Какими свойствами обладает выпуклый четырехугольник
Выпуклый четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.
…
Как видно, определение довольно легко запоминающееся.
Выпуклый четырехугольник
Основные свойства и виды
К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:
- параллелограмм;
- квадрат;
- прямоугольник;
- трапеция;
- ромб.
Это интересно: что микроэкономика изучает, кратко об основателях и основах науки.
Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:
На рисунке изображена выпуклая трапеция. Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка [AB]. Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.
Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?
Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым. Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.
Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.
Это интересно: титульный лист проекта — образец, как правильно оформляется?
В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам. Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.
Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:
На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.
Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника
Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.
Итак, известны основные признаки и свойства:
- сумма углов четырехугольника равна 360 градусам;
- диагонали фигур пересекаются в одной точке.
Далее рассмотрим каждый четырехугольник по отдельности.
Прямоугольник. Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название — прямоугольник.
Квадрат, тот же параллелограмм, но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.
Трапеция — очень интересная фигура. Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.
Ромб — не менее интересная фигура. Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.
Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.
Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.
Виды выпуклых четырехугольников
Источник
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)
Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Виды четырехугольников: | |||
|  | ||
|  | ||
|  | ||
|  | ||
|  | ||
Свойства произвольных четырехугольников: | |||
|  | ||
Свойства параллелограмма: | |||
|  | ||
Свойства ромба: | |||
|  | ||
Свойства прямоугольника: | |||
|  | ||
Свойства квадрата: | |||
|  | ||
Свойства трапеции: | |||
|  | ||
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
Free xml sitemap generator
Источник
Статья поможет разобраться в свойствах и видах выпуклых четырехугольников. Научит отличать их от невыпуклых фигур. Вы узнаете, как определить, равны фигуры друг другу или нет, найдете ссылки на подробные доказательства всех пунктов равенства.
Что такое выпуклый четырехугольник
Определение
Это почти любой знакомый нам четырехугольник. Потому что в обычной общеобразовательной школе изучают только выпуклые фигуры.
Основные свойства
Для начала проверьте наличие четырех вершин, из которых три не лежат на одной прямой. Также должно быть четыре отрезка, которые эти вершины последовательно соединяют. Если все это есть, значит перед нами четырехугольник.
Дальше нужно отличить выпуклый от невыпуклого. Сделать это очень легко – достаточно просто посмотреть на данную вам фигуру: вся она должна быть расположена с одной стороны от любой из своих сторон. На рисунке ниже видно, что для невыпуклой фигуры это условие невыполнимо.
Источник: shkolkovo.net/
Виды выпуклых прямоугольников
Существуют две большие группы.
1 вид — параллелограммы:
- квадрат,
- прямоугольник,
- ромб,
- параллелограмм.
2 вид — трапеции:
- произвольная,
- прямоугольная,
- равнобедренная.
Свойства диагоналей, признаки выпуклости
Можно сказать, что это, за небольшим исключением, одно и то же, поэтому объединим их в один блок.
1 свойство
Пересечение всех диагоналей.
Примечание
Точка пересечения должна быть общая. Если хотя бы одна диагональ не пересекается с остальными в одной точке, то этот четыреугольник невыпуклый.
В основе этого свойства лежит соответствующая теорема, но здесь мы ее подробно не рассматриваем.
2 свойство
Любая из диагоналей разделит четырехугольник на 2 треугольника. Можно воспользоваться рисунками, данными в первом блоке статьи, и мысленно провести одну диагональ в каждой из фигур. Результат будет подтверждением написанного в этом пункте.
Еще один признак выпуклости
Если сложить градусные меры всех углов фигуры, получится величина, равная 360º.
Признаки равенства
Выпуклые четырехугольники равны, если у них соответственно равны:
- четыре стороны и один угол;
- три стороны и два угла между ними;
- три стороны и два угла, которые не лежат между этими сторонами;
- три стороны и два противолежащих угла;
- три угла и две стороны между ними;
- три угла и две смежные сороны, которые не лежат между этими углами;
- три угла и две смежные стороны, причем одна из них лежит между этими углами;
- фигуры равны, если площадь одной равна площади другой.
Подробные доказательства по каждому пункту с иллюстрациями можно найти здесь: https://yadi.sk/i/V0X_9c1DY1Wehg
https://yadi.sk/i/NFnvRwWep3TwKg https://yadi.sk/i/LyoMWkB872mcSQ
Сумма квадратов диагоналей
Если сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов всех сторон фигуры равны, то это параллелограмм. Это свойство относится ко всем видам параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник, собственно параллелограмм).
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Источник
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырехугольники бывают выпуклые (ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).
В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.
Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C, B и D.
Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:
S=12d1d2⋅sinφ
где d1 и d2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).
Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.
Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
- Противолежащие стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d12+d22=2(a2+b2)
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
S=a⋅ha=b⋅hb
Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.
Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.
S=a⋅b⋅sinα
Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
S=12⋅d1⋅d2⋅sinφ
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
- Сохраняются все свойства параллелограмма.
Площадь ромба можно найти по трём формулам.
S=a⋅h
Как произведение стороны ромба на высоту ромба.
S=a2⋅sinα
Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.
S=12⋅d1⋅d2
Как полупроизведение диагоналей ромба.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90°.
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Сохраняются все свойства параллелограмма.
Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:
S=a⋅b
Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.
S=12⋅d2⋅sinφ
Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Сохраняет свойства ромба.
- Сохраняет свойства прямоугольника.
Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:
S=a2
Как квадрат стороны.
S=d22
Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.
BC и AD – основания, AB и CD – боковые стороны трапеции ABCD.
Свойства трапеции:
сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
∠A+∠B=180°
∠C+∠D=180°
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m=a+b2
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
S=a+b2⋅h=m⋅h
Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.
S=12d1⋅d2⋅sinφ
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны
Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками
Скачать домашнее задание к уроку 4.
Источник
Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:
∠A < ∠B+∠C+∠D, ∠B < ∠A+∠C+∠D,
∠C < ∠A+∠B+∠D, ∠D < ∠A+∠B+∠D.
Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:
a < b+c+d, b < a+c+d,
c < a+b+d, d < a+b+c.
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:
Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:
Если M, N, P, Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а R, S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.
Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD. Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;
SABCD = 2SMNPQ .
Отрезки MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.
В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.
Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:
MG=GP, NG=GQ, RG=GS .
Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
MP2+ NQ2+ RS 2 = ¼(AB2+BC2+CD2+AD2+AC2+BD2).
Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:
SABCD = MP·NQ·sinβ.
Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.
Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.
Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:
a+c = b+d.
Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:
a+c ≥ 4r, b+d ≥ 4r.
Площадь описанного четырёхугольника:
S = pr,
где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.
Площадь описанного четырёхугольника:
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:
AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN.
Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то
∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD=180°.
Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c и AD=d верны соотношения:
Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.
Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:
∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:
Площадь вписанного четырёхугольника:
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.
У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.
Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:
Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:
AB||CD, BC||AD.
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:
AB=CD, BC=AD;
∠A=∠C, ∠B=∠D.
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:
∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:
AO=OC; BO=OD.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:
∠ABC=∠CDA; ∠ABD=∠CDB.
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:
SΔABO=SΔBCO=SΔCDO=SΔADO.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
e2+f2 = a2+b2+a2+b2 = 2(a2+b2).
Признаки параллелограмма:
- Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
- Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
- Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
- Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:
ha = b·sin γ; hb = a·sin γ.
Площадь параллелограмма можно определить:
- через его сторону и высоту, проведённую к ней:
S = aha = bhb;
- через две его стороны и угол между ними:
S = ab·sin γ.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:
AB=BC=CD=AD.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:
AC⊥BD;
∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB; ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.
В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:
- через высоту ромба: