Какими свойствами обладают противоположные грани параллелепипеда

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

основание;
грани;
ребра;
диагонали;
диагонали граней;
высота.

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

Чтобы запомнить все правила и определения, приходите заниматься математикой в онлайн-школу Skysmart. Ваш ребенок будет решать задачки в интерактивном формате и с заботливыми учителями, отслеживать прогресс в личном кабинете и гордиться своими успехами.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.

Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

На рисунке: ребро АА1 перпендикулярно основанию ABCD. АА1 перпендикулярна прямым АB и АD, которые лежат в плоскости основания

Свойства прямого параллелепипеда:

Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.

Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.

Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.

Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота
Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания
Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.

Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.

Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Применяем формулу:

d² = a² + b² + c²

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

d₁² = a² + b²

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.

Противолежащие грани параллельны друг другу.

Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.

У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.

Диагонали куба равны.

Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.

Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Объем куба через длину ребра a
V = a3
Площадь поверхности куба
S = 6a2
Периметр куба
P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a – длина, b – ширина, c – высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) – сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) – суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) – сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) – сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X – сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

D1B = √26
BB1 = 3
A1D1 = 4

Нужно найти длину ребра A1B1.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

По теореме Пифагора:
BD12 = DD12 + BD2
BD2 = BD12 – DD12
BD2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD2 = AD2 + AB2
AB2 = BD2 – AD2 = (√17)2 — 42 = 1
A1B1 = AB.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD2 = AB2+AD2
BD2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD12 = 52 + 25 = 77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

AC1= 15
C1D1 = 3
B1C1= 12

Вычислите длину ребра AA1.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Решить задачку по геометрии — дело нехитрое, а вот почувствовать момент, когда уже не параллелограмм, но еще не параллелепипед, надо уметь. Всем тонкостям, премудростям и фишкам вашего ребенка обучат на уроках математики в онлайн-школе Skysmart.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок и занимайтесь в удовольствие уже завтра.

Источник

Тетраэдр. Виды тетраэдров

Тетраэдр (четырёхгранник) — многогранник, гранями которого являются четыре треугольника (от греческого tetra — четыре и hedra — грань).

Рис. 1

У тетраэдра (4) грани, (4) вершины и (6) рёбер (Рис. 1).

Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные — боковыми гранями тетраэдра.

В зависимости от видов треугольников и их расположения выделяют разные виды тетраэдров.

В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:

– равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники;

– правильная треугольная пирамида — основание — равносторонний треугольник, все боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3);

– правильный тетраэдр, у которого все четыре грани — равносторонние треугольники (Рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

Свойство правильного тетраэдра:

из определения правильного многогранника следует, что все рёбра тетраэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.

Параллелепипед. Виды параллелепипедов

Параллелепипедом называется многогранник, у которого (6) граней — параллелограммы.

Рис. 4

У параллелепипеда, как отмечено, (6) граней, (8) вершин и (12) рёбер (Рис. 4).

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер — противоположными.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.

Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми рёбрами.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (Рис. 5).

Рис. 5

В зависимости от видов параллелограммов и их расположения выделяют разные виды параллелепипедов:

параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

У прямых параллелепипедов боковые грани — прямоугольники (Рис. 5),

у наклонных — параллелограммы (Рис. 4).

Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Рис. 6

Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда — три линейных размера: DA, DC, DD1 (Рис. 6).

Свойства параллелепипеда:
– противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

– Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

– Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда

Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Так как у тетраэдра (4) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7) или

четырёхугольник (Рис. 8).

Рис. 7 Рис. 8

У параллелепипеда (6) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9), четырёхугольник ( Рис. 10), пятиугольник (Рис. 11) или шестиугольник (Рис. 12).

При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:

1. если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая находится в этой плоскости.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.

3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

Пример:

Задача

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки (K), (M) и (N).

1. Проводим (MK), так как обе точки находятся в одной плоскости;

2. MK∩CC1=X — непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются;

3. проводим (XN), так как обе точки находятся в одной плоскости;

4. XN∩D1C1=P;

5. проводим (MP), так как обе точки находятся в одной плоскости;

6. через точку (N) в плоскости основания NL&par;MP, так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны;

7. соединяем (N) и (L) и получаем сечение (MPNLK).

Источник

Что такое параллелепипед?

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»?

Что за многогранник скрывается за этим словом?

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Так и есть. Читай статью и ты все поймешь!

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Смотри, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, асмежные.

Боковые ребра параллелепипеда равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Вот так:

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.
( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

( displaystyle Delta BAD) – прямоугольный, поэтому

( displaystyle B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}})

( displaystyle Delta BD{{D}_{1}}) – тоже прямоугольный!

Поэтому

( displaystyle B{{D}_{1}}^{2}=B{{D}^{2}}+D{{D}_{1}}^{2}),

Подставим:

( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})

Вывели формулу.

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}),

То есть

( displaystyle d=asqrt{3})

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна ( displaystyle 5sqrt{3}). Найти полную поверхность».

Решим ее.

Этот контент доступен после регистрации

Вы также получите доступ к 15 статьям YouClever без ограничений, видеоурокам и другим бесплатным материалам по тарифу “Репетитор”.

Пользуясь нашей формулой: ( displaystyle d=asqrt{3}), мы узнали, что ( displaystyle 5sqrt{3}=asqrt{3} ), то есть ( displaystyle a=5).

Значит полная поверхность – шесть площадей квадратов со стороной ( displaystyle a) -равна:

( displaystyle S=6cdot {{a}^{2}}=6cdot 25=150).

Видишь, как быстро? И ты применяй!

Определения:

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с ( displaystyle 6) гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого ( displaystyle 4) боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства:

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений.
( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

P.S. Последний бесценный совет ????

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
понять тему с помощью статей учебника YouClever;
набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Время услышать тебя!

Теперь ты знаешь все про параллелепипед и куб. Ты воспользуешься этим в решении многих задач стереометрии!

Считай, ты помог себе из будущего ????

А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши в комментариях ниже свое мнение об этой статье!

Помогла ли она тебе? Все ли было понятно?

А еще ты можешь задать любой вопрос. Мы ответим!

Успехов!

Источник