Какими свойствами обладают логарифмы
2 февраля 2017
- Скачать все формулы
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
- logax + logay = loga (x · y);
- logax − logay = loga (x : y).
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:
Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.
Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.
Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
- logaxn = n · logax;
-
-
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Задача. Найдите значение выражения: log7 496.
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:
[Подпись к рисунку]
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
[Подпись к рисунку]
В частности, если положить c = x, получим:
[Подпись к рисунку]
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
[Подпись к рисунку]
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
[Подпись к рисунку]
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
[Подпись к рисунку]
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
- n = logaan
-
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
[Подпись к рисунку]
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
- logaa = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
- loga 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.
Смотрите также:
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
- Как решать простейшие логарифмические уравнения
- Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
- Показательные функции в задаче B15
- Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов
Источник
Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.
- Что такое логарифм и как его посчитать
- Зачем логарифмам специальные обозначения
- Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
- 10 примеров логарифмов с решением
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.
и преобразовываем в
Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Приведем пример:
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:
А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Еще примеры:
Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Основные свойства логарифмов
Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:
Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.
Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
loga a = 1 – это логарифмическая единица.
Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:
loga 1 = 0 – логарифмический ноль.
Основное логарифмическое тождество
В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
Разберем применение тождества на примере:
Необходимо найти значение выражения
Сначала преобразуем логарифм
Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:
Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:
Сумма логарифмов. Разница логарифмов
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:
Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
Вынесение показателя степени из логарифма
Вынесение показателя степени из логарифма:
Переход к новому основанию
Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Разберем на примере.
Необходимо найти значение такого выражения
Для начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
10 примеров логарифмов с решением
1. Найти значение выражения
2. Найти значение выражения
3. Найти значение выражения
4. Найти значение выражения
5. Найти значение выражения
6. Найти значение выражения
Сначала найдем значение
Для этого приравняем его к Х:
Тогда изначальное выражение принимает вид:
7. Найти значение выражения
Преобразуем наше выражение:
Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 
8. Найти значение выражения
Так как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:
9. Найти значение выражения
Так как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
4 + 3 = 7
10. Найти значение выражения
Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:
Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.
Источник
- Основное логарифмическое тождество
- Свойства логарифмов
Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
О равенстве ax = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).
Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.
Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:
logaN = x,
то это равенство можно написать без знака логарифма
ax = N,
где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.
Оба равенства:
logaN = x и ax = N
выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:
x√ N = a или a =x√ N .
Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.
Основное логарифмическое тождество
Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.
alogaN = N.
Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q
logaN = q, значит aq = N.
Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение logaN, получим
alogaN = N.
Выражение alogaN = N называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов
Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:
a > 0 и a ≠ 1.
Логарифм единицы равен нулю.
loga1 = 0,
так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:
a0 = 1.
Логарифм числа равного основанию равен единице.
logaa = 1,
так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:
a1 = a.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
logaMN = logaM + logaN ,
где M > 0, N > 0.
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).
где M > 0, N > 0.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
loga(Nα) = α logaN ,
где N > 0.
Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.
| logaxN = | logaN | = | 1 | logaN , |
| x | x |
где N > 0, x ≠ 0.
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
| logax√ N = | logaN | = | 1 | logaN . |
| x | x |
Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.
| logax√ N = logaxN = | 1 | logaN . |
| x |
Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:
где N > 0, β ≠ 0.
Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.
где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.
Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.
logba · logab = 1.
Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.
Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.
logaN = logaxNx,
где N > 0, x ≠ 0.
Источник
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 24. Логарифм. Свойства логарифмов.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1. Определение логарифма.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Свойства логарифмов.
Глоссарий по теме
Логарифмом положительного числа 
по основанию 
, 
называется показатель степени, в которую надо возвести 
чтобы получить 
.
Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.
Основное логарифмическое тождество: 
Свойства логарифмов. При 
, 
справедливы равенства:
– логарифм произведения: 
;
– логарифм частного: 
;
– логарифм степени: 
.
Основная литература:
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.
Открытые электронные ресурсы:
https://fipi.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение 
имеет корень 5, т. к. 
значит 
, 
В уравнении 
число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.
Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.
Дадим определение логарифма.
Логарифмом положительного числа 
по основанию 
, 
называется показатель степени, в которую надо возвести 
чтобы получить 
.
Т. е. логарифм числа 
по основанию 
, 
есть некоторое число 
такое, что 
.
Пример 1.
, т. к. выполнены все условия определения:
1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3) 
.
Пример 2.
, т. к. выполнены все условия определения:
1) 
; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) 
.
Это действие называется логарифмированием.
Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.
Существует краткая запись определения логарифма: 
так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.
Пример 3.
(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)
Пример 4.
(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)
Решим несколько задач с использованием определения логарифма.
Задача 1. Вычислить 
.
Решение. Пусть 
тогда по определению логарифма 
Приведем левую и правую части к одному основанию. 27 = 33, 81 = 34, значит 
. Отсюда следует, что 
Задача 2. Вычислить 
.
Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) 
, 2) 
и основным логарифмическим тождеством: 
.
.
Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.
1. Логарифм произведения.
Логарифм произведения чисел 
по основанию 
равен сумме логарифма 
по основанию 
и логарифма
по основанию 
.
Пример 5.
2. Логарифм частного.
Логарифм частного чисел 
по основанию 
равен разности логарифма 
по основанию 
и логарифма
по основанию 
.
Пример 6.
3. Логарифм степени.
Логарифм числа 
по основанию 
равен произведению показателя 
и логарифма 
по основанию 
.
Пример 7.
Важно! Свойства выполняются при 
,
