Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс
Геометрия
7 класс
Урок № 6
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие смежных и вертикальных углов
- Свойства смежных и вертикальных углов
- Отличие аксиомы от теоремы
Тезаурус
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
- Сумма смежных углов равна 1800.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
- Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.
Давайте докажем это свойство.
Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
Ответ: ∠ВОК=____0
Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800
∠ВОК+ 110= 1800
∠ВОК= 1800– 110= 1690.
Ответ: ∠ВОК= 1690
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
Варианты ответов:
- 1120
- 640
- 1160
- 680
Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.
Ответ: 1160
№3. Тип задания: выделение цветом.
Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.
∠BМD=____0.
Выделите верный ответ из списка:
600; 300; 750; 900
Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.
∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.
Верный ответ: 600
Источник
ГБОУ РК «Лозовская специальная школа – интерната»
УРОК
ГЕОМЕТРИИ В 7 КЛАССЕ
ПО ТЕМЕ: СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.
Составитель: учитель математики Меметова Венера Ридвановна
2018г
Тема урока: Смежные и вертикальные углы.
Тип урока: комбинированный
Цель деятельности учителя: создать условия для введения понятия смежных вертикальных углов, рассмотрение их свойств и демонстрации применение этих понятий при решении задач.
Задачи:
Образовательные: изучить и усвоить определение и свойства смежных и вертикальных углов;
Воспитательные: через умение выслушать выступающего, через работу в парах воспитывать уважительное отношение к своим одноклассникам;
Развивающие: формирование навыков применения свойств смежных и вертикальных углов при решении задач базового уровня; развитие логического мышления через способность увидеть данные углы в задачах с другими геометрическими фигурами и применить их свойства.
Планируемые результаты:
Личностные: анализировать свои действия и действия одноклассников, сотрудничать со сверстниками и учителем, осознание собственных мотивов учебной деятельности и личностного смысла учения; стремиться открывать новое знание, новые способы действия
Предметные: познакомиться с понятиями смежные углы, вертикальные углы. Учиться применять на практике свойства смежных и вертикальных углов с доказательствами. Строить угол смежный с данным углом, изображать вертикальные углы, находить на рисунке смежные и вертикальные углы, решать простейшие задачи по теме.
Метапредметные:
Коммуникативные: уметь слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.
Регулятивные: уметь самостоятельно планировать пути достижения цели Познавательные: проводить анализ способов решения задачи с точки зрения их рациональности и экономичности.
Термины и понятия: угол, смежные углы, вертикальные углы
Образовательные ресурсы: мультимедийный проектор, интерактивная доска, карточки задания для самостоятельной работы
Учебник: Геометрия, 7-9 класс: учеб. для общеобразоват. Учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцов – М.: Просвещение 2013. – стр. 22.
Форма урока: фронтальная, индивидуальная и парная.
Ход урока
Организационный этап урока. Мотивация к учебной деятельности. Учитель приветствует учителя, предлагает проверить готовность к уроку, организует внимание детей.
Проверка домашнего задания.
Учитель организует проверку по готовым образцам, обсуждение сложных моментов.
Учащиеся вносят исправления в решении, комментируют.
Актуализация знаний и пробное учебное действие.
Учитель предлагает учащимся вопросы для устного решения:
Чему равна единица измерения углов?
Чему равна градусная мера развернутого угла?
Чему равна градусная мера тупого угла?
Чему равна градусная мера острого угла?
Чему равна градусная мера прямого угла?
Учитель повторяет свойство углов:
Равные углы имеют равные градусные меры.
Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
Учащиеся выполняют предложенные задания. Проверяют правильность выполнения, дают пояснения (проверку осуществляют с помощью рисунков на интерактивной доске). Предполагают, что урок будет посвящён углам.
Изучение новой темы. Самоопределение к деятельности.
Объяснение учителя: слово «смежный» – это имеющий общую границу с чем-то или прилегающий к чему-то, соседний. Можно говорить о смежных комнатах, смежных полях, садах и т.д. Слово «вертикальный» – относится к предмету, расположенного в направлении отвеса (перпендикулярно к горизонту). Эти слова можно применить исключительно к углам.
Учитель предлагает учащимся сформулировать тему, цели и задачи урока. Оказывает помощь, если это необходимо. После коллективного обсуждения. Учащиеся формулируют тему, цели и задачи урока. Записывают в тетрадь объяснения учителя:
Понятие смежных углов
Свойство: сумма смежных углов равна 1800
Понятие вертикальных углов.
Свойство: вертикальные углы равны.
Начертить неразвернутый угол АОВ и назвать лучи, являющиеся сторонами этого угла.
Провести луч ОС и луч ОD, являющейся продолжением луча ОВ. Угол АОВ и угол СОD – вертикальные
Физкультминутка. Обучающиеся выполняют физические упражнения под музыку.
Закрепление нового знания. Проверка по эталону.
Выполнение устных упражнений.
а) Дан острый угол А. Может ли быть смежный с ним угол тупым?
б) Сумма углов А и В равна 1800. Смежные ли они?
в) Один из углов образованных пересечением двух прямых равен 1000. Найти меру трех других углов.
2) Выполнение письменных упражнений:
а) Заполнить таблицу (работа в парах):
б) Практическое задание: Начертите 3 угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.
в) Решить № 67 учебник с. 25 (1 работает у доски, остальные выполняют работу в тетрадях). Решение комментируются.
Планируемые результаты: умеют выполнять чертеж к задачи, знают алгоритм решения, умеют с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
3) Самостоятельная работа. Учитель выдает учащимся карточки с заданиями:
Вариант 1
Какова мера угла, смежного с углом 700
Каким является угол, смежные с тупым углом?
Угол ВОА = 300, угол СОD= 450. Найти угол ОАС, ВОС
Вариант 2
Отрезки АВ и КР пересекаются в точке О, так что угол АОК = 500. Найти угол АОР, угол ВОР, угол ВОК.
Угол АОР и угол ВОС вертикальные углы. Какой знак следует поставить вместо * угол АОР * угол ВОС.
Укажите пары смежных углов
Учащиеся самостоятельно выполняют предложенные задания, проверяют решения по готовым образцам.
Домашнее задание. Учитель предлагает записать в дневники домашнее задание. Задание комментирует.
Изучить теоретический материал: 6 п.11
Выполнить задание № 58, 65.
Подведение итогов, рефлексия.
Учитель предлагает ответить на вопросы:
Какие углы называются смежными, вертикальные?
Сформулируйте свойство смежных углов и свойство вертикальных углов.
Далее учитель предлагает учащимся поделиться впечатлениями.
Выполнение каких заданий вызвало наибольшее затруднение?
В чем Вы видите причину затруднения?
Продолжите предложения «Главным результатом считаю…»
Учащиеся отвечают на вопросы, делятся впечатлениями от урока, оценивают свою работу на уроке. Учитель оценивает учащихся, выставляет оценки в журнал, дневники.
Источник
Образовательная: формирование знаний о
вертикальных углах, умения самостоятельно
определять вертикальные углы в комбинациях
геометрических фигур, умения применять знания
при решении геометрических задач и способов
деятельности;
Развивающая: формирование умений
анализировать, устанавливать
причинно-следственные связи, развитие умения
сравнивать и находить различий и сходства у
смежных и вертикальных углов, развитие умение
обобщать и синтезировать знания о смежных и
вертикальных углах, развитие умения выдвигать
гипотезы и предположения, развитие
ассоциативного мышления, воображения;
Воспитательная: воспитание личностных
качеств, обеспечивающих успешность
исполнительской деятельности, воспитание
активности, увлеченности, целеустремленности,
наблюдательности, интуиции, сообразительности,
самостоятельности.
Приемы и методы ведения урока:
проблемная ситуация, диалоговое общение,
объяснение, эвристическая беседа, презентация.
| Этап урок | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Планируемый результат |
| 1.Организационный этап Цель: | Организует положительный настрой на урок, вспоминает с учащимися способы деятельности Добрый день. Начинаем наш урок. С – Прежде чем выяснить, чего мы не знаем, что | Воспринимают информацию, реагируют на вопросы учителя. Учащиеся дают ответ с -Надо выяснить, чего мы не знаем и -Выяснить, что нам известно. | Включение учащихся в учебную деятельность, формирование познавательных УУД |
| 2.Актуализаци опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся Цель: | Информирует о новых знаниях, мотивирует учебную деятельность: – В какой большой теме мы с – Вспомните план, по которому идет изучение – Что из перечисленного мы уже изучили? Сформулируйте свойство смежных углов. | Воспринимают информацию, обнаруживают первичное понимание: – Углы 1. Определение 2. Свойства, 3. Сравнение 4. Действия. Определение угла, смежные углы, дают | Развитие коммуникативных компетенций, коммуникативных УУД |
| 3.Актуализация знаний Цель: подготовка | Слайд 1 Слайд 2 Ребята, а что можно сказать об углах 4 и 2, 1 и 3, 5 и | Учащиеся на основании определения смежных углов находят пары смежных углов Учащиеся предполагают, что они равны, что | Осознание потребности к построению нового способа действий. |
| 4.Первичное усвоение новых знаний Цель: | Организует первичное усвоение знаний учащимися Как они выглядят, какое название им Тема сегодняшнего урока: Слайд 3 Цель нашего урока: познакомиться с понятием Два угла называются вертикальными, если Слайд 4 Что можно сказать о вертикальных углах, каким Верно! Давайте докажем это. Итак, теорема: Доказательство: Пусть 1 и 2 – данные вертикальные углы, СОD и Давайте найдем, где в учебнике рассказано о | Осмысливают, углубляют понимание нового материала Вертикальные углы Учащиеся записывают дату, тему урока в тетрадь Учащиеся переносят рисунок в тетрадь, наносят Учащиеся выдвигают гипотезу, что вертикальные Учащиеся записывают краткую запись теоремы: Учащиеся записывают доказательство. Учащиеся работают с учебником, читают вслух | Усвоение нового понятия “вертикальные углы”, и новых способов деятельности, развитие регулятивной компетенции |
| 5. Первичная проверка понимания Цель: | Организует проверку понимания на примере нестандартной ситуации А теперь, Слайд 6 На основании чего можно сделать такой вывод? | Демонстрируют первичное понимание полученных знаний: Учащиеся определяют пары 3 и 5 и объясняют почему они DFM и BFA, DFB и MFA, | Усвоение понятия вертикальных углов и их свойств, формирование критического мышления |
| 6.Первичное закрепление Цель: | Организует решением задач А теперь – Какие углы изображены на чертеже? – Сколько пар вертикальных углов вы видите? – Чтобы найти углы 1 и 2 какие свойства нужно Приступим к решению: DOA и AOB являются смежными, т.к. АО – общая, а DO и DOA + AOB=1800, следовательно, ? AOB=1800- DOA; AOB= 1800- 1200 AOB = 600. Мы Ответ: 600; 600 Решим ещё одну задачу. Откройте учебник, Что дано в задаче? Учитель делает чертеж на доске: Какие углы при этом образуются? Повторим свойства смежных и вертикальных Решение задачи: AOB= СOD, как вертикальные, значит, СOD=300. Ответ: 300; 150о; 150о. | Закрепляют полученные знания: Учащиеся Учащиеся отвечают: – вертикальные; – 2 пары; – свойства смежных углов, свойства вертикальных К доске выходит 1 ученик и решает задачу Учащиеся работают с учебником. Читают задачу Две пересекающиеся прямые. Острые, тупые, вертикальные, смежные. Учащиеся озвучивают свойства смежных и | Применение свойств вертикальных углов при решении задач, формирование способности к обобщению, развитие умения работать с текстом |
| 7.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению Цель: обеспечение | Закройте тетради, откройте дневники, запишите домашнее задание: Слайд 8 Откройте учебники, найдите номера домашнего №9. Прочитайте вслух условие Какие углы могут образовываться при Может ли сумма смежных углов быть равна 50о? №10. Прочитайте вслух условие Какие углы могут образовываться при Может ли один из вертикальных углов быть в 4 №11. Прочитайте вслух условие Какие углы могут образовываться при Может ли один из вертикальных углов быть в на 50 Каким свойством нужно воспользоваться в | Учащиеся закрывают тетради. Открывают Открывают учебники, стр.27 Учащиеся читают вслух условие: Сумма двух вертикальные, смежные Нет Свойством вертикальных и смежных углов Учащиеся читают вслух условие: Один из углов, вертикальные, смежные Нет Свойством вертикальных и смежных углов Учащиеся читают вслух условие: Один из углов, вертикальные, смежные Нет Свойством вертикальных и смежных углов | Осмысление приемов и способов деятельности |
| 8.Рефлексия Цель: выявление уровня | – Выполнили вы сегодня условия учебной деятельности? – Какую цель ставили перед собой – Смогли ли ее достичь? – Выполнили ли основную задачу урока? – Что более всего понравилось на уроке? – Оцените свою деятельность на уроке с помощью Напиши, над чем тебе надо еще поработать дома и – Оцените свое настроение на сегодняшнем уроке. (Оценка – Спасибо вам большое! Вы хорошо поработали на | Ученики отвечают на вопросы фронтально. Оценивают свою деятельность с Пишут в тетради. Учащиеся вывешивают карточки на доску | Получение учащимися информации о реальных результатах. Оценка собственной |
Источник