Какими свойствами обладают случайные погрешности измерений
Собрание уникальных книг, учебных материалов и пособий, курсов лекций и отчетов по геодезии, литологии, картированию, строительству, бурению, вулканологии и т.д.
Библиотека собрана и рассчитана на инженеров, студентов высших учебных заведений по соответствующим специальностям. Все материалы собраны из открытых источников.
Теоретические исследования и опыт измерений показывают, что случайные погрешности обладают следующими основными свойствами:
– при определенных условиях измерений, случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;
– малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще, чем большие.
– положительные погрешности встречаются так же часто, как и отрицательные;
– среднее арифметическое из всех случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений n стремится к нулю, т.е.
, (5.2)
где [ ] – обозначение суммы.
Формула (5.2) выражает свойство компенсации случайных погрешностей. Этим свойством обладает и сумма попарных произведений случайных погрешностей
, (i, j = 1, 2, 3 … n; i ¹ j). (5.3)
5.3 Характеристики точности измерений
Каждая погрешность в отдельности не может характеризовать точность измерений, поскольку она случайна. Нужна такая оценка, которая характеризует точность в среднем.
Общепринятой характеристикой точности является предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность
, (5.4)
где Δ1, Δ2,…, Δn – случайные погрешности измерений. Достоинством этой характеристики является ее устойчивость, независимость от знаков отдельных погрешностей и усиленное влияние больших погрешностей.
Теоретически строгим значением средней квадратической погрешности считают оценку, получаемую по формуле (5.4) при бесконечно большом числе измерений, то есть при n®¥. Такую строгое значение средней квадратической погрешности часто именуют термином стандарт.
На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений, отчего оценки, вычисленные по формуле (5.4) вследствие случайного характера погрешностей Δiотличаются от строгой оценки – стандарта. Средняя квадратическая погрешность определения m по формуле (5.4) приближенно равна .
Формула (5.4) находит применение при исследовании точности геодезических приборов и методов измерений, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины. Но обычно значение измеряемой величины заранее неизвестно. Тогда вместо формулы Гаусса пользуются формулой Бесселя (см. раздел 5.5), определяющей среднюю квадратическую погрешность по отклонениям результатов измерений от среднего.
В большинстве случаев погрешности измерений распределены по нормальному закону, установленному Гауссом. Это означает, что в интервал от –m до + m попадает 68,27% результатов повторных измерений одной и той же величины. В интервал от –2 m до +2 m попадает 95,45%, а в интервал от –3 m до +3 m попадает 99,73%.
Таким образом, вероятность того, что случайная погрешность превышает 2 m, равна 4,5%, а что она превышает 3 m – лишь 0,27%. Поэтому погрешности, большие 2 m, считают практически невероятными и относят к числу грубых погрешностей, промахов.
Величину 2 m называют предельной погрешностью и используют как допуск при отбраковке некачественных результатов измерений.
Dпред = 2 m.
В ряде случаев за предельно допустимую погрешность принимают величину 3 m.
Величины D, m, Dпред, выражаемые в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями.
Наряду с абсолютными применяются также и относительные погрешности, представляющие собой отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительную погрешность принято выражать в виде простой дроби с единицей в числителе, например
,
где l – значение измеряемой величины, а N – знаменатель дроби.
Относительные погрешности используют, например, когда точность результата измерения зависит от измеряемой величины. Так при одинаковой абсолютной погрешности двух измеренных линий точнее измерена та, длина которой больше.
Закрепленные
Понравившиеся
Источник
Любые измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Результаты геодезических измерений могут иметь погрешности трех видов: грубые, систематические и случайные.
Грубые погрешности получаются в результате просчетов и промахов при измерениях. Например, вместо правильного результата по мерной ленте 11 м при измерении остатка ошибочно можно отсчитать расстояние 9 м, если лента уложена в обратном направлении. Грубые погрешности обнаруживаются повторными измерениями. Поэтому контрольные измерения являются необходимыми для исключения грубых погрешностей.
Систематические погрешности имеют объективный характер и при измерениях их можно учесть путем введения поправок в результаты измерений. Источником систематических погрешностей являются неисправности в применяемых геодезических приборах и инструментах, их неточная установка при измерениях, влияние внешних факторов и т. д. Например, если при номинальной длине ленты в 20 м из результатов компарирования оказалось, что ее длина равна 20,03 м. Тогда при измерении этой лентой расстояния в 100 м мы допустим погрешность в 0,03 × 5 = 0,15 м. Поэтому в результат измерения необходимо ввести поправку за компарирование ленты.
Случайными погрешностями называют такие погрешности, размер и характер влияния которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Величину и знак случайных погрешностей заранее установить нельзя. Они неизбежны и сопровождают каждое измерение, так как измерение мы проводим только с такой точностью, которую можно достичь применяемыми при этом приборами. Избавить результаты измерений от случайных погрешностей полностью нельзя. Но на основании изучения их свойств можно вывести правила, как из ряда измерений получить наиболее надежные результаты и оценивать их точность. Этими вопросами занимается теория погрешностей измерений.
В теории погрешностей различают равноточные и неравноточные измерения. Равноточными называют измерения, выполненные в одинаковых условиях, приборами одинаковой точности, одинаковое число раз, наблюдателями одинаковой квалификации. Если одно из этих условий не соблюдается, то такие измерения будут неравноточными.
Свойства случайных погрешностей. Случайные погрешности можно определить как разность между измеренными и истинными значениями одной и той же величины. На основании теоретического и практического изучения многих рядов случайных погрешностей выведены их общие свойства:
1 При данных условиях случайные погрешности не могут превышать определенного предела.
2 Одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности равновозможны.
3 Меньшие по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.
4 Среднее арифметическое из случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины имеет тенденцию стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Принцип арифметической середины
Пусть произведены равноточные измерения l1, l2, … , ln одной и той же величины, истинное значение которой Х. Тогда можно вычислить n значений случайных погрешностей:
Δ1 = l1 – X;
Δ2 = l2 – X; (4.1)
………….
Δn = ln – X.
Складывая левые и правые части этих равенств, получим
Δ1 + Δ2 +…+ Δn = l1 + l2 +…+ ln – nX. (4.2)
В теории погрешности принято обозначать сумму величин через квадратные скобки, например:
Δ1 + Δ2 + … + Δn = [Δ]; l1 + l2 + … + ln = [l] и т. д.
При этих обозначениях равенство (4.2) примет вид
[Δ] = [l] – nX , откуда X = [l] / n – [Δ] / n. (4.3)
Согласно четвертому свойству случайных погрешностей величина [Δ] / n в равенстве (4.3) при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Следовательно, величина [l] / n при этих условиях будет приближаться к истинному значению Х. На основании этого арифметическую середину (среднее арифметическое из результатов измерений) принято считать наиболее надежным или вероятнейшим результатом из равноточных измерений одной и той же величины при любом числе измерений.
L = [l] / n = (l1 + l2 + l3 + … + ln) / n. (4.4)
Средняя квадратическая погрешность одного измерения.
Формулы Гаусса и Бесселя
В теории погрешностей точность измерений характеризуется средней квадратической погрешностью, которая была введена знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом (1777–1855 гг.) и обозначается через m:
______________________ ______
m = ± √ (Δ12 + Δ22 + .. + Δn2) / n = ± √ [Δ2] / n, (4.5)
где Δ1, Δ2, …, Δn – случайные погрешности;
n – число измерений.
Средняя квадратическая погрешность является надежным критерием для оценки точности измерений. Она даже при небольшом числе измерений достаточно устойчива и хорошо отражает наличие крупных случайных ошибок, которые по существу и определяют качество измерений.
Формула (4.5) применена для вычисления средней квадратической погрешности, когда известно истинное значение измеряемой величины. Эти случаи в практике весьма редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую середину. Получим формулу для вычисления средней квадратической погрешности при помощи уклонения отдельных результатов от арифметической середины по так называемым вероятнейшим погрешностям V.
Пусть l1, l2, …, ln – результаты равноточных измерений одной и той же величины, истинное значение которой Х, а арифметическая середина – L. Тогда можно вычислить n случайных или истинных погрешностей
Δi = li – X (4.6)
и n вероятнейших погрешностей
Vi = li – L. (4.7)
Сумма n равенству (4.7)
[V] = [l] – nL. (4.8)
Но, согласно равенству (4.4) nL = [l], поэтому
[V] = 0, (4.9)
т. е. сумма вероятнейших погрешностей всегда должна быть равна нулю.
Вычитая из равенства (4.6) равенство (4.7), получим
Δi – Vi = L – X. (4.10)
В правой части равенству (4.10) мы имеем случайную погрешность арифметической середины. Обозначим ее через ε. Тогда
Δi = Vi + ε. (4.11)
Возведем в квадрат равенство (4.11), возьмем их сумму и разделим ее на n:
[Δ2] / n = [V2] / n + nε2 / n + 2ε[V] / n. (4.12)
Левая часть этого равенства есть не что иное как m2. Последнее слагаемое правой части ввиду равенства (4.9) равно нулю.
m2 = [V2] / n + ε2. (4.13)
Случайную погрешность ε заменим ее средним значением, т. е. средней квадратической погрешностью арифметической середины. Ниже будет доказано, что средняя квадратическая погрешность арифметической середины
М 2 = ε 2 = m 2/ n. (4.14)
Тогда
m 2 – m2 / n = [V 2] / n или m 2(n – 1) / n = [V 2] / n,
откуда ___________
m 2 = [V 2] / (n – 1), или m = √ [V 2] / (n – 1). (4.15)
Формула (4.15) называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.
Кроме средней квадратической погрешности различают еще среднюю, вероятную и относительную погрешности.
Средней погрешностью (Θ) называют среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей т. е.
Θ = (|Δ1| + |Δ2| + … + |Δn| ) / n = [|Δ|] / n. (4.16)
В теории погрешности доказывается, что при n → ∞ Θ = 0,8 m, или m = 1,25Θ.
Иногда в прикладных вопросах пользуются вероятной погрешностью r. Вероятной погрешностью называют такое значение случайной погрешности в одном ряду равноточных измерений, по отношению к которой одинаково возможна погрешность как больше, так и меньше этого значения, по абсолютной величине. Для нахождения r все погрешности данного ряда располагают в порядке возрастания по абсолютной величине и выбирают то значение, которое занимает среднее положение, т. е. погрешностей меньше его столько же, сколько и больше. Вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением r = 2/3 m = 0,67 m или m = 1,5 r.
Как видно, m > Θ и m > r, что показывает, что средняя квадратическая погрешность лучше характеризует точность измерений, чем средняя и вероятная погрешности.
Оценку точности таких измеренных величин, как линии, площади и объемы часто производят с помощью относительной погрешности. Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к значению измеренной величины. Относительная погрешность записывается в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, показывающее какую долю измеряемой величины должна составлять допустимая погрешность. Например, длина стороны D = 150 м измерена с абсолютной погрешностью md = 0,05 м. Тогда относительная погрешность результата измерения составит md / D = 0,05 м / 150 м = 1 / 3000.
Величина 1 / 3000 означает, что на 3000 м расстояния может быть допущена погрешность в 1 м. Чем больше знаменатель относительной погрешности, тем выше точность измерений. Точность всех линейных измерений в геодезии всегда задается относительной погрешностью, которая приводится в соответствующих инструкциях и наставлениях по производству данного вида геодезических работ.
Источник
Изучением основных свойств и закономерностей действия погрешностей измерений, разработкой методов получения наиболее точного значения измеряемой величины и характеристик ее точности занимается теория погрешностей измерений. Излагаемые в ней методы решения задач позволяют рассчитать необходимую точность предстоящих измерений и на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и технологию измерений, а после проведения измерений получить наилучшие их результаты и оценить их точность. Математической основой теории погрешностей измерений явля-
ютсятеориявероятностейиматематическаястатистика.
Погрешности измерений разделяют по двум признакам: характеру их действия и источнику происхождения.
По характеру действия погрешности бывают грубые, систематические и случайные.
Грубыми называют погрешности, превосходящие по абсолютной величине некоторый установленный для данных условий измерений предел. Они происходят в большинстве случаев в результате промахов и просчетов исполнителя. Такие погрешности обнаруживают повторными измерениями, а результаты, содержащие их, бракуют и заменяют новыми.
Погрешности, которые по знаку или величине однообразно повторяются в многократных измерениях, называют систематическими. Влияние систематических погрешностей стремятся исключить из результатов измерений или ослабить тщательной проверкой измерительных приборов, применением соответствующей методики измерений, а также введением поправок в результаты измерений.
Случайными являются погрешности, размер и влияние которых на каждый отдельный результат измерения остаются неизвестными. Величину и знак случайной погрешности заранее установить нельзя. Однако случайные погрешности подчинены определенным вероятностным закономерностям, изучение которых дает возможность получить наиболее надежный результат и оценить его точность.
По источнику происхождения различают внешние и личные погрешности приборов. Погрешности приборов обусловлены несоблюдением положения соответствующих осей приборов.
Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней среды. Личные погрешности связаны с особенностями наблюдателя.
Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.
Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами.
35
1.При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.
2.Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.
3.Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.
4.Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать
так: lim([ ]/n) = 0, где [ ] — знак суммы, т.е. [ ] = 1 + 2 + з + … + n;
где п — число измерений.
Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т.е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из п измеренных значений данной величины. При бесконечно большом числе измерений lim([ l]/n) = X.
При конечном числе измерений арифметическая средина х — [l]/п содержит остаточную случайную погрешность, однако от точного значения Х измеряемой величины она отличается меньше, чем любой результат l непосредственного измерения. Это позволяет при любом числе измерений, если п > 1, принимать арифметическую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше п.
5.3. Средняя квадратическая, предельная и относительная погрешности
Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по сле-
дующей формуле: m = | 21 + 22 +U + 2n | = | [ | 2 ] | , | |
n | n | |||||
где п — число измерений данной величины.
Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, — арифметическую средину. Для этого случая средняя
36
квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по форму-
ле Бесселя m = | [δ 2 ] | , |
n −1 | ||
где δ — отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [δ] = 0.
Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность определяется по формуле
М = т/√п,
где т — средняя квадратическая погрешность одного измерения.
Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях, например длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае
средняя квадратическая погрешность одного измерения m = | [d 2 ] | , | ||||||
2n | ||||||||
а среднего результата из двух измерений М = | 1 | [d 2 ] | , | |||||
2 | n | |||||||
где d — разность двукратно измеренных величин; п — число разностей (двойных измерений).
В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется до-
пускаемым отклонением.
Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ±т; в интервал от 0 до ±2т попадает 95,4 %, а от 0 до ±3т — 99,7 % погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3m. На основании этого в качестве предельной погрешности пр для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т. е. пр = 3т. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают пр = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосходят пр, считают грубыми.
37
Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой
— единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при т1 = 2 см равна m1/l =1/5500, а относительная предельная погрешность при пр = 3т = 6 см,
пр/l = 1/1800.
5.4. Оценка точности результатов измерений
Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности.
1.Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической средины х = [l]/п.
2.Вычисляют отклонения δi, = li,- х каждого значения измеренной величины l1, l2, …, ln, от значения арифметической средины. Контроль вычис-
лений: [δ] = 0.
3.По формуле Бесселя вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения.
4.Вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической средины.
5.Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую погрешность каждого измерения и арифметической средины.
6.При необходимости подсчитывают предельную погрешность одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.
Внастоящее время при геодезических вычислениях используют вычислительную технику (ЭВМ), однако находят применение и различного рода таблицы и вычислительные номограммы.
Глава 6 . ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ДЛИН ЛИНИЙ НА МЕСТНОСТИ
6.1.Приборы, используемые при измерении длин линий местности
Измерением длин линий называют процесс сравнения её с некоторой эталонной величиной. Измерить длину линии на местности можно разными способами, выбор которых зависит от применяемых приборов, требуемой точности измерений, условий местности.
Для измерения расстояний применяются следующие приборы: 1) стальные и тесьмяные рулетки;
38
Источник