Какое свойство длины отрезков называется основным
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками этой прямой.
Если к точкам $A$ и $B$ приложить линейку и по ней провести от $A$ к $B$ линию, то получится отрезок $AB$. Тот же отрезок можно обозначить $BA$.
Точки $A$ и $B$ называют концами отрезка $AB$.
$blacktriangleright$ Пример 1. Сколько отрезков изображено на рисунке?
Решение: Вспоминаем определение отрезка. Обращаем внимание, что буквы $K$ и $L$ — это обозначение прямой. Получаем отрезки $DC$, $CE$, $DE$.
Значит, всего на рисунке изображено $3$ отрезка.
Ответ: $3$ отрезка.
Отрезки можно сравнивать с помощью циркуля или линейки.
Отрезки равны, если при наложении их концы можно совместить. Равные отрезки имеют одинаковую длину.
Например, отрезок $AB$ равен $CD$. Это записывают так: $AB=CD$.
В геометрических фигурах принято равные отрезки отмечать одинаковым числом чёрточек.
На рисунке $AB=CD$ и $AD=BC$.
$blacktriangleright$ Пример 2. Найдите на рисунке равные отрезки. Сколько получилось пар равных отрезков?
Решение: Равные отрезки в геометрических фигурах отмечают равным количеством чёрточек, тогда $AO=OB$, $DO=OC$, $DA=CB$, $AC=DB$.
Всего получилось $4$ пары равных отрезков.
Ответ: $4$ пары.
Отрезок $AB$ является частью отрезка $AC$. Он короче отрезка $AC$, а отрезок $AC$ длиннее отрезка $AB$.
Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называют единичным отрезком.
С помощью единичного отрезка измеряют длины произвольных отрезков.
Возьмем отрезок $OM$ длиной $1$ см в качестве единичного. Тогда измерения удобно производить с помощью линейки.
Если отрезок $CD$ состоит из пяти частей, каждая из которых равна отрезку $OM$, то длина отрезка $CD$ равна $5$ см. Пишут: $CD=5$ см.
Длина отрезка — это число, которое показывает, сколько раз отрезок, длина которого принята за единицу (меру) длины, укладывается в измеряемом отрезке.
Длину отрезка $CD$ называют также расстоянием между точками $C$ и $D$.
Для измерения отрезков кроме сантиметров применяют и другие единицы длины: дециметр (дм), метр (м), миллиметр (мм), километр (км).
$10$ см $= 1$ дм;
$100$ см $= 1$ м;
$1$ см $= 10$ мм;
$1$ км $= 1000$ м.
$blacktriangleright$ Пример 3. Выразите в сантиметрах $2$ дм $8$ см.
Решение: $2$ дм $8$ см $=$ $20$ см $+$ $8$ см $=$ $28$ см.
Ответ: $28$ см.
$blacktriangleright$ Пример 4. Длина отрезка $AB=60$ см. Точки $M$ и $N$ в указанном порядке лежат на этом отрезке. Найдите длину отрезка $MN$, если $AM=13$ см, $NB=37$ см.
Решение: Сделаем чертёж.
Вот теперь видно, что отрезок $AB$ состоит из трех отрезков: $AM$, $MN$, $NB$.
$AM+NB=13+37=50$ см.
Осталось найти длину третьего отрезка, для этого из длины отрезка $AB$ отнимем полученную сумму: $MN=60-50=10$ см.
Значит, длина отрезка $MN$ составляет $10$ см.
Ответ: $10$ см.
Задачки от мистера Фокса
№1. Сколько отрезков изображено на рисунке?
Данный рисунок является дополнением к рисунку из задачи, которую мы разобрали выше. Отличается он тем, что провели еще одну прямую. Поэтому отрезки будут теми же — $DC$, $CE$, $DE$ — и плюс еще один отрезок — $FC$.
Значит, на рисунке всего $4$ отрезка.
Ответ: $4$ отрезка.
№2. Найдите на рисунке равные отрезки. Сколько на рисунке пар равных отрезков?
Ищем отрезки с одинаковым количеством чёрточек.
Получаем: $AD=DB$, $BE=EC$, $AF=FC$.
Значит, всего $3$ пары равных отрезков.
Ответ: $3$ пары.
№3. Выразите в дециметрах с сантиметрами $13$ см.
$13$ см $=$ $10$ см $+$ $3$ см $=$ $1$ дм $3$ см.
Ответ: $1$ дм $3$ см.
№4. Найдите длину отрезка $LM$ по данным рисунка.
Из рисунка видим, что $KM=78$, $KL=59$.
Найдем длину отрезка $LM$: $LM=78-59=19$.
Ответ: $LM=19$.
Источник
В геометрии длина – это величина, характеризующая протяженность отрезка.
Определение. Длиной отрезка называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:
1) равные отрезки имеют равные длины;
2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрезка. Результатом измерения длины отрезка х является неотрицательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.
Такое число всегда существует и единственно. Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Из определения длины отрезка следуют известные свойства численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.
1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.
х = y <=> т(х) = т(у)
2. Если отрезок х состоит из отрезков х, и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х, и х2. Справедливо и обратное утверждение.
х = х1 х2 <=> т(х) = т(х1) + т(х2)
3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
4. Численное значение длины единичного отрезка равно единицы.
Рассмотрим процесс измерение длин отрезков. Из множество отрезков выбирают какой – нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е отложились п раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п, и пишут а = пе. Если же отрезки, равные е, отложились п раз и остался еще остаток, меньшее, то на нем откладывают отрезки равные е1= 1/10 ∙е. Если они отложились точно п1 раз, то тогда а = п1е и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1отложился п1 раз и остался еще остаток, меньшей е1, то на нем откладывают отрезки равные е2 = 1/100 ∙ е. Если представить этот процесс бесконечно продолжительным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.
Итак, при выбранной единицы длина любого отрезка выражается положительными числами.
На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.
При решении практических задач используются стандартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.
Соотношение между ними:
1 километр (км) = 1000 метрам (м)
1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)
1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм)
Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 385; Нарушение авторских прав
Источник
Лекция 10. Длина отрезка и её измерение.
Понятие длины отрезка и ее измерения используется во многих областях деятельности человека и научных исследованиях. Поэтому рассмотрим эту величину более детально.
Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка, так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
Процесс измерения длины отрезков выглядит так. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а, длину которого измеряют, от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тек пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е, отложились n раз и конец последнего отрезка совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n и пишут а = n е. Если же отрезки, равные е, отложились n раз, и еще остался остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е1 = 110 е. Если они отложились ровно n1раз, то тогда а = n, n1 е, и значение длины отрезка есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1 отложился n1 раз и остался еще остаток, меньший е1, то на нем откладывают отрезки, равные е2= 1100е1. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь. Таким образом, при выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действующим числом. Вполне очевидно, что верно и обратное: если дано положительное действительное число, то всегда можно построить отрезок, численное значение которого выражается этим действительным числом.
Нетрудно доказать следующие свойства длин отрезков.
1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
2. Если два отрезка равны, то и численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин отрезков равны, то и равны сами отрезки, т.е. а = в mе (а) = mе (в).
3. Если данный отрезок равен сумме нескольких отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков слагаемых и, обратно, если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений отрезков слагаемых, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков, т.е. с = а + в mе (с) = mе (а) + mе (в).
4. Если длины отрезков а и в таковы, что в = х ∙ а, где х – положительное действительное число и длина отрезка а измерена при помощи единицы измерения е, то, чтобы найти численное значение отрезка в при единице измерения е, достаточно число х умножить на численное значение длины отрезка а при единице измерения е, т.е. в = х а mе (в) = х mе (а).
5. При замене единицы измерения длины численное значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения длины отрезка меньше (больше) старой. Из других свойств длины отрезков отметим следующие.
6.а > в mе (а) >mе (в);
7.с = а – в mе (с) = mе (а) – mе (в);
8.х = а : в х = mе (а) : mе (в).
Все эти свойства позволяют сравнение длин отрезков и действия над ними сводить к сравнению и действием над соответствующими числовыми значениями длин этих отрезков. На практике, сравнивая длины отрезков и выполняя действия над длинами отрезков, теоретические положения, сформулированные выше, используются неявно.
Примеры.
1. 12 м < 12,3 м, так как 12 < 12,3.
2. 8,8 см + 3,4 см = (8,8 + 3,4) см = 12,2 см.
3. 18 ∙ 3 дм = (18 ∙ 3) дм = 54 дм.
Приводим несколько типичных задач.
Задача 1. Постройте отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза?
Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е. Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 20 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = 15. Если от точки В отложить отрезок, равный 15 единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.
Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим: 3,2 : 3 = 3 15 : 3 = 1615 = 1115.
Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1115.
Задача 2. Начертите два отрезка: длина первого – 8 см, а другой – в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?
Решение. 1 способ. Строят отрезок 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают 2 равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см). 2 способ. Находят длину второго отрезка: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см), а затем строят два отрезка: один – длиной 6 см, а другой – длиной 12 (см).
Задача 3. Отрезок длиной 18 см разделите на две равные части. Решение. Поскольку не выделена операция деления длины отрезка на натуральное число, то мы воспользуется тем, что деление на натуральное число равносильно умножению ее на дробь 1n. В связи с этим получаем: 18 (см) : 2 = 18 см ∙ 12 = 8 ∙12 см = 9 см. Ответ: 9 см.
В заключение приводим таблицу мер длины. 1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм); 1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см); 1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см); 1 километр (км) = 1000 метрам (м).
Источник
Прямая — это линия, не имеющая ни начала, ни конца.
Прямая может обозначаться двумя заглавными латинскими буквами. Например, $AB$. Читается так: «прямая $AB$».
Также прямая может обозначаться строчной латинской буквой. Например, $a$. Читается так: «прямая $a$».
Если на листе бумаги отметить две точки и соединить их прямой линией, то получим отрезок.
Через любые две точки можно провести только одну прямую.
$blacktriangleright$ Пример 1. Через произвольные точки $A$ и $B$ проведите прямую. На этой прямой между точками $A$ и $B$ отметьте точку $C$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.
Решение: Отметим произвольные точки $A$ и $B$. Между точками $A$ и $B$ на прямой отметим точку $C$.
Так как точка $C$ построена на прямой $AB$, то говорят, что она принадлежит этой прямой. Проведённую прямую мы можем назвать, используя обозначения любых двух точек, лежащих на ней. Порядок букв в названии прямой не важен.
Тогда построенную прямую можно назвать так: $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ или $CB$.
Ответ: $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$, $CB$.
$blacktriangleright$ Пример 2. Какие точки принадлежат прямой $EC$, а какие не принадлежат?
Решение: На прямой $EC$ лежат точки $E$, $C$ и $F$. Значит, про них можно сказать, что они принадлежат прямой $EC$. Точки $D$ и $A$ не лежат на прямой $EC$, значит, они не принадлежат этой прямой.
Ответ: $E$, $C$ и $F$ принадлежат прямой $EC$, а $D$ и $A$ — не принадлежат.
Отрезок — часть прямой, ограниченная с двух сторон точками.
Отрезок имеет начало и конец.
На рисунке изображён отрезок. Точки $A$ и $B$ называются его концами.
Отрезок с концами $A$ и $B$ ещё называют «отрезок $AB$» или «отрезок $BA$».
Луч — часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. Любая точка разбивает прямую на два луча.
Луч, как и прямая, обозначается двумя заглавными латинскими буквами. На первом месте всегда пишется буква, обозначающая начало луча, а на втором — любая другая точка, принадлежащая лучу. Видим, что луч на рисунке имеет начало в точке $A$. Его можно назвать как «луч $AB$» или «луч $AC$».
$blacktriangleright$ Пример 3. Пересекаются ли луч $EC$ и прямая $AB$?
Решение: Для получения ответа необходимо продолжить луч $EC$.
Видим, что прямая $AB$ и луч $EC$ пересекаются.
Ответ: Луч $EC$ и прямая $AB$ пересекаются.
$blacktriangleright$ Пример 4. Сколько отрезков, лучей и прямых нарисовано?
Решение: На рисунке три отрезка: $AC$, $CB$, $AB$.
Из точки $A$ выходит два луча: один влево (мы не можем дать ему название, если не возьмём слева от $A$ ещё одну точку), другой вправо (его можно назвать $AB$ или $AC$, главное, чтобы на первом месте стояло название точки, из которой выходит луч, а на втором месте название точки, через которую луч точно проходит).
Из точки $C$ выходит два луча: один влево (назовём его $CA$), один вправо (луч $CB$).
Из точки $B$ выходит также два луча: один влево (его можно назвать $BA$ или $BC$), другой вправо (мы не можем дать ему название, если не возьмём слева от $B$ ещё одну точку).
Всего $6$ лучей.
На рисунке изображена одна прямая. Её можно назвать по-разному, назовём её $AB$.
Ответ: На рисунке изображено $3$ отрезка, $6$ лучей и $1$ прямая.
Если несколько отрезков расположить таким образом, что конец первого отрезка будет совпадать с началом второго, а конец второго отрезка — с началом третьего и так далее, то получится линия, которую называют ломаной.
Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.
Пример ломаной приведен на рисунке. Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ называются “вершинами” ломаной. Вершины $A$ и $E$ — концы ломаной. Отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ называются звеньями ломаной.
Чтобы найти длину ломаной, нужно сложить длину всех её звеньев.
Если оба конца ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой. Пример замкнутой ломаной приведен ниже. Замкнутую ломаную также называют многоугольником.
Если звенья ломаной пересекаются, то такая ломаная называется самопересекающейся.
Представление о плоскости можно получить, глядя на поверхность стола, школьной доски, тетрадного листа и так далее. Все описанные примеры имеют края.
У плоскости края нет.
Плоскость безгранично простирается в любом заданном направлении.
Если две различные прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали, то они называются параллельными.
Если прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то обозначается это так: $AB|CD$.
Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то обозначается это так: $a|b$.
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.
На рисунке изображены перпендикулярные прямые $AB$ и $CD$. Записывается это так: $ABperp CD$.
Источник
Математика
5 класс
Урок №22
Измерение отрезков
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятие длины отрезка;
– равные отрезки на чертежах;
– определение длины отрезков.
Тезаурус
Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.
Обязательная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.
За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:
– пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;
– вершок – длина основной фаланги указательного пальца;
– локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.
Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.
Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.
Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.
«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.
На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.
Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.
Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.
Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Чем же можно измерить длину отрезка?
Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.
Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.
Если при измерении линейкой определённого отрезка какая-то точка не совпадает с делением шкалы, то можно говорить о приближенном значении длины этого отрезка. Приближенное значение длины может быть с избытком, с недостатком и с округлением. Например, на рисунке отрезок АВ может быть измерен с точностью до сантиметров. Его длину можно найти приближенно с избытком или с недостатком. В таких случаях говорят, что с недостатком его длина равна 5 см, а с избытком – 6 см. Это записывают так: АВ 5 см (с недостатком); АВ 6 см (с избытком).
Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.
Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.
Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.
Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.
Рассмотрим ещё одно свойство длин.
Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.
Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.
Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?
На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.
Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.
В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.
АВ
СК
Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.
Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?
- Отрезки равны
- Вертикальный отрезок больше
- Горизонтальный отрезок больше
Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.
№2. Тип задания: выделение цветом.
Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?
Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.
Решение: изобразим условие задачи на рисунке.
АВ = АК + КВ. Найдём КВ по условию задачи.
КВ = 8 см + 2 см = 10 см.
Следовательно, АВ = 8 см + 10 см = 18 см.
Источник