенности натуральных чисел

Наименьшее натуральное число: единица (1).
Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен.
У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Какие операции возможны над натуральными числами

сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
умножение: множитель * множитель = произведение;
вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или нуль;
деление с остатком: делимое / делитель = частное (остаток);
возведение в степень: ab, где a — основание степени, b — показатель степени.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart и попробуйте сами!

Запишись на курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность чисел может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это неправильные примеры натуральных чисел, потому что нуль расположен слева. По правилам, так нельзя. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан????. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, из множества деревьев, любое дерево — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана ????????Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

????????????	3 предмета («три»)
????????????????	4 предмета («четыре»)
????????????????????	5 предметов («пять»)
????????????????????????	6 предметов («шесть»)
????????????????????????????	7 предметов («семь»)
????????????????????????????????	8 предметов («восемь»)
????????????????????????????????????	9 предметов («девять»)

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «нуль». Напомним, что нуль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Нуль предметов значит — ни одного.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот, как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 единиц, 0 десятков и 6 сотен.

Точно также определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа на него самого	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 * 5 = 5 * 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий. Можно хоть так, хоть эдак: (6 * 7) * 8 = 6 * (7 * 8)
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 * (5 + 6) = 45 + 46
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 * (4 — 5) = 34 — 35
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9:3 + 8:3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 — 3) : 2 = 5:2 — 3:2.

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще, чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Источник

Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида то есть те числа, которые используются человеком для счёта.

В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел.

Натуральные числа

Натуральные числа составляют ряд, начинающийся с 1 и охватывающий множество всех положительных целых чисел. Такая последовательность состоит из чисел 1,2,3, … . Это означает, что в натуральном ряду:

Есть наименьшее число и нет наибольшего.
Каждое следующее число больше предыдущего на 1 (исключение – сама единица).
При стремлении к бесконечности числа растут неограниченно.

Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.

Классы натуральных чисел

Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.

Пример:

в числе 276: 2 сотни, 7 десятков, 6 единиц
в числе 1098: 1 тысяча, 9 десятков, 8 единиц; разряд сотен здесь отсутствует, поскольку выражен нулем.

Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):

три последних цифры в числе – это единицы, десятки и сотни;
три предыдущие – это единицы, десятки и сотни тысяч;
три стоящие перед ними (т.е.7-я, 8-я и 9-я цифры числа, считая от конца) – это единицы, десятки и сотни миллионов и т.д.

Итак:

4-й класс, следующий за классом миллионов и представляющий собой числа из 10-12 цифр, называется миллиард (либо биллион);
5-й класс – триллион;
6-й класс – квадриллион;
7-й класс – квинтиллион;
8-й класс – секстиллион;
9-й класс – септиллион.

Сложение натуральных чисел

Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.

Пример:

28+63=91

Многозначные числа, которые прибавлять в уме затруднительно, принято складывать в столбик.

Для этого числа записывают одно под другим, выравнивая по последней цифре, то есть пишут разряд единиц под разрядом единиц, разряд сотен под разрядом сотен и так далее. Далее нужно попарно сложить разряды.

Если сложение разрядов происходит с переходом через десяток, то этот десяток фиксируется как единица над разрядом слева (то есть следующим за ним) и суммируется вместе с цифрами этого разряда.

Пример:

Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.

Вычитание натуральных чисел

При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.

74–18=56
Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.

Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом.

Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.

Пример:

21–21=0

Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.

Пример:

38–0=38

Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов.

Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10.

Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.

Произведение натуральных чисел

Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.

Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.

При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме.

При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают.

При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.

Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.

Примеры:

Числа и их свойства

Деление натуральных чисел

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).

Пример:

48:6=8

Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.

Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него.

Делитель умножают на этот множитель и вычитают его из делимого. Разность и будет остатком от деления. Произведение делителя на множитель называют неполным частным.

Внимание: остаток обязательно должен быть меньше подобранного множителя! Если остаток больше, то это означает, что множитель подобран неверно, и его следует увеличить.

Пример:

38:7

Подбираем множитель для 7. В данном случае это число 5. Находим неполное частное: 7·5=35. Вычисляем остаток: 38-35=3. Поскольку 3

Источник: https://spadilo.ru/naturalnye-chisla/

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в 1891 г. Д.Пеано:

Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Ничего непонятно?

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, 2,6.9 и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

Переместительное свойство: a+b=b+a

Сумма не изменяется при перестановке слагаемых.

Сочетательное свойство: a+ (b+c) =(a+b) +c

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое.

От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа a-(b+c) =a-b-c если b+c ≤ a

Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое.

Свойство вычитания числа из суммы (a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Если из числа вычесть нуль, то число не изменится.

Если из числа вычесть его само, то получится нуль.

Свойства умножения

Переместительное acdot b=bcdot a

Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей.

Сочетательное acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c

Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$

При умножении на нуль произведение равно нулю. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

- (a+b)cdot c=ac+bc

Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

Например, 5(x+y)=5x+5y

Распределительное свойство умножение относительно вычитания:

1. (a-b)cdot c=ac-bc

Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Например, 5(x-y)=5x-5y

Сравнение натуральных чисел

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $aПример 1Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $aРешение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее числоПодмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если a
Если c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра 0

При округлении числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра 0. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число 564 до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить 560, или с избытком и получить 570.

Правило округления натуральных чисел

Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/delimost_chisel/naturalnye_chisla_i_ih_svoystva/

Совершенные числа

Числа и их свойства

Математика – это не только куча уже известных формул, типовых решений и задач. Помимо школьного курса есть математические загадки, которые пока никому не удалось разгадать. Одной из таких загадок являются совершенные числа.

Совершенное число – это числа, сумма делителей которого равняется этому числу. Имеются в виду только те числители, что меньше самого числа. Наименьшим совершенным числом является число 6. Простые делители 6: 1,2,3 – если их сложить то получится все тоже число 6.

Совершенными числами впервые заинтересовались древнегреческие математики. Они были увлечены идеей простого числа. Так, второе простое число было обнаружено Пифагором, который полагал, что обнаружив закономерность, по которой образуются простые числа, можно вывести идеальное имя человека. Это была идея всех математиков того времени.

Первым, кто попытался вывести подобную зависимость научным путем, был Евклид, в своих трудах он указывал на некоторые признаки совершенных чисел. Однако, несмотря на все труды математиков всех времен и народов, обнаружить формулу совершенного числа до сих пор не удалось

Это удивительно, но ни одна из предложенных формул совершенных чисел не дает возможности определить следующее по порядку совершенное число. Все, что может предложить современная математика: бесконечный перебор вариантов.

Да, тяжело в это поверить, но открытых совершенных чисел не так много. Так последнее на данный момент, 50 число было открыто всего в 2018 году с помощью вычислений сверхмощного компьютера.

Зачем же нужны компьютеры для простого перебора чисел? Ну, как минимум, это ускоряет расчет в десятки тысяч раз. Но помимо этого есть и еще одна причина. Дело в том, что чем каждое следующее совершенное число в разы больше предыдущего, что еще больше усложняет выведение формулы числа и нахождение следующих чисел ряда.

Так, первое число из списка совершенных чисел мы знаем: 6. Следующее: 48, далее идет 896. А вот в 24 числе уже 12000 знаков. По мере роста натуральных чисел, совершенные числа встречаются все реже.

Большую часть совершенных чисел нашли уже в современности. Огромное 24 число было найдено в 1956 году с использованием ЭВМ. На сегодняшний день таких в список совершенных чисел входит 50 значений.

Особых свойств совершенные числа не имеют, но есть интересные закономерности. Интересно, что практически каждая закономерность имеет свои исключения, а потому не может быть использована для выведения общей для всех совершенных чисел формулы.

Например, совершенные числа являются суммой кубов последовательных чисел. Однако под это свойство не попадает число 6 и так далее. Практически каждое свойство имеет свое исключение, кроме двух.

Так, сумма обратных чисел простых делителей совершенного числа всегда равна 2. А так же до сих пор не найдено ни одно нечетное совершенное число. Возможно это связано с моделью поиска, а может быть дело в том, что все совершенные числа: четные.

Мы поговорили о том, что такое совершенные числа. Рассказали, сколько всего совершенных чисел найдена, чем затруднен поиск новых чисел, а также привели несколько интересных свойств совершенных чисел.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/sovershennye-chisla-spisok.html

Действительные числа: определение, примеры, представления

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Натуральные числа.
Целые числа.
Десятичные дроби.
Обыкновенные дроби.