Какими свойствами обладает свойство умножения дробей

• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить  25  на  4  и получить  100,  а уже потом умножить  100  на  15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a – b) = m · a – m · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a – b) · m = a · m – b · m.

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (a – b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · a – m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · a – m · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (a – b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Части и их виды

В математике существуют различные виды дробных частей числа. Их применение и свойства также разнятся:

1. Десятичные. Подобные дроби записывают без знаменателя, а значение каждой цифры в ряду зависит от её месторасположения. При этом слева направо записывают целую часть и отделяют запятой, а после неё в правой части стоит столько цифр, сколько нулей имеет единица в своём знаменателе при записи в форме обыкновенной. Цифры дробной части, расположенные в правой части, получили название десятичные знаки.
2. Бесконечные. В конечной десятичной форме за запятой следует определённое число десятичных знаков. Бесконечной периодической десятичной принято считать такую, в которой с определённого знака начинается повтор цифры или группы цифр в одинаковой последовательности. Такая группа получила название «период бесконечной периодической десятичной дроби» и обозначается при помощи круглых скобок. Период не может состоять из цифр 0 и 9. Бесконечные десятичные дроби подразделяют на периодические и непериодические.
3. Периодические подразделяют на смешанные и чистые. Если период следует сразу за запятой, её называют чистой. Если же он начинается не сразу, а после некоторого количества различных цифр, она называется смешанной.
4. Непериодической принято считать бесконечную десятичную долю, не имеющую признаков периодической.
5. Смешанные записывают в виде целого числа и правильной дроби и считают её суммарно. Любое из рациональных чисел можно записать в подобной форме.
6. Чистые — в которых есть только числитель и знаменатель.
7. Неправильные. Неправильность проявляется, если числитель больший или равен знаменателю. Если же числитель равен знаменателю, она равна единице.
8. Несократимые. Несократимой принято считать дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Единственным общим делителем числителя и знаменателя в таком случае является единица.
9. Обыкновенные. Число, которое является частью единицы или несколькими её частями.
10. Правильные, если числитель меньше знаменателя.
11. Рациональные. Это такие дроби, в которых числитель и знаменатель являются многочленами.

Роль в современной жизни людей

Доли есть в танце и кулинарии, в определении временных отрезков, в медицине и фармакологии, в строительстве и при нумерации домов, в химии и географии, в музыке, спорте и рисовании, в юридической деятельности и парикмахерском деле. Их используют даже в космосе при расчёте формул во время космического зондирования.

Немаловажную роль дробные части играют в математике. Математика — точная наука о количественных отношениях и пространственных формах. Она включает в себя множество разделов и тем. Понятие дроби принадлежит к полю рациональных чисел.

Рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, где числитель — это целое, а знаменатель — натуральное. Своё название рациональные числа унаследовали от латинского слова «ratio», что в переводе означает соотношение или деление.

Немного истории

Многолетние исследования в области истории и математики свидетельствуют, что дробные числа появлялись у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Их появление напрямую связано с практическими потребностями человека.

В то время и в тех ситуациях, где нужно сосчитать предметы, произвести деление, измерить их массу и объём, появление частей было неизбежно. Первой частью, которую стали пользоваться люди, была половина, чуть позже появилась треть.

Различные свойства

Все действия с дробными частями производятся согласно свойствам. Они едины и их изучение включено в школьную программу обучения:

1. Сложение и вычитание. Чтобы произвести сложение или вычитание двух дробей, имеющих одинаковый знаменатель, необходимо сложить или вычесть их числители. Если необходимо произвести умножение дробей с разными знаменателями, нужно привести их к общему, а уже после этого складывать или вычитать числители.
2. Умножение. При умножении одной обыкновенной дроби на другую необходимо перемножить между собой числители и знаменатели. Первое произведение является числителем, а второе-знаменателем. Свойство распространяется на умножение дробей, имеющих как разные знаменатели, так и одинаковые. Выполняя умножение, следует сокращать числа, стоящие в числителе лишь со знаменателем.
3. Если необходимо умножить дробь на целое число, достаточно умножить числитель, а знаменатель оставить прежним.
4. Умножая десятичные доли, стоит лишь перемножить числа, не придавая значения запятым, а получив результат, отделить запятой справа налево количество цифр, какое следует за запятой в двух множителях суммарно. Если полученный результат насчитывает меньшее количество цифр, чем нужно отделить запятой, впереди приписывают недостающие нули. При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на количество знаков, равное количеству нулей в целом числе.
5. Произведение, полученное в результате умножения рациональных равно дроби, числитель которой равен полученному произведению числителей, а знаменатель результату, полученному при перемножении знаменателей.
6. Умножая смешанные дроби, нужно представить их в виде неправильных, а уже после выполнить перемножение согласно свойству умножения обыкновенных.
7. Для умножения смешанной дроби на целое число поступают так же, как и со смешанными, а затем умножают её на число либо отдельно умножают целую и дробную части на целое.
8. Деление. Чтобы произвести действие деления, следует первую из них умножить на обратную ко второй.
9. Сравнение. При сравнении следует прежде всего привести их к единому знаменателю, а после сравнить числители. Больший числитель является признаком большего значения.
10. Основное свойство. Если числитель и знаменатель дроби умножать либо делить на одно и то же число, величина её остаётся неизменной.

Незаменимые помощники в вычислениях

Для выполнения заданий на умножение дробей онлайн и прочими действиями с ними есть специальное приложение-калькулятор. С его помощью можно производить вычисления с обыкновенными, десятичными и смешанными дробями. Кроме этого, подобное приложение используют, чтобы править уже выполненные ранее задачи. Если по какой-либо причине человек не умеет выполнять подобные действия, научиться им вполне можно, используя видеоуроки.

С самого раннего детства, когда малыша приучают делиться и на протяжении всей жизни человек, так или иначе, сталкивается с долями. Научное понимание их значения и свойств он получает в школе начиная с пятого класса, а уж впоследствии принимает решение, совершенствовать ли знания или довольствоваться имеющимися.