Какое это свойство переместительное

Переместительное свойство умножения
Сочетательное свойство умножения
Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42;

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a – b) = m · a – m · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a – b) · m = a · m – b · m.

Переход от умножения:

m · (a + b) и m · (a – b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b и m · a – m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b и m · a – m · b

к умножению:

m · (a + b) и m · (a – b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Переместительное свойство умножения очень похоже по своей сути на такое же свойство умножения. Тем не менее, часто ученики 5 класса, которые полностью овладели свойствами сложения, допускают ошибку в таких же по сложности законах умножения. Чтобы избежать этого разберемся подробнее в теме вопроса.

Какое это свойство переместительное

Что такое умножение?

Умножение это сокращенное сложение, базовые элементы которого принято знать наизусть. Под базовыми элементами понимается таблица умножения. Под упрощенным сложением имеется в виду то, что первый множитель показывает число, а второй сколько раз это число было сложено с самим собой.

В математике 3 ступени подобных упрощений. На первой стоит сложение, на второй умножение, а третьей возведение в степень. Возведение в степень это умножение числа на себя самого какое-то количество раз. Сколько раз нужно повторить умножение отражает показатель степени.

Закон или свойство?

Для того, чтобы не путаться, нужно разобраться, как правильно называть законы умножения. Законами или все же свойствами?

Проблема в том, что закон это непреложное правило, а свойство это некоторая особенность действия. И то, и другое верно для свойств умножения. Поэтому никакой разницы в названиях нет. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения. Однако ошибкой не будет назвать свойства сложения законами сложения и наоборот.

Свойства умножения

Распределительное. Распределительное свойство применяется только относительно сложения. Распределительное свойство гласит: если число умножается на сумму, то можно каждое из слагаемых умножить на это число, а результаты сложить.
Сочетательное. Сочетательное свойство говорит о том, что при перемножении трех и более чисел, можно перемножить два первых числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. То есть 3*4*5=12*5=60
Переместительное. Переместительное свойство гласит, от перемены мест множителей произведение не меняется.

Распределительное свойство может применяться и относительно вычитания или деления. С помощью этого свойства раскрывают скобки в примерах при необходимости.

Переместительное свойство

Правильное использование определения переместительного свойства умножения может увеличить скорость счета. К сожалению, специальных правил группировки нет. Нужно полагаться только на собственный опыт и логику. Рассмотрим небольшой пример, чтобы показать применение свойства на практике:

((15*25*7*3:125)-3):12 – в этом примере упростить можно только правильно сгруппировав произведение в скобках для ускорения деления. Для этого представим число 15 в виде произведения 3*5

((15*25*7*3:125)-3):12=((5*3*25*7*3:125)-3):12 теперь перемножим 5 и 25, выполним деление произведения на число. Для этого можно только один из множителей разделить на это число, а потом результат использовать, как один из множителей.

(((5*25)*3*7*3:125)-3):12=((125*3*7*3:125)-3):12=(3*3*7-3):12=(9*7-3):12=(63-3):12=60:12=5

Без переместительного свойства не удалось бы правильно сгруппировать множители, а значит пришлось бы считать пример полностью, что отняло бы большое количество времени.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое умножение. Решили, что понятия свойств и законов умножения одинаковы. Выделили свойства умножения и рассмотрели примеры переместительного свойства умножения. Сказали об особенностях этого свойства и его практическом значении.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 114.

Источник

Законы сложения настолько естественны для большей части учеников 5 класса, что они даже не замечают, когда их используют. С одной стороны это хорошо, поскольку серьезно ускоряет расчет, с другой это же мешает использовать эти свойства для решения больших примеров. Чтобы такой проблемы не возникало, поговорим о свойствах сложения и их правильном применении.

Какое это свойство переместительное

Сложение

Сложение это процесс переноса точки по числовой прямой. Каждая точка на числовой прямой соответствует какому-либо числу. Процесс вычитания или сложения это перенос этой точки. Само собой, что в процессе движения меняется значение.

Если говорить проще, то сложение можно представить, как объединение двух чисел в одно. Складываться могут любые рациональны числа: положительные и отрицательные, целые и дробные, а так же число 0.

Иррациональные числа подчиняются другим законам, просто так их сложить не получится. Но всегда можно найти приближенное значение из рациональных чисел и выполнить сложение.

Свойства сложения

У сложения всего 2 свойства: переместительное и сочетательное.

Переместительное свойство заключается в том, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. И это вправду так: какая разница, в какой последовательности сложить в корзину фрукты, если их количество, в конечном счете, не изменится?
Сочетательное свойство касается примеров с 3 и более слагаемыми. Оно говорит о том, что всегда можно выбрать два любых слагаемых, сложить их и выполнять дальнейшие действия с результатом сложения.

Переместительное свойство сложения

Первый вопрос, который нужно задавать себе, узнавая что-то новое: как это можно использовать. В математике переместительное свойство сложения отлично подходит для решения больших примеров.

Некоторые числа складывать проще других. Как правило, это десятки, пары чисел, которые образуют 10, и числа 7 и 8.

Рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как правильно использовать переместительное свойство сложения.

Нужно решить пример:

13+21+87+55+29+7+46+14 – сгруппируем числа так, чтобы было проще складывать.

13+21+87+55+29+7+46+14=(13+87)+(21+29)+(46+14)+(55+7) – обратите внимание, что в последней скобке собраны оставшиеся числа, которые правильно сгруппировать не удалось. Такое тоже случается, просто нужно внимательно относится к группированию, чтобы не пропустить возможность сократить время вычислений.

(13+87)+(21+29)+(46+14)+(55+7)=100+50+60+55+7=210+55+7=210+62=272

Не забывайте, что складывать можно и отрицательные числа, поэтому их можно переносить в пределах примера с сохранением знака. Главное, чтобы ученик максимально быстро решал примеры.

(19-7)+(13-9)+(17-3) – изменим компоновку примера для того, чтобы упростить решение. Сначала раскроем все скобки:

(19-7)+(13-9)+(17-3)=19-7+13-9+17-3 – теперь сгруппируем числа так, чтобы облегчить вычитание.

19-7+13-9+17-3=(19-9)+(13-3)+(17-7)=10+10+10=30 – вот так мы значительно упростили решение. При наличии определенного навыка второе действие можно сразу пропускать, сокращая время решение. Главное не терять знаки минуса.

Что мы узнали?

Мы поговорили о сложении. Узнали о свойствах сложения и рассмотрели примеры переместительного свойства сложения. Выделили, что переместительное свойство можно использовать для разности, если правильно перемещать числа со знаком минус.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Юксель Саркаров
9/10
Игорь Зимин
7/10

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 85.

Источник

Ranina

Мастер

(1157)

12 лет назад

ну, первое:
От перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
второе: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
третье : : c(a + b) = ca + cb.

Сергей

Знаток

(432)

12 лет назад

а*в=в*а; а+в=в+а; – переместительное
а (в+с) =ав+ас – распределительное
(a + b) + с = a + (b + c); ab)с = a(bc) – Сочетательное

СергейЗнаток (432)

12 лет назад

Прошу прощения
(a + b) + с = a + (b + c); (ab)с = a(bc) – Сочетательный

Павел Чупраков

Знаток

(255)

4 года назад

a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
ab = ba (переместительный закон умножения).
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

Гала

Ученик

(216)

3 года назад

1 Переместительный закон сложения и умножения:
От перемены мест слагаемых сумма не меняется. (Значение суммы при перестановке двух слагаемых не меняется.) a + b = b + a = с
От перемены мест множителей произведение не меняется. (Значение произведения при перестановке множителей не меняется.) a x b = b x a = с
2 Сочетательное свойство сложения и умножения: Для любых чисел a, b и c верны равенства: (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc)

3 Распределительное свойство умножения: Для любых чисел a, b и c верны равенства: (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Точно также из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
Для любых чисел a, b, c и d, верно равенство: a(b + c + d) = ab + ac + ad

4 правило деления суммы на число:
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить: (а + b) : с = а : с + b : с

5 Правило вычитания числа из суммы: 1. Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а из полученного результата (разности) вычесть второе слагаемое. Например: 126 — (56 + 30) = (126 — 56) — 30 = 40. В общем виде: а — (Ь + с) = (а — Ь) — с. Правило 2. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое. Правило 2 можно использовать при вычислении натуральных чисел только в случае, если одно из слагаемых больше вычитаемого числа. Например: (71 + 7) — 51 = (71 — 51) + 7 = 20 + 7 = 27, но нельзя (71 + 7) — 51 = (7 — 51) + 71,так как разность (7 — 51) — ненатуральное число. В общем виде: (а + Ь) — с = (а — с) + Ь.
6 правило вычитание суммы из числа
а-(х+у) = а-х-у. Если перед скобкой стоит знак “-“, то знаки в скобке меняются на противоположный

Данил Ларионов

Ученик

(124)

2 года назад

Елисей Ивкин

Ученик

(126)

2 года назад

От перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
второе: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
третье : : c(a + b) = ca + cb.

Андрей Тульский

Ученик

(108)

2 года назад

Источник

Цель:

познакомить учащихся с переместительным
свойством сложения, учить использовать его для
упрощения вычислений в различных жизненных
ситуациях;
развивать внимание, логическое мышление;
воспитывать потребность в приобретении
математических знаний.

Оборудование: А.А. Чекин. Математика: 1
класс. Учебник-тетрадь, ч.2., наборы цифр и счётных
предметов, компьютер, экран, видеопроектор, компьютерная презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент. Проверка
готовности к уроку.

Ну-ка проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Всё ль на месте,
Всё ль в порядке,

Ручка, книжка и тетрадка? (Дети усаживаются)

Беритесь, ребята,
Скорей за работу.
Учитесь считать,
Чтоб не сбиться со счёта.

II. Сообщение темы и целей урока.

– Ребята, сегодня на уроке мы узнаем одно
замечательное свойство сложения. Называется оно:
Переместительное свойство сложения. (Слайд №2).

– На уроке мы отправимся в одну замечательную
сказку и вместе с её героями:

познакомимся со свойством перестановки
слагаемых;
научимся его использовать для упрощения
вычислений;
будем учиться помогать другу в трудную минуту.
(Слайд №3)

III. Устные упражнения. Подготовка к
восприятию нового материала.

– Прежде чем приступить к изучению новой темы мы
должны кое-что вспомнить.

– Вот какой вопрос задаёт нам героиня одной
сказки:

“Составь суммы со значениями: 4, 5, 8, 2, 9, 6, 7, 3”.
(Слайд № 4)

– Чтобы узнать, с какими персонажами мы
встретимся ещё и из какой они сказки, нам нужно
сосчитать фигуры и распределить их на две группы

(слайд №5)

– Проверим, правильно ли мы выполнили задание.
Составим выражение по полученному рисунку.
(Слайд №6)

– Составим портрет сказочного героя из данных
фигур. (Слайд №7)

– Продолжите составление портрета из
геомерических фигур самостоятельно.

– Какой замечательный портрет у нас получился. А
вот и сам волк пожаловал к нам. Он хочет вместе с
нами изучить переместительное свойство
сложения. (Слайд №8)

– Ответив на следующий вопрос, мы узнаем, в какую
сказку сегодня отправимся. (Слайд №9)

– Молодцы, ребята! А теперь: “Добро пожаловать в
сказку!” (слайд №10)

– Давайте узнаем, в каком домике живёт Красная
Шапочка. Покажите домик

2-й справа, 5-й слева. Что можете сказать об этих
домиках? (слайд №11)

– Раскрасим окошки в домике Красной Шапочки.
(Слайд №12)

Слагаемое	Слагаемое	Слагаемое
	7	8
2		10
	6	9

IV. Работа над новым материалом.

– Как-то раз испекла мама пирожки и велела
отнести их бабушке. Красная Шапочка взяла
лукошко и стала укладывать. 2 пирожка она
положила на дно лукошка, а 4 сверху. Какое
математическое выражение можно составить к
этому рисунку? Потом Красная Шапочка решила на
дно лукошка положить 4 пирожка, да ещё 2 сверху.
Составьте новые выражения. Что вы можете сказать
об их значениях? Какой вывод вы можете сделать?
(слайд №13)

– Вот отправилась Красная Шапочка к бабушке. Шла
она, не торопясь, по пути рвала цветы и собирала
их в букеты. Пришла она на одну полянку и сорвала 5
голубых цветка и 3 красных. Какое выражение можно
составить? Найдите его значение. (14 слайд)

– На другой полянке Красная Шапочка сорвала 3
голубых цветка и 5 красных. Составьте по рисунку
выражение и найдите его значение. (15 слайд)

– Давайте проверим это свойство. Дети, сидящие
слева положите любое количество кругов. А дети,
сидящие справа положите любое количество
квадратов. Составьте суммы. Назовите суммы,
которые у вас получились. Найдите их значения.
Поменяйтесь счётными предметами. Составьте
новые суммы и найдите их значения. Что вы
заметили?

V. Физминутка. (слайд №16)

– Видишь, бабочка летает
И в лесу цветы считает.
– Раз, два, три, четыре,
пять.
Ох, считать, не сосчитать!
За день, за два и за месяц:
Шесть, семь, восемь,
Девять, десять.
Даже мудрая пчела
Сосчитать бы не смогла.
(дети машут руками)
(Считают пальчиком, на каждый счёт щелчок
мышки)
(шагают на месте)
(Cчитают пальчиком, на каждый счёт щелчок мышки)
(Дети машут руками)

V_. Закрепление нового материала.
Выполнение заданий учебника №1, №2 стр.8 .

– Давайте присядем и почитаем книгу.

– Рассмотрите рисунок и объясните, почему Маша и
Миша записали разные суммы.

– Будут ли значения этих сумм равны? Поставьте
нужный знак.

– Молодцы, ребята!

– Но теперь Красной Шапочке грозит беда. Серый
волк хочет съесть её, если она не выполнит его
задание. Выполним это задание с комментированием
(слайд №17)

VII. Самостоятельная работа.

1). Задание №3 учебника стр.8, Проверка
самостоятельной работы фронтальная с помощью
разрезных цифр. (Слайд №18)

2). Ребята, поможем Красной Шапочке разгадать
код замка. (Слайд №19)

3). Срочно зовём на помощь дровосеков. Только
сделаем это тихо. Отправьте зашифрованное
сообщение на №2 стр15. Т-2. Проверим текст
сообщения. (Слайд №20)

Подведение итога урока.

– Что запомнилось больше всего? Что полезного
для себя узнали? Где в жизненных ситуациях можно
применять изученное свойство?

– Придумайте сумму, в которой первое слагаемое
очень маленькое, а второе – большое.

– Найдите его значение. Как вы поступали?

– Наши сказочные персонажи тоже очень хорошо
освоил новое свойство и в благодарность оставили
вам телеграмму. (Слайд №21)

IX. Домашнее задание.

– Расскажите родителям о новом замечательном
математическом свойстве.

Источник