Какое свойство имеет медиана треугольника

Привет!

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

Поехали!

ШПОРА ПО МЕДИАНЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

( displaystyle {{S}_{Delta ABM}}=frac{1}{2}~AMcdot BH;)( displaystyle {{S}_{Delta BMC}}=frac{1}{2}~CMcdot BH)

Но ( displaystyle AM=CM), значит,

( displaystyle {{S}_{triangle ABM~}}={{S}_{triangle BMC~}})

3. Три медианы треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.( displaystyle {{S}_{Delta ABM}}=frac{1}{2}~AMcdot BH;)

( displaystyle {{S}_{Delta BMC}}=frac{1}{2}~CMcdot BH)

Но ( displaystyle AM=CM), значит,

( displaystyle {{S}_{triangle ABM~}}={{S}_{triangle BMC~}})

4. Формула длины медианы

( displaystyle {{m}^{2}}=frac{1}{4}~left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} right))

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Определение медианы

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Отметь на какой-нибудь его стороне середину ( displaystyle M).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия ( displaystyle BM) и есть медиана.

Медиана –линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медианы

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник ( displaystyle ABC) – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник ( displaystyle ABCD).

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»)
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

НЕ ПРОПУСТИ!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN). Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

( AB=13)

Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

И… ( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача:

В треугольнике ( displaystyle ABC) проведены медианы ( displaystyle BM) и ( displaystyle AK), которые пересекаются в точке ( displaystyle O). Найти ( displaystyle BO), если ( displaystyle AB=3;text{ }BC=4,text{ }angle B=90{}^circ .)

Решаем:

Решение:

( displaystyle angle B=90{}^circ ) – треугольник прямоугольный!

Значит, ( BM=frac{AC}{2}).

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём ( displaystyle AC) по теореме Пифагора:

( A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=9+16=25)

( AC=5)

Значит, ( BM=frac{AC}{2}=frac{5}{2}).

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим ( displaystyle OM=x). Отрезок ( BO=2OM=2x), а ( BM=3x). Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что ( BM=frac{5}{2}).

Значит, ( 3x=frac{5}{2}); ( x=frac{5}{6}).

В задаче нас спрашивают об отрезке ( displaystyle BO).

В наших обозначениях ( BO=2x=frac{5}{6}cdot 2).

Значит, ( BO=frac{5}{3}).

Ответ: ( BO=frac{5}{3}).

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

До 9 февраля у нас действует 50% скидка на сдвоенный курс: “Планиметрия. ЕГЭ №16” и “Экономическая задача. ЕГЭ №17”

Эти задачи в сумме дают 6 первичных баллов на ЕГЭ! В сдвоенный курс входят:

16 двухчасовых вебинаров с Алексеем Шевчуком (12 по планиметрии и 4 по экономической задаче);
домашние работы и их моментальная проверка платформой 100gia;
итоговые тесты на усвоение материала;
ответы Алексея Шевчука на ваши вопросы во время вебинаров и в закрытой группе Вконтакте;
доступ к записям вебинаров и ко всем другим материалам курса до 1 августа 2021 года.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Определение медианы

Медиана – линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Посмотри на рисунок. Линия ( displaystyle BM) – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

Теорема о площади

Медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

( S=frac{1}{2}a~cdot h)

И применим эту формулу аж два раза!

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса “Подготовка к ЕГЭ с репетитором”

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Посмотри, медиана ( displaystyle BM) разделила ( displaystyle triangle ABC) на два треугольника: ( displaystyle triangle ABM) и ( displaystyle triangle BMC). Но! Высота-то у них одна и та же – ( displaystyle BH)!

Только в ( displaystyle triangle ABM) эта высота ( displaystyle BH) опускается на сторону ( displaystyle AM), а в ( displaystyle triangle BMC) – на продолжение стороны ( displaystyle CM). Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу ( S=frac{1}{2}a~cdot h).

1) B ( displaystyle triangle ABM):

“( displaystyle a)” – это ( displaystyle AM)
“( displaystyle h)” – это ( displaystyle BH)

( displaystyle Rightarrow {{S}_{triangle ABM}}=frac{1}{2}~AM~cdot BH)

2) B ( displaystyle triangle BMC):

“( displaystyle a)” – это ( displaystyle CM)
“( displaystyle h)” – это опять ( displaystyle BH)

( displaystyle Rightarrow {{S}_{triangle BMC}}=frac{1}{2}~CM~cdot BH)

Запишем ещё раз:

( displaystyle {{S}_{triangle ABM}}=frac{1}{2}~AM~cdot BH); ( displaystyle {{S}_{triangle BMC}}=frac{1}{2}~CM~cdot BH)

Но ( displaystyle AM=CM)! (Посмотри на рисунок или вспомни, что ( displaystyle BM) – медиана).

Значит, ( displaystyle {{S}_{triangle ABM~}}={{S}_{triangle BMC~}}) – площадь ( displaystyle triangle ABC) разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно – всего-то одна формула площади.

НЕ ПРОПУСТИ!

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор “капканов” – все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Три медианы треугольника

Теорема.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

1
( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
2
( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) – поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

1
( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
2
( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось, что

( displaystyle AF=FE) (мы так выбирали точку ( displaystyle F))
( displaystyle FE=EK) (из-за того, что ( displaystyle NKGF) – параллелограмм)

То есть ( displaystyle AF=FE=EK) – медиана ( displaystyle AK) разделена точками ( displaystyle F) и ( displaystyle E) на три равные части. И точно так же ( displaystyle CG=GE=EN).

Значит, точкой ( displaystyle E) обе медианы разделились именно в отношении ( displaystyle 2:1), то есть ( displaystyle AE=2EK) и ( displaystyle CE=2NE).

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану ( displaystyle CN) и проведем медианы ( displaystyle AK) и ( displaystyle BM).

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан ( displaystyle AK) и ( displaystyle CN). Что тогда?

Получится, что медиана ( displaystyle BM) разделит медиану ( displaystyle AK) абсолютно точно так же: в отношении ( displaystyle 2:1), считая от точки ( displaystyle A).

Но сколько же может быть точек на отрезке ( displaystyle AK), которые делят его в отношении ( displaystyle 2:1), считая от точки ( displaystyle A)?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка ( displaystyle E).

Что же получилось в итоге?

Медиана ( displaystyle BM) точно прошла через ( displaystyle E)! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении ( displaystyle 2:1), считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

Эти задачи в сумме дают 6 первичных баллов на ЕГЭ! В сдвоенный курс входят:

16 двухчасовых вебинаров с Алексеем Шевчуком (12 по планиметрии и 4 по экономической задаче);
домашние работы и их моментальная проверка платформой 100gia;
итоговые тесты на усвоение материала;
ответы Алексея Шевчука на ваши вопросы во время вебинаров и в закрытой группе Вконтакте;
доступ к записям вебинаров и ко всем другим материалам курса до 1 августа 2021 года.

Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем.

Итак, ( displaystyle {{m}^{2}}=frac{1}{4}~left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} right))

Медиана в прямоугольном треугольнике

Теорема.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник ( displaystyle ABCD).

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD)

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, …»)
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC). Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В ( displaystyle triangle ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN). Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем: если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

( AB=13)

Вот и ответ!

P.S. Анонс бесплатных вебинаров на 14-е февраля 2021

Математика. ЕГЭ 13. Тригонометрическая замена. Задача-оборотень.

14 февраля 2021, воскресенье, 11-00

Мы на курсе уже прошли тригонометрию и научились решать 13-е задачи. В этих задачах чаще всего нужно синус или косинус заменить какой-то буквой, и решать квадратное уравнение.

Но что если я вам скажу, что есть такие задачи, в которых всё наоборот – нужно обычный икс заменить на синус или косинус, хотя изначально там нет никакого намёка на тригонометрию?

Приходите на урок в ближайшее воскресенье, и увидите такую задачу-оборотня, а заодно – научитесь решать дичайшие иррациональные уравнения.

https://youclever.org/free-sunday-webinars/ – регистрация на вебинары.

Информатика. ЕГЭ 24. Решаем задачу 24 несколькими способами

14 февраля 2021, воскресенье, 12-30

Вот чем хорош язык Python? Ну в общем-то всем, конечно:) Но особенно нас при подготовке к ЕГЭ в нём порадует огромное количество встроенных функций и методов для работы с текстом. Ведь в ЕГЭ есть задача №24, в которой нужно анализировать огромный текст. Приходите на наш бесплатный вебинар в воскресенье – там мы разберём одну такую задачу несколькими способами – и вы выберете для себя, какие приёмы вам больше по душе.

https://youclever.org/free-sunday-webinars/ – регистрация на вебинары.

Зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

Источник

18 января 2021

Медиана — это…
Пересечение медиан треугольника
В равностороннем треугольнике
Медиана прямоугольного треугольника
Вместо заключения

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это…

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Комментарии и отзывы (1)

Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут?

Источник