Какими свойствами обладает сумма векторов

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Определение 1

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Определение 2

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Определение 3

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Определение 4

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Определение 5

Исходные данные: векторы a→ и b→ . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор AB→, равный вектору а→; из полученной точки undefined – вектор ВС→, равный вектору b→. Соединив точки undefined и C, получаем отрезок (вектор) АС→, который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

– для неколлинеарных векторов:

Сложение двух векторов

– для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение двух векторов

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a→; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b→; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB→ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Сложение нескольких векторов

Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a→и b→есть сумма векторов a→ и – b→.

Умножение вектора на число

Определение 8

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k, необходимо учитывать следующие правила:
– еслиk>1, то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
– если 0<k<1, то это число приведет к сжатию вектора в 1k раз;
– если k<0, то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
– если k=1, то вектор остается прежним;
– если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a→и число k=2;
2) вектор b→и число k=-13.

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Умножение вектора на число

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a→, b→, c→и произвольные действительные числа λ и μ.

Свойство коммутативности: a⇀+b→=b→+a→ .
Свойство ассоциативности: (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→) .
Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0→ ⃗). Это очевидное свойство: a→+0→=a→
Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1·a→=a→. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
Любой ненулевой вектор a→ имеет противоположный вектор -a→ и верным является равенство: a→+(-a→)=0→. Указанное свойство – очевидное.
Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a→ = λ · ( µ·a→ ). Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a→ = λ ·a→ + µ · a→.
Второе распределительное свойство: λ · (a→ +b→) = λ ·a→ + λ · b→ .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

Задача: упростить выражение a→-2·(b→+3·a→)
Решение
– используя второе распределительное свойство, получим: a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·(3·a→)
– задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a→-2·b→-2·(3·a→)=a→-2·b→-(2·3)·a→=a→-2·b→-6·a→
– используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые:a→-2·b→-6·a→=a→-6·a→-2·b→
– затем по первому распределительному свойству получаем:a→-6·a→-2·b→=(1-6)·a→-2·b→=-5·a→-2·b→Краткая запись решения будет выглядеть так:a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·3·a→=5·a→-2·b→
Ответ: a→-2·(b→+3·a→)=-5·a→-2·b→

Читайте также: Длина это какое свойство

Источник

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу – его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $overline{a}↑↑overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $overline{a}↑↓overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов $overline{a+b}$ будем называть вектор $overline{c}=overline{AC}$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $overline{AB}=overline{a}$, далее от точки $B$ отложем $overline{BC}=overline{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора $overline{a}$ на $k∈R$ будем называть вектор $overline{b}$ который будет удовлетворять условиям:

$|overline{b}|=|k||overline{a}|$;
$overline{a}↑↑overline{b}$ при $k≥0$ и, $overline{a}↑↓overline{b}$ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$:

Коммутативность сложения векторов:
$overline{α}+overline{β}=overline{β}+overline{α}$
Ассоциативность трех векторов по сложению:
$(overline{α}+overline{β})+overline{γ}=overline{α}+(overline{β}+overline{γ})$
Сложение с нулевым вектором:
$overline{α}+overline{0}=overline{α}$
Сложение противоположных векторов
$overline{α}+(overline{-α})=overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и чисел $a$ и $b$.

$a(overline{α}+overline{β})=aoverline{α}+aoverline{β}$
$overline{α}(a+b)=overline{α}a+overline{α}b$
$(ab)overline{α}=a(boverline{α})=b(aoverline{α})$
$1cdot overline{α}=overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

$2overline{AB}+(2overline{BC}+3overline{AC})$

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

$2overline{AB}+(2overline{BC}+3overline{AC})=(2overline{AB}+2overline{BC})+3overline{AC}$

Используя свойство умножения на число 1, получим:

$(2overline{AB}+2overline{BC})+3overline{AC}=2(overline{AB}+overline{BC})+3overline{AC}=2overline{BC}+3overline{AC}=5overline{AC}$

Ответ: $5overline{AC}$.

Источник

Содержание:

Действия над векторами
Свойства операции сложения:
Свойства умножения вектора на число:
Свойства скалярного произведения:
Свойства векторного произведения:
Свойства смешанного произведения:

В данной теме мы подытожим раздел векторы, опишем все действия, которые
можно совершать над векторами и какими свойствами они обладают.

Действия над векторами

Определение

Вектором называется направленный отрезок $overline{A B}$ ,
где точка $A$ – начало, точка
$B$ – конец вектора.

Суммой $overline{a}+overline{b}$ векторов
$overline{a}$ и
$overline{b}$ называют такой третий вектор
$overline{c}$, начало которого совпадает с началом
$overline{a}$, а конец – с концом
$overline{b}$ при условии, что конец вектора
$overline{a}$ и начало вектора
$overline{b}$ совпадают.

Свойства операции сложения:

1 $overline{a}+overline{b}=overline{b}+overline{a}$ – коммутативность

2 $(overline{a}+overline{b})+overline{c}=overline{a}+(overline{b}+overline{c})$ – ассоциативность

3 $overline{a}+overline{0}=overline{a}$

4 $overline{a}+(-overline{a})=overline{0}$

Определение

Разностью $overline{a}-overline{b}$ векторов
$overline{a}$ и
$overline{b}$ называется вектор $overline{c}$
такой, что выполняется условие: $overline{b}+overline{c}=overline{a}$.

Произведением $alpha overline{a}$ вектора
$overline{a}$ на число
$alpha$ называется вектор
$overline{b}$, удовлетворяющий условиям:

$overline{b} | overline{a}$
$|overline{b}|=|alpha||overline{a}|$
$overline{a} uparrow uparrow overline{b}$, если
$alpha>0$,
$overline{a} uparrow downarrow overline{b}$, если
$alpha lt 0$.

Свойства умножения вектора на число:

1 $(alpha pm beta) overline{a}=alpha overline{a} pm beta overline{a}$

2 $alpha(overline{a} pm overline{b})=alpha overline{a} pm alpha overline{b}$

3 $alpha(beta overline{a})=(alpha beta) overline{a}=beta(alpha overline{a})$

4 $1 cdot overline{a}=overline{a}$

5 $-1 cdot overline{a}=-overline{a}$

6 $0 cdot overline{a}=overline{0}$

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними:

$$bar{a} bar{b}=bar{a} cdot bar{b}=(bar{a}, bar{b})=|bar{a}||bar{b}| cos (bar{a}, bar{b})$$

Свойства скалярного произведения:

1 $(overline{a}, overline{b})=(overline{b}, overline{a})$ – симметричность.

2 $(overline{a}, overline{a})=|overline{a}|^{2}$. Обозначается
$(overline{a}, overline{a})=overline{a}^{2}$ и называется скалярный квадрат.

3 Если $overline{a} neq overline{0}$, то $(bar{a}, bar{b})=|bar{a}| cdot Пр_{bar{a}} bar{b}$

4 Если $overline{a} neq overline{0}$ и $overline{b} neq overline{0}$ и
$(overline{a}, overline{b})=0$, то $overline{a} perp overline{b}$. Верно и обратное утверждение.

5 $(overline{a}+overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{c})+(overline{b}, overline{c})$

6 $(lambda overline{a}, overline{b})=lambda(overline{a}, overline{b})$

7 $(alpha overline{a}+beta overline{b}, gamma overline{c}+delta overline{d})=alpha gamma(overline{a}, overline{c})+alpha delta(overline{a}, overline{d})+beta gamma(overline{b}, overline{c})+beta delta(overline{b}, overline{d})$

Определение

Векторным произведением ненулевых векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ называется вектор $overline{c}$,
обозначаемый символом $[overline{a}, overline{b}]$ или
$overline{a} times overline{b}$, длина которого
$|bar{c}|=|bar{a}||bar{b}| sin (bar{a}, bar{b})$.

Свойства векторного произведения:

1 $[overline{a}, overline{b}]=overline{0}$, тогда и только тогда, когда
$overline{a} | overline{b}$

2 $[overline{a}, overline{b}]=-[overline{b}, overline{a}]$

3 Модуль векторного произведения $|[overline{a}, overline{b}]|$
равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах $overline{a}$ и
$overline{b}$ (рис. 2), т.е.

$$S=|[bar{a}, bar{b}]|=|bar{a}||bar{b}| sin (bar{a}, bar{b})$$

4 $[lambda overline{a}, overline{b}]=[overline{a}, lambda overline{b}]=lambda[overline{a}, overline{b}]$

5 $left[overline{a}_{1}+overline{a}_{2}, overline{b}right]=left[overline{a}_{1}, overline{b}right]+left[overline{a}_{2}, overline{b}right] ;left[overline{a}, overline{b}_{1}+overline{b}_{2}right]=left[overline{a}, overline{b}_{1}right]+left[overline{a}, overline{b}_{2}right]$

Определение

Смешанным произведением трех векторов $overline{a}$,
$overline{b}$, $overline{c}$
называется число, равное скалярному произведению вектора $overline{a} times overline{b}$
на вектор $overline{c}$: $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=([overline{a}, overline{b}], overline{c})$

Свойства смешанного произведения:

1 $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a},[overline{b}, overline{c}])$

2 $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{b}, overline{c}, overline{a})=(overline{c}, overline{a}, overline{b})=-(overline{b}, overline{a}, overline{c})=-(overline{c}, overline{b}, overline{a})=-(overline{a}, overline{c}, overline{b})$

3 Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=0$

4 Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда $(overline{a}, overline{b}, overline{c})>0$.
Если же $(overline{a}, overline{b}, overline{c}) lt 0$, то векторы $overline{a}$, $overline{b}$ и $overline{c}$ образуют левую тройку векторов. lt /p> lt p>5 $(lambda overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, lambda overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b}, lambda overline{c})=lambda(overline{a}, overline{b}, overline{c})$

6 $left(overline{a}_{1}+overline{a}_{2}, overline{b}, overline{c}right)=left(overline{a}_{1}, overline{b}, overline{c}right)+left(overline{a}_{2}, overline{b}, overline{c}right)$

7 $left(overline{a}, overline{b}_{1}+overline{b}_{2}, overline{c}right)=left(overline{a}, overline{b}_{1}, overline{c}right)+left(overline{a}, overline{b}_{2}, overline{c}right)$

8 $left(overline{a}, overline{b}, overline{c}_{1}+overline{c}_{2}right)=left(overline{a}, overline{b}, overline{c}_{1}right)+left(overline{a}, overline{b}, overline{c}_{2}right)$

9 $([overline{a}, overline{b}], overline{c})=overline{b}(overline{a}, overline{c})-overline{a}(overline{b}, overline{c}) ;(overline{a},[overline{b}, overline{c}])=overline{b}(overline{a}, overline{c})-overline{c}(overline{a}, overline{b})$

10 Тождество Якоби: $(overline{a},[overline{b}, overline{c}])+(overline{b},[overline{c}, overline{a}])+(overline{c},[overline{a}, overline{b}])=0$

Читать дальше: примеры решения задач с векторами.

Источник

Главная
Справочник
Геометрия
Вектора
Сложение и вычитание векторов

Векторы: ( vec{a} ), ( vec{b} ), ( vec{c} ), ( vec{u_1} ), ( vec{u_2},;ldots; )
Нулевой вектор: ( vec{0} )
Координаты векторов: ( {X_1} ), ( {Y_1} ), ( {Z_1} ), ( {X_2} ), ( {Y_2} ), ( {Z_2} )

Определение 1 Если точка ( A ) начала какого-либо вектора ( overrightarrow{a} ), то говорят, что вектор ( overrightarrow{a} ) отложен от точки ( A ) (рис. 1).

сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow{a} ).

Существование: Имеем два следующих случая:

Вектор ( overrightarrow{a} ) – нулевой.
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow{KK} ).
Вектор ( overrightarrow{a} ) не является нулевым.
Пусть точка ( A ) является началом вектора ( overrightarrow{a} ), а точкой ( B ) – конец вектора ( overrightarrow{a} ). Проведем через точку ( K ) прямую ( b ) параллельную вектору ( overrightarrow{a} ). Будем откладывать на прямой отрезки ( left|KLright|=|AB| ) и ( left|KMright|=|AB| ). Рассмотрим векторы ( overrightarrow{KL} ) и ( overrightarrow{KM} ). Из этих двух векторов нужный нам вектор — вектор, сонаправленный с вектором ( overrightarrow{a} ) (рис.2)

Какими свойствами обладает сумма векторов

Рисунок 2.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Суммой двух векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называется третий вектор ( vec{c} ), проведенный из начала ( vec{a} ) к концу ( vec{b} ), если начало вектора ( vec{b} ) совпадает с концом вектора ( vec{a} ).

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

( vec{c} = vec{a} + vec{b} )

сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника

Суммой нескольких векторов ( vec{a_1} ),( vec{a_2} ), ( vec{a_3},;ldots ) называется вектор ( vec{c} ), получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

( vec{c} = vec{a_1} + vec{a_2} + vec{a_3} + ldots + vec{a_n} )

сумма нескольких векторов

Коммутативный закон сложения
( vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a} )

Ассоциативный закон сложения
( left( {vec{a} + vec{b}} right) + vec{c} = vec{a} + left( {vec{b} + vec{c}} right) )

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec{a} + vec{b} = left( {{X_1} + {X_2},{Y_1} + {Y_2},{Z_1} + {Z_2}} right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow{a} ) выполняется равенство
[ overrightarrow{a}+overrightarrow{0}=overrightarrow{a} ]
Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство
[ overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC} ]

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

сумма нескольких векторов

Разность векторов. Вычитание векторов

Разностью двух векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называется вектор ( vec{c} ) при условии:
( vec{c} = vec{a} – vec{b} ), если ( vec{c} + vec{b} = vec{a} )

Разность векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) равна сумме вектора ( vec{a} ) и противоположного вектора ( -vec{b} ):
( vec{a} – vec{b} = vec{a} + left( -vec{b} right) )

вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec{a} – vec{a} = vec{0} )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec{0} right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec{a} – vec{b} = left( {{X_1} – {X_2},{Y_1} – {Y_2},{Z_1} – {Z_2}} right) )

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow{a } ) и действительное число ( k ).

Определение Произведением вектора ( overrightarrow{a } ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow{b } ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow{b } ) равна ( left|overrightarrow{b }right|=left|kright||overrightarrow{a }| );
Векторы ( overrightarrow{a } ) и ( overrightarrow{b } ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow{b }=koverrightarrow{a } ).

Пусть даны векторы ( overrightarrow{a} ) и ( overrightarrow{b} ). Построить вектор ( overrightarrow{a}-overrightarrow{b} ).

Построим произвольную точку ( O ) и отложим от нее векторы ( overrightarrow{OA}=overrightarrow{a} ) и ( overrightarrow{OB}=overrightarrow{b} ). Соединив точку ( B ) с точкой ( A ), получим вектор ( overrightarrow{BA} ).

Какими свойствами обладает сумма векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

[ overrightarrow{OB}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{OA} ]

То есть

[ overrightarrow{b}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{a} ]

Из определения 2, получаем, что

[ overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA} ]

( overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA} ).

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Дан прямоугольный параллелепипед ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ). Доказать, что ( overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA_1}=overrightarrow{AC_1} )

Какими свойствами обладает сумма векторов

Воспользуемся свойством правила треугольника ( overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC} ), получим:

[ overrightarrow{AC_1}=overrightarrow{AD}+overrightarrow{DC}+overrightarrow{CC_1} ]

Так как ( overrightarrow{DC}=overrightarrow{AB}, overrightarrow{CC_1}=overrightarrow{AA_1} )

То есть

[ overrightarrow{AC_1}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA_1} ]

ч. т. д.

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Вектор – это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление.
Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат
Декартовы координаты – система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей.
Произведением вектора u≠0 на число λ≠0 называется вектор w, модуль которого равен |λ||u|, направление которого совпадает с вектором u при λ>0 и противоположно ему при λ
Скалярным произведением векторов u и v называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
Векторным произведением векторов u и v называется третий вектор w, модуль которого равен произведению модулей векторов u и v на синус угла θ между ними и перпендикулярен им.
Смешанным произведением трех векторов u, v и w называется скалярное произведение вектора u на векторное произведение векторов v и w

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
Алгебраическая сумма электрических зарядов в замкнутой системе остается постоянной.
Создать бесплатно пароль любой длины и уровня сложности для ваших приложений, аккаунтов, соц. сетей, паролей к Windows, зашифрованным архивам и т.д.
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.
Конвертер для перевода любого текста (не только кириллицы) в Юникод.

Источник