Какими свойствами обладает сумма произведение частное рациональных чисел
1. Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.
Иными словами, если a, b и с — любые рациональные числа, то а + b = b + a, а+(b + с) = (а + b) + с.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.
Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + ( — а)=0.
Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и с — любые рациональные числа, то ab — ba, a(bc) — (ab)c.
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1.
Значит, для любого рационального числа а имеем:
Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0.
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а • b = 0, то либо а = 0, либо b = 0 (может случиться, что и а = 0, и b=0).
Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел a, b и с имеем: (a+b)• c = ac+bc.
С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».
Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.
Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.
При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».
Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин.
Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?
Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).
Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.
В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.
Источник
Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Действие сложения рациональных чисел
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.
Сформулируем правила сложения рациональных чисел:
Сложение нуля с отличным от него рациональным числом
Определение 1
Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства:a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.
Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.
Сложение противоположных рациональных чисел
Определение 2
Сумма противоположных чисел равна нулю.
Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).
К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.
Сложение положительных рациональных чисел
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Пример 1
Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.
Решение
Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.
Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:
610+59= 5490+ 5090= 10490=1745
Ответ: 0,6 + 59= 1745.
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Определение 3
Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Пример 2
Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8,2 и -234 .
Решение
Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: |8,2| = 8,2 и|-234|=234. Проведя сравнение модулей – рациональных чисел, получим: 8,2 > 234 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое – вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8,2-234= 8210- 234= 59 20.
Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.
Сложение отрицательных рациональных чисел
Определение 4
Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.
Пример 3
Необходимо произвести сложение чисел: -4,0203 и -12,193.
Решение
Модули заданных чисел соответственно равны: 4,0203 и 12,193. Сложим их:
Полученному результату присваиваем знак минус: -16,2133.
Ответ: (-4,0203)+(-12,193) =-16,2133.
Действие вычитания рациональных чисел
Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b=a следует, чтоa-b=cи a-c=b. И наоборот: из равенств a-b =c и a-c=bследует, что c+b=a.
Определение 5
При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.
Пример 4
Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4,(36)– 15.
Решение
Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +…)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411
Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955
Ответ: 4,(36)-15= 4955
Определение 6
В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:a–b=a+(-b).
Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a+(-b) есть разность чисел a и b.
Пример 5
Необходимо из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537
Решение
Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. -537. Тогда: 27-537=27+-537
Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27= -517
Ответ:27+-537=-517
Действие умножения рациональных чисел
Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.
Умножение на нуль
Определение 7
Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.
Т.е. a·0=0.
Используя переместительное свойство умножения, получим: 0·а=0.
К примеру, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0. Перемножив отрицательное рациональное число -718и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0·0=0.
Умножение на единицу
Определение 8
Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a.
Т.е. a·1=a или 1 · a = a (для любого рационального a). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.
К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46.
Умножение взаимообратных чисел
Определение 9
Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а·а-1=1.
К примеру, результатом произведения чисел 56 и 65 будет единица.
Умножение положительных рациональных чисел
В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.
Пример 6
Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.
Решение
Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0,5 = 510= 12.
Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 12 · 625= 650= 325.
Ответ: 0,5 ·625= 325
Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.
Пример 7
Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.
Решение
Перемножим десятичные дроби столбиком:
Ответ: 2,121 · 3,4 = 7,2114
В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.
Умножение рациональных чисел с разными знаками
Определение 10
Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.
Пример 8
Необходимо найти произведение чисел: -338и 212
Решение
Согласно вышеуказанному правилу получим: -338·212=-338·212=-338·212
Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338·212=-278·52=-13516=-8716
Ответ: -338·212=-8716
Умножение отрицательных рациональных чисел
Определение 11
Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.
Пример 9
Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.
Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3,146 и 56.
Перемножим их столбиком:
Полученный результат и будет являться искомым произведением.
Ответ: (-3,146) · (-56) = 176,176
Деление рациональных чисел
Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенстваb·c =a следует, что a:b =c и a:c=b. И наоборот: из равенств a:b=c и a:c=b следует, чтоb·c=a.
На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.
Определение 12
Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a·b-1.
Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств (a·b-1)· b=a·(b-1·b)=a·1=a, которая и доказывает равенство a : b = a · b-1.
Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.
Пример 10
Необходимо выполнить действие деления 313:-116
Решение
Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.
Число, обратное этой дроби, будет: -67. Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 313-116=313·-67=103·(-67) =-(103·67)=-207= -267
Ответ: 313:-116=-267
Источник
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,2 — это 1/2;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333… — это 1/3;
- смешанное число — это 25/10;
- отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
Подружиться с математикой и повысить оценки в школе — проще, чем кажется. В детской школе Skysmart знают, как увлечь ребенка предметом и объяснить самую коварную тему.
Записывайте ребенка на бесплатный пробный урок: познакомим с платформой, решим пару задач в интерактивном формате и наметим программу обучения.
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
- Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
- Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
- Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
- У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
- Переместительное свойство умножения: ab = ba.
- Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
- Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
- У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
- Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.
Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
- Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такая фраза поможет запомнить: «плюс на минус есть минус, и минус на плюс есть минус».
- Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет фраза: «минус на минус есть плюс».
- Правило умножении произвольного рационального числа на нуль: a * 0 = 0 или 0 * a = 0. Докажем это свойство.
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a – b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Примеры:
- π = 3,1415926…
- √2 = 1,41421356…
- e = 2,71828182…
- √8 = 2.828427…
- -√11= -3.31662…
Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
- результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
- результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
- результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
- результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
- Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
- Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
- Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Если два числа отличаются друг от друга знаком — их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак «плюс» обычно не пишут, и если перед числом нет никакого знака, значит оно положительное. Числа, перед которыми стоит знак «минус», называют отрицательными.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или ???? (число пи) нельзя назвать рациональными числами.
Вот и разобрались! А если не совсем — приходите на увлекательные уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Никаких скучных учебников: ребенка ждут интерактивные занятия, математические комиксы и учителя, которые никогда не оставят в беде.
Источник