Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №3. Свойства и график функции y=cos x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и , выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и , выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точку х0 называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают ymax.

Точку х0 называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций (рис.1).

Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Рис. 1 – графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и .

Функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций (рис. 2).

Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Рис. 2 – графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и .

В общем случае если Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и (где — константа), то период функции равен (или радиан). Следовательно, если , то период этой функции равен Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , если , то период этой функции равен .

Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).

Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Рис. 3 – изображение амплитуды графиков Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и .

Однако, если Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для амплитуда равна 5, а период — Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx .

Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Рис. 4 – график функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx .

Свойства функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx :

Область определения – множество R всех действительных чисел.
Множество значений – отрезок [−1;1].
Функция периодическая, Т=2π.
Функция – чётная
Функция принимает:

Функция

Интересно, что графиками тригонометрических функций –косинус и синус описываются многие процессы в нашей жизни. Например, работа сердца. Сделанная электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой график синусоиды, отражающую биоэлектрическую активность сердца. Или еще пример, электромагнитные волны к ним относятся: мобильные телефоны, беспроводная связь, радио, СВЧ-печи тоже распространяются по закону синуса или косинуса. Их существование было предсказано английским физиком Дж.Максвеллом в 1864 году.

Актуализация знаний

Напомним, что множество значений функции y=cosx принадлежит отрезку [–1;1], определена данная функция на всей числовой прямой и, следовательно, функция ограничена и график её расположен в полосе между прямыми y=–1 и y=1.

Так как функция периодическая с периодом Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной , например на отрезке Тогда на промежутках, полученных сдвигами выбранного отрезка на Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , график будет таким же.

Функция Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке достаточно построить для Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx а затем симметрично отразить его относительно оси Оу (рис. 5)

Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Рис. 5 – график функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и (рис. 6)

Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Рис. 6 – графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx являются корнями уравнения . На отрезке от корнем уравнения является число . Из рисунка видно, что точки х1 и х2 симметричны относительно оси Оу, следовательно Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx . А .

Пример 2.Найти все решения неравенства Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 6 видно, что график функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx лежит ниже графика функции на промежутках и

Ответ: Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx , .

Источник

Инфоурок
›

Математика
›Презентации›Функция у = cosx её свойства и график.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

2 слайд

Описание слайда:

изучить функцию У = COS X выяснить ее свойства и вид графика; рассмотреть геометрические преобразования функции косинус. ввести понятие числовой функции косинус;

3 слайд

Описание слайда:

Функция У = COS X определена на всей числовой прямой; множеством её значений является отрезок [ -1; 1]; функция периодическая с периодом 2π; функция чётная, график симметричен относительно оси ОУ;

4 слайд

Описание слайда:

Функция У = COS X убывает на отрезке [ 0; π]. При повороте точки (1;0) Вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до π абсцисса точки, т.е. cos x, уменьшается от 1 до -1.

5 слайд

6 слайд

Описание слайда:

т.к cos(-x) = cosx функция чётная, значит график симметричен относительно оси ОУ -1

7 слайд

Описание слайда:

Числовая функция, заданная формулой y=cos x, называется косинусом.

8 слайд

Описание слайда:

Свойства функции y=cosx 1) D(cosx): (-∞;+∞) 2) E(cosx): [-1;1] 3) Функция четная: cos(-x)=cosx. График функции симметричен оси y. 4) Периодическая: Т = 2П cosx = cos (x+2П)

9 слайд

Описание слайда:

Свойства функции y=cosx 5) Точки пересечения с осью х: (П/2+Пn;0) nЄZ 6) Точки пересечения с осью у: (0;1) 7) Промежутки знакопостоянства: cosx>0:(-П/2+2Пn;П/2+2Пn) nЄZ cosx<0:(П/2+2Пn;3П/2+2Пn)nЄZ

10 слайд

Описание слайда:

Свойства функции y=cosx 8) Промежутки монотонности: [-П+2Пn;2Пn], nЄZ [2Пn;П+2Пn], nЄZ 9) Точки экстремума: x min =-П+2Пn; 10) Экстремумы функции: y min =-1; y max = 1 x max = 2Пn

11 слайд

Описание слайда:

Преобразования графика y=cosx

12 слайд

Описание слайда:

y = – cos x график функции у =cos x отобразить симметрично относительно оси х

13 слайд

Описание слайда:

у=Acos x график функции y=cos x 1) растянуть вдоль оси у, если /А/>1; 2) сжать вдоль оси у, если /А/<1. все значения у уменьшаются в 2 раза все значения у увеличиваются в 2 раза

14 слайд

Описание слайда:

у= cos (x+a) ось у сдвинуть на а ед.отрезков вправо y= cos (x+2n/3) y= cos (x-a) ось у сдвинуть на а ед.отрезков влево y= cos (x-2n/3)

15 слайд

Описание слайда:

y = cos (x)+b ось х сдвинуть на b ед.отрезков вниз сдвинуть ось х на 2 ед. отр. вниз y = cos (x)-b ось х сдвинуть на b ед.отрезков вверх y=cos (x)-2 сдвинуть ось х на 2 ед. отр. вверх

16 слайд

Описание слайда:

y = cos (аx) сжать вдоль оси х, если a>1 растянуть вдоль оси х, если a<1 y = cos (2x) период: T=2П/2=П сжать вдоль оси х в 2 раза период:T=2П/0,5=4П растянуть вдоль оси х в 2 раза y = cos (0,5x)

Выберите книгу со скидкой:

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

Инфолавка – книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Данная презентация выполнена по теме «Функция у=cosx её свойства и графики» и предназначена для учащихся 10-11 классов. Цель: изучить функцию у = cosx её свойства и графики.Задачи: 1) ввести понятие числовой функции, 2) выяснить её свойства и вид графика, 3) рассмотреть геометрические преобразования функции косинус. Презентация состоит из 16 слайдов и позволяет быстро подготовиться учителю к уроку, а также наглядно продемонстрировать преобразования графиков и развить интерес у учащихся к выбранной теме.

Общая информация

Номер материала:

186000092745

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Источник

Автор admin На чтение 11 мин. Просмотров 1 Опубликовано 24.05.2013

Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математический анализ.

Полностью взято тут.