Какими свойствами обладают главные центральные оси
Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.
При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент
может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать и ; для них
Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.
Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.
В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:
или
откуда:
(1) |
Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .
Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить
(2) |
Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .
Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):
Заменяя здесь из формулы (1) дробь на
получаем
(3) |
К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).
За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и через , и . В результате получаем:
По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:
Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , и после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции и по формулам (14.18).
Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.
Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси (Рис.2), наклоненной к под углом :
Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:
Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.
Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.
Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.
Рис.3. Пример расчета моментов инерции.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:
Центробежный момент инерции относительно осей и равен:
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:
Моменты инерции относительно осей и равны:
Центробежный момент инерции равен:
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться величина
Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль. Эта производная равна:
Подставляя в написанное выражение и приравнивая его нулю, получаем:
отсюда
Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то
Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если
то
Следовательно, главные центральные оси инерции это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.
Дальше…
Источник
Понятие о центре масс механической системы.
Центр масс механической системы (т. С)– это геометрическая точка в пространстве, положение которой определяется по формулам:
, (1)
(2)
Здесь –радиус–векторы, определяющие соответственно положение центра масс механической системы (т. С) и положение материальных точек или центры тяжести k–ых тел механической системы;
–координаты, определяющие положение центра масс механической системы;
–координаты, определяющие положение материальных точек или центры тяжести тел механической системы;
–масса материальной точки или тела;
–масса всей механической системы .
Следует отметить, что понятие центра масс механической системы является более общим, чем понятие центра тяжести, так как центр масс существует для любой механической системы, в то время как понятие центра тяжести может быть употреблено только в пределах планеты Земля.
Также существенным различием является то, что центр масс механической системы может изменять свое положение по отношению к элементам системы, а центр тяжести не может изменять своего положения по отношению к отдельным частям тела. Однако следует помнить, что понятия центра тяжести и центра масс совпадают для твердого тела, если твердое тело рассматривать как неизменяемую механическую систему.
Инерционные параметры твердого тела и механической системы.
При поступательном движении твердого тела мерой инерционных свойств является его масса.
При поступательном движении твердого тела и при движении механической системы мерой их инерционных свойств являются также моменты инерции. Наиболее часто используются понятия момента инерции относительно полюса– полярный момент инерции (Jo), момента инерции относительно оси–осевой момент инерции (Jx, Jy, Jz) и центробежные моменты инерции (Jxy, Jxz, Jyz).
Если механическая система представляет собой совокупность конечного числа взаимосвязанных материальных точек, то моменты инерции определяются по следующим формулам:
Здесь L–ось, относительно которой определяется момент инерции (может быть ).
Для определения моментов инерции твердого тела используются следующие формулы:
Здесь – символ интегрирования по объему.
Моменты инерции относительно начала отсчета и осей декартовой системы координат.
Изобразим k–ую материальную точку в произвольном положении. Ее положение в пространстве определяется с помощью радиус–вектора ( ) и трех координат ( ).
Тогда полярный момент:
Осевой момент инерции
Аналогично для других координатных осей
Если сложить осевые моменты инерции, то получим .
Момент инерции относительно оси, проходящей в заданном направлении.
Здесь – направляющие углы, – орт оси
Момент инерции
,
но , где
Тогда
Используя формулу , чтобы избавиться от выражений в скобках.
Оси инерции x1,y1,z1, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называются главными осями инерции. Если ось инерции проходит через центр масс механической системы (центр тяжести тела) , но она называется центральной осью инерции. Главная ось инерции, проходящая через центр масс, называется главной центральной осью инерции.
ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ
Если взять какую- либо точку 0 на теле и ось OL, проходящую через эту точку 0, то можно определить момент инерции относительно этой оси – YOL. При изменении направления оси OL (cos , cos , cos в формуле (1)) будет изменяться момент инерции YOL=Y. Отложим на оси OL отрезок прямой OM= r = . Построим систему координат 0x1y1z1 . Обозначим координаты точки М через x1y1z1 , так как точка М принадлежит прямой OL, то
, , ,
где – углы определяющие направление оси OL. С учетом найденных направлений косинусов равенство (1) примет вид
(3)
Это уравнение замкнутой поверхности второго порядка. Для главной центральной оси инерции x1y1z1 равенство (3) имеет вид
(4)
Если ввести обозначения то равенство (4) можно записать следующим образом что соответствует каноническому уравнению эллипсоида. Поэтому поверхность, соответствующая равенствам (1) и (2) получила название эллипсоида инерции. Для эллипсоида инерции главные оси инерции являются осями симметрии. Моменты инерции относительно этих осей имеют экстремальные значения.
СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ
Теорема 1. Если механическая система ( твердое тело) имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центрально осью инерции.
Теорема 2. Если механическая система имеет относительно материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости является главной (но не центральной) осью инерции.
Теорема 3. Центральные моменты инерции, имеющие хотя бы один индекс главной оси инерции, равен нулю.
Теорема 4. Для любой точки, лежащей на главной центральной оси инерции, главные оси инерции, параллельны соответствующим главным центральным осям инерции.
рис 1.
Здесь Cx2, Cy12, Cz2 – главные центральные оси инерции.
Главные оси инерции 0x1 || Cx1*, 0y1 || Cy1*, 0z1 || Cz*
Теорема 5. (Теорема Шнейнера – Гюйгенса)
Момент инерции Yzмеханической системы (твердого тела) относительно центральной оси, параллельной данной, и произведение массы – М механической системы на кратчайшие расстояния между осями «d» в квадрате
Доказательство:
Рис 2.
Пусть 0z – произвольная ось инерции, 0z* – центральной оси инерции.
здесь ;
получаем ;
Так как yc = 0
Источник
Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида
При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения – центробежным моментом инерции.
Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида
Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида
где р – расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции – см4, мм4.
Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:
Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).
Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (хс,ус)> определяются из выражений:
где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).
Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.
Обратите внимание: координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.
Рис. 34. Схема к выводу зависимостей между моментами инерции при параллельном переносе осей
Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.
В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.
Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:
где а – угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным, если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.
Рис. 35. Схема к определению осевых моментов инерции при повороте координатных осей
Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:
При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.
Направление главных осей инерции можно определить так:
Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.
Рис. 36. Примеры обозначения главных осей
В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями, опуская слово «центральные».
Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.
Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.
Рис. 37. Сечения, у которых любая ось, проходящая через центр тяжести, является главной
Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.
В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.
Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой – минимален:
Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: Jy, тогда: Ju = Jxcos2a +Jy sin а = Jx.
Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:
гдeJxi, Jy„ Jxiyi-моменты инерции отдельных частей сечения.
NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.
Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.
Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:
Момент сопротивления имеет размерность мм3, см3.
Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.
Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.
В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у – ix и iy соответственно, которые определяются по следующим формулам:
Таблица 3
Источник