Какими свойствами удовлетворяет градусная величина угла
Дарья Плеханова
11 ноября 2018 · 968
Математика свойство биссектрисы угла треугольника?
Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас…
Основные свойства бисскетрисы:
- Делит противовположные стороны на части, которые пропорциональные прилегающим сторонам
- Все биссектрисы пересекаются в точке внутри треугольника, и эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник
- Точки биссектрисы равноудалены от точек ее угла
- Бисскетрисы внешнего и внутреннего уголов прямоугольника являются перпендикулярными
- Бисскетриса является и медианой и высотой только в правильном треугольнике
Прочитать ещё 1 ответ
Каким может быть предельное значение относительной влажности воздуха?
Если мы не можем познать мир таким, каков он в действительности, то давайте…
Относительная влажность воздуха измеряется в процентах, следовательно, она не может быть выше 100%.
Теоретически минимально возможное значение – 0%, однако в реальности такая низкая относительная влажность воздуха никогда не регистрировалась ни в одном регионе Земли.
Какой физический смысл числа е?
Число е появилось относительно поздно, в довольно сложных уже моделях, изучали его продвинутыми методами анализа — оно родилось в математике, а не в физике. А математика к тому времени уже оторвалась от физики. При этом могло, в принципе, случиться так, что знаменитым стало бы не число е, а скажем, корень из е. Но для многих математических моделей удобнее использовать именно е. Скорее всего, этим объясняется, что именно оно закрепилось в традиции. Исторически сложилось, что число е имеет математический смысл, а не физический.
Выбор постоянных подвержен все-таки некоторому произволу. То, что мы пользуемся числом ПИ — тоже результат традиции. Математика могла сложиться так, что специальное обозначение получило бы не отношение длины окружности к диаметру, а отношение длины окружности к радиусу. На развитие математики это не сильно бы повлияло, но некоторые формулы выглядели бы иначе, а число 3,1415… не было бы таким знаменитым и никто бы не считал кучу его знаков после запятой.
Тем не менее, число е может встречаться в законах реального мира. Например, центральная предельная теорема описывает очень многие явления. (Она говорит, что сумма многих независимых случайных одинаково распределенных величин имеет нормальное распределение.) Казалось бы, для описания нормального распределения требуется число е; но корень из е тоже бы подошел, может быть, даже еще лучше. Нельзя сказать, что здесь можно получить физический смысл числа е из ЦПТ. Скорее, наоборот — нормальное распределение стали выражать через е, потому что уже привыкли к этому числу.
Прочитать ещё 23 ответа
Как уравнение может быть квадратным?
В алгебре квадратом числа называется результат умножения этого числа на само себя: так, например, квадратом числа 3 будет число 9 (3*3). Это же самое действие называют возведением в степень – в случае с вычислением квадрата числа это число возводят во вторую степень.
А уравнение называют квадратным потому, что в нем свободная переменная (например, x) стоит во второй степени – то бишь, в квадрате.
Прочитать ещё 2 ответа
Синус – это отношение каких сторон треугольника?
Физик и лирик. Высшее образование – физико-математикое. Интересуюсь всем, что…
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin C=AB/BC
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos C=AC/BC
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
tg C=AB/AC
Прочитать ещё 2 ответа
Источник
Для измерения величин углов поступают так же, как и в случае измерения длин отрезков.
Сначала выбирают угол, принимаемый за единицу измерения – единичный угол. Обычно такой угол составляет одну сто восьмидесятую часть развёрнутого угла. Считают, что величина этого угла равна одному градусу, и обозначают 1 0.
Затем для измерения величины данного угла ЛОВ от луча ОА последовательно откладывают единичный угол и находят число п, показывающее, сколько раз он укладывается в данном угле. Если при этом луч последнего единичного угла совпадет с лучом ОВ, то процесс измерения считается законченным и полученное число градусов п будет величиной угла А ОВ, обозначаетсяААОВ = п°. Если же луч ОС последнего единичного угла лежит между лучами ОА и ОВ, то единичный угол разбивают на 60 равных частей. Величину одной такой части называют одной минутой и обозначают Г. Затем последовательно откладывают от луча ОС угол, равный одной минуте, и находят число т, показывающее, сколько раз этот угол целиком укладывается в углеСОВ. Если при этом луч последнего угла совпадет с лучом ОВ, то процесс измерения считается законченным и величина п°т показывающая сколько раз в данном угле уклад ываются угол в 1° и угол в 1′, будет величиной данного угла. Если же последний луч лежит между лучами ОС и ОВ, то угол в одну минуту делят на 60 равных частей (величину одной такой части считают равной одной секунде и обозначают Г) и повторяют процедуру измерения.
Таким образом, градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле.
Градусная величина угла удовлетворяет следующим свойствам.
Свойство 1. Градусные величины равных углов равны.
Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.
Градусную величину угла обычно обозначают так же, как и сам угол. Например, запись Z.AOB = 30° означает, что величина углаАОВ равна 30°. Говорят также, что угол АОВ равен 30°. Иногда градусную величину угла обозначают строчными греческими буквами, например, ф, ф и т. д.
Непосредственно из определений следует, что прямой угол равен 90°. Острый угол меньше 90°, а тупой угол больше 90°, но меньше 180°.
Для измерения величин углов применяют различные измерительные инструменты, простейшим из которых является известный вам транспортир (рис. 51).
На рисунке 12.1 градусные величины углов ЛОВ, АОС и AOD равны соответственно 60°, 90° и 120°.
Вопросы
1. Что принимается за единицу измерения углов?
2. Что такое градус?
3. Как измеряется градусная величина угла?
4. Какие свойства выполняются для градусных величин углов?
Задачи
1. Найдите градусную величину угла (рис. 12.2): а) АОС б) АОВ- в) AOD, г) АОЕ- д) ВОD, е) ВОС, ж) ВОЕ.
2. Найдите величины углов АОВ, АОС, AOD, ВОС, BOD, COD, изображённых на рисунке 12.3.
3. С помощью транспортира постройте углы, величиной 10°, 30°,70°,100°,150°.
4. На клетчатой бумаге изобразите луч АВ, как показано на рисунке 12.4. От луча AS отложите угол ВАС, равный: а) 45°; 6) 90°
5. На клетчатой бумаге изобразите углы, как показано на рисунке 12.5. Оцените “на глаз” их градусную величину. Проверьте ваши оценки, измерив углы с помощью транспортира.
6. Луч ОС лежит внутри угла ЛОВ, равного 60°. Найдите угол АОС, если он на 30° больше угла В ОС.
7. Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 45°. Найдите угол АОС, если он в два раза больше угла ВОС.
8. Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120°. Найдите угол АОС, если он на 30° меньше угла 50С.
9. Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120°. Найдите угол ВОС, если он в три раз а больше угла А ОС.
10. Некоторый угол равен 38°. Чему равен смежный с ним угол?
11. Найдите градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.
12. Найдите градусные величины двух смежных углов, если:
а) один из них на 30° больше другого; б) их разность равна 40°;
в) один из них в четыре раза меньше другого; г) они равны.
13. Найдите градусные величины двух смежных углов, если они относятся как: а) 2 : 3; б) 3 : 7; в) 11 : 25; г) 22 : 23.
14. Общей частью двух углов АОВ и СОД величиной 60° и 90°, является угол ВОС, величиной 30° (рис. 12.6). Найдите угол AOD.
15. Чему равен угол между биссектрисами: а) вертикальных углов; б) смежных углов?
Источник
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Начальные геометрические сведения
- Градусная мера угла
Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измерения – с градусом.
Градус – это угол, который равен 
части развернутого угла,обозначается знаком 
часть градуса называется минутой, обозначается знаком 
часть минуты называется секундой, обозначается знаком 
Пример: 
(двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)
Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.
Пример:
Градусная мера угла ABC равна 
. Говорят: “Угол ABC равен 120 градусам”. Пишут: 
.
Транспортир – это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до 
.
Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.
Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).
Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .
Свойства:
Основные типы углов:
- Острый угол – угол, градусная мера которого меньше 90°.
- Прямой угол – угол, градусная мера которого равна 90°.
- Тупой угол – угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
- Развернутый угол – угол, градусная мера которого равна 180°.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Точки, прямые, отрезки
Провешивание прямой на местности
Луч
Угол
Равенство геометрических фигур
Сравнение отрезков
Сравнение углов
Длина отрезка
Единицы измерения длины, расстояний
Измерение углов на местности
Смежные углы
Вертикальные углы
Перпендикулярные прямые
Построение прямых углов на местности
Начальные геометрические сведения
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 54,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 55,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 80,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 145,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 147,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 16,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 238,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 345,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1167,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Источник
ВОПРОСЫ
1. Какой угол называют развернутым?
2. В каких единицах измеряют углы?
Углы измеряются в градусах.
3. Какова градусная мера развернутого угла?
Градусная мера развернутого угла равна 180º.
4. Что означает измерить угол?
Измерить угол – значит подсчитать, сколько единичных углов в нем помещается.
5. Как называется прибор, который используют для измерения углов?
Прибор, который используют для измерения углов, называется транспортир.
6. Расскажите как пользоваться транспортиром.
7. Какие градусные меры имеют равные углы?
Равные углы имеют равные градусные меры.
8. Какой из двух неравных углов считают большим?
Из двух неравных углов большим считается тот, градусная мера которого больше.
9. Каким свойством обладает величина угла?
10. Какой угол называют острым?
Острый угол – угол, градусная мера которого меньше 90º.
11. Какой угол называют прямым?
Прямой угол – угол, градусная мера которого равна 90º.
12. Какой угол называют тупым?
Тупой угол – угол, градусная мера которого больше 90º, но меньше 180º.
13. На какие углы делит развернутый угол его биссектриса?
Биссектриса развернутого угла делит его на два угла, градусная мера каждого из которых равна 90º.
14. В каких случаях говорят, что от данного луча отложен данный угол?
РЕШАЕМ УСТНО
1. Назовите два числа, одно из которых: 1) на 27 больше другого; 3) в 7 раз меньше другого; 2) на 15 меньше другого; 4) в 3 раза больше другого.
2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?
На самом деле 9 ч 58 мин.
3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?
На самом деле 17 ч 2 мин.
4. Какие из следующих уравнений не имеют корней:
5. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из ее сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?
УПРАЖНЕНИЯ
296. Начертите: 1) острый угол ЕFC; 2) прямой угол ОRT; 3) тупой угол D. 4) развернутый угол КАР.
297. Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.
298. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развернутые:
299. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображенных на рисунке 94. Определите вид каждого угла.
300. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображенных на рисунке 95. Определите вид каждого угла.
301. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) 380; 2) 1240; 3) 920; 4) 900; 5) 870; 6) 540; 7) 1700; 8) 650. Определите вид каждого угла.
302. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна: 1) 400; 2) 1300; 3) 680; 4) 1640. Определите вид каждого из построенных углов.
303. На рисунке 96 СМК = 1320, а угол АМК – развернутый. Вычислите величину угла АМС.
304. На рисунке 97 угол АОК – прямой, РОС = 540, а угол СОК – развернутый. Вычислите величину угла АОР.
305. Какой из углов, изображенных на рисунке 98, наибольший? Наименьший?
306. Начертите угол СDЕ, равный 1520. Лучом DА разделите этот угол на два угла так, чтобы СDА = 980. Вычислите величину угла АDE.
307. Начертите угол АВС, равный 1060. Лучом ВD разделите этот угол на два угла так, чтобы АВD = 340. Вычислите величину угла DВС.
308. Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 99) проведены два луча ОА и ОС так, что ВОС = 740, АОМ = 620. Вычислите величину угла АОС.
309. Из вершины развернутого угла АСР (рис. 100) проведены два луча СТ и СF так, что АСF = 1580, ТСР = 1340. Вычислите величину угла ТСF.
310. Верно ли утверждение: 1) угол, который меньше тупого, – острый; 2) угол, который меньше развернутого, – тупой; 3) половина тупого угла – острый угол; 4) сумма градусных мер двух острых углов больше 900; 5) угол, который больше прямого, – тупой.
311. Найдите градусную меру угла между стрелками часов, если они показывают: 1) 3 ч; 2) 6 ч; 3) 4 ч; 4) 11 ч; 5) 7 ч.
312. Луч ВК является биссектрисой угла СВD, АВК = 1460 (рис. 101, ). Вычислите градусную меру угла СВD.
313. Луч ОА является биссектрисой угла СОМ, СОМ = 540 (рис. 101, б). Вычислите градусную меру угла ВОА.
314. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развернутые углы, образовавшиеся при этом.
315. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, градусная мера которого меньше 310?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
316. Заполните цепочку вычислений:
317. Верно ли неравенство (а + 253)7(9 864 – а) : 4 при а= 124?
318. В четыре стакана помещается столько же молока, сколько и в банку. В стакан и банку помещается 1 кг 200 г молока. Сколько граммов молока помещается в стакан?
319. Длина границы России с Китаем, Монголией и Казахстаном составляет 15 293 км. Найдите длину границы России с каждым из этих государств, если длина границы с Китаем и Монголией равна 7 694 км, а с Китаем и Казахстаном – 11 808 км.
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
320. Улитка за день поднимается вверх по столбу на 3 м, а за ночь съезжает по нему на 2 м вниз. На какой день она доберется до вершины столба, высота которого равна 20 м?
Источник
Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.
Определение угла
Определение 1
Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.
Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.
Определение 2
Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O. Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.
Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O.
Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.
Перейдем к понятию определения угла.
Определение 3
Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.
Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.
Определение 4
Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.
На рисунке ниже изображен развернутый угол.
Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O.
Угол в математике обозначается знаком «∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h, то угол обозначается как ∠kh или ∠hk .
Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия OA и OB. В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной – ∠AOB и ∠BOA . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.
Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.
При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.
Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.
Определение 5
Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.
Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.
Определение смежных и вертикальных углов
Определение 6
Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.
На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.
Определение 7
Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.
При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.
Сравнение углов
Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.
Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.
Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.
Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.
Развернутые углы являются равными.
Измерение углов
Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.
Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.
Чаще всего используют понятие градус.
Определение 8
Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.
Стандартное обозначение градуса идет при помощи «°», тогда один градус – 1° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.
Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.
Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .
Определение 9
Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.
Определение 10
Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.
Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают «’», а секунды «”». Имеет место обозначение:
1°=60’=3600”, 1’=(160)°, 1’=60”, 1”=(160)’=(13600)° ,
а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17°3’59” .
Определение 11
Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.
Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17°3’59” . Запись имеет еще один вид 17+360+593600=172393600.
Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠AOB и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠AOB=110° , которая читается «Угол АОВ равен 110градусам».
В геометрии используется мера угла из интервала (0,180], а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.
Острый угол измеряется в интервале (0,90), а тупой – (90,180). Ниже наглядно изображены три вида углов.
Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутре