Какое свойство лапласа отражает

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 мая 2020; проверки требует 1 правка.

Символы со сходным начертанием: L · Ⅼ · Լ

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение[править | править код]

Прямое преобразование Лапласа[править | править код]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию называют изображением функции .

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: и , причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа[править | править код]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича[2].

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа[править | править код]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

-преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

Свойства и теоремы[править | править код]

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и — аналитическая функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
: преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

Если изображение — аналитическая функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

где — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, если все полюсы функции находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править | править код]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Применения преобразования Лапласа[править | править код]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.[3]
Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

По заданному входном воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
По д.у. составляю передаточную функцию.
Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
Определяют оригинал.[4]

Связь с другими преобразованиями[править | править код]

Фундаментальные связи[править | править код]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона[править | править код]

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Преобразование Фурье[править | править код]

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом :

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина[править | править код]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование[править | править код]

-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где — период дискретизации, а — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля[править | править код]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография[править | править код]

Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

См. также[править | править код]

Первая теорема разложения
Вторая теорема разложения
Преобразование Фурье
D с чертой-преобразование
Дифференциальные уравнения

Ссылки[править | править код]

Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org)
Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru

Примечания[править | править код]

Источник

Операторный метод берет начало со времени анализа бесконечно малых величин, когда были обнаружены определенные аналогии между дифференциально-интегральными и алгебраическими уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по операционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XX в. на базе общей теории функциональных преобразований.

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t 0 (при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L – оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала

При ненулевых начальных условиях: f(0–)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t = atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания)

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = t ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения)

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности)

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция

Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака)

Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):

Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции):

Экспоненциальный сигнал при t > 0:

т. е.

Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 приведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречающихся в теории электрических цепей функций.

Источник

17 сентября 2015

Таблица значений функции Лапласа

Данная теорема является дальнейшим развитием схемы Бернулли и позволяет работать с диапазонами: какова вероятность, что число успехов будет лежать в пределах указанного отрезка.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний $n$ достаточно велико, а вероятность успеха $0 lt ,p, lt 1$. Пусть также$q=1-p$ — вероятность неудачного испытания. Тогда вероятность того, что число успехов будет лежать в пределах от ${{k}_{1}}$ до ${{k}_{2}}$, можно примерно посчитать по формуле:
[{{P}_{n}}left( {{k}_{1}};{{k}_{2}} right)approx Phi left( frac{{{k}_{2}}-np}{sqrt{npq}} right)-Phi left( frac{{{k}_{1}}-np}{sqrt{npq}} right)]
где
[Phi left( x right)=frac{1}{sqrt{2text{ }!!pi!!text{ }}}intlimits_{0}^{x}{{{e}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt}]

Функция $Phi left( x right)$ называется функцией Лапласа и содержит в себе интеграл, который не считается напрямую. Как следствие, значения этой функции сведены в таблицу, которую можно загрузить прямо на этой странице.

Разумеется, в таблице приведены не все возможные значения. Для больших значений $x$ (скажем, для $x gt 6$ ) считают, что $Phi left( x right)approx 0,5$. Кроме того, функция Лапласа является нечётной, поэтому из неё можно выносить знак «минус»:

[Phi left( -x right)=-Phi left( x right)]

Это прямо следует из определения, в котором присутствует определённый интеграл.

Что такое “интегральная теорема Муавра-Лапласса”?

Сегодня мы разберем интегральную теорему Муавра-Лапласа. Это «старшая сестра» второй версии теоремы Муавра-Лапласа, разобранной в прошлом уроке. Во-первых, разберемся, зачем вообще нужна еще одна теорема — интегральная.

Допустим, у нас есть 1000 изделий, о которых известно, что там в среднем есть 10% брака. Однако это не означает, что в партии из 1000 изделий будет ровно 100 бракованных изделий, скорее всего, их будет 101-102 или 98, но не 100. Вероятность того, что будет ровно 100, легко считается при помощи более легкой теоремы Муавра-Лапласа, и вы можете сами убедиться, что она будет велика. В этом случае возникает вопрос: «Какова тогда вероятность, что деталей будет от 95 до 105, либо от 50 до 150?». Считать такую конструкцию при помощи первой версии теоремы Муавра-Лапласса крайне сложно, потому что нам придется отдельно посчитать, какова возможность того, что бракованных изделий будет 50, 51, 51 и так до 150, т.е. сто отдельных однотипных вычислений. Это очень трудоемко и бессмысленно. Вот именно в таких примерах нам на помощь приходит интегральная теорема Муавра-Лапласа. С назначением самой интегральной теоремы все ясно, теперь давайте разберемся с ее формулой.

Вероятность того, что при $n$-испытаниях количество успешных испытаний будет в пределах от ${{K}_{1}}$ до ${{K}_{2}}$ выражается следующей формулой:

[{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}} right)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}} right)]

Сама же функция $F$ называется функцией Муавра-Лапласа, и выглядит она следующим образом:

[Fleft( x right)=frac{2}{sqrt{2text{ }!!pi!!text{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

Сразу же скажу, что данный интеграл «красиво» не считается, поэтому вместо красивого интегрирования у вас всегда будет в распоряжении таблица значений функции Лапласа, и с помощью этой таблицы, а также некоторых способов, которые мы разберем чуть позже в этом уроке, мы и будем решать все примеры на данную интегральную теорему.

Разумеется, возникает вопрос «А что это за буквы такие — $n$, $q$, $p$?».

С $n$, я думаю, все понятно — это число испытаний.

$p$ — это вероятность успеха в каждом конкретном испытании.

$q$ — по аналогии с формулой Бернули это вероятность провала, т.е. неуспеха в каждом конкретносм испытании. Считатеся она по очень простой формуле:

[q=1-p]

Надеюсь, с буквами теперь понятно, поэтому перейдем к решению конкретных примеров.

Задача № 1

Начнем мы с довольно простой задачи, однако уже на ее примеры мы познакомимся с особенностями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласса.

Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, находящихся в аудитории, окажется не менее 10%, носящих очки?

В первую очередь, давайте запишем саму интегральную теорему Муавра-Лапласса:

[{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}} right)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}} right)]

При этом полезно помнить еще одну формулу:

[Fleft( x right)=frac{2}{sqrt{2text{ }!!pi!!text{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

Собственно, из-за этого интеграла, присутствуещего в функции Муавра-Лапласса, сама теорема и называется интегральной.

При первом взгляде на эту интегральную теорему многие ученики приходят в шок — уж больно много здесь разных конструкций, корней, вычислений и т.д. На самом деле, все очень просто, и сейчас вы сами в этом убедитесь.

Для начала давайте выпишем все значения. Итак, нам известно следующее:

Всего студентов 200 — $n=200$;
Вероятность попадания студента, который носит очки — $p=0,05$;
Вероятность того, что студенты не носят очки будет равна $1-0,05=0,95$.

Далее мы можем найти $sqrt{npq}$:

[sqrt{npq}=sqrt{200cdot 0,05cdot 0,95}=sqrt{9,5}approx 3,08]

Разумеется, такие вычисления выполняются на калькуляторе.

Кроме того, в нашей формуле, в интегральной теореме Муавра-Лапласса, мы наблюдаем выражение $np$ — произведение количества испытаний на вероятность успеха:

[np=200cdot 0,05=10]

Давайте перепишем формулу с учетом всех фактов:

[{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx Fleft( frac{200-10}{3,08} right)-Fleft( frac{20-10}{3,08} right)=]

[=Fleft( 61,7 right)-Fleft( 3,25 right)]

И вот здесь нас поджидает первая проблема: если мы посмотрим на таблицу значений, то значение $3,25$ здесь еще присутствует, но вот числа от $60$ и более здесь вообще не представлены. Для решения этого вопроса предлагаю взглянуть на исходную формулу Муавра-Лапласса:

[Fleft( x right)=frac{2}{sqrt{2text{ }!!pi!!text{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

При больших «иксах» ${{e}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}$ будет очень маленьким числом, т.е. возрастание $x$ дает очень маленькую, стремящуюся к «нулю» добавку к вероятности. Поэтому для всех «иксов», начиная от шести и более примерно считается, что значение функции Лапласса равно $0,5$. $$ $$

Итак, продолжим наше решение:

[{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx 0,5-0,49942=0,00058=5,8cdot {{10}^{-4}}]

Нюансы решения

Как видите, ничего сверхъестественного. Все применение интегральной теоремы Муавра-Лапласса сводится к следующему:

Аккуратно выписать все значения: число испытаний, вероятность и «единицу» «минус» вероятность.
Посчитать корни и величины.
Пробежаться глазами по таблице и найти значение функции в тех точках, которые мы получили.

Однако, как вы понимаете, это была самая простая задача — существуют гораздо более сложные и навороченные. И один из самых «противных» типов заданий на применение интегральной теоремы Муавра-Лапласса состоит в том, что общая вероятность, которую мы обычно рассчитываем по формуле, нам известна, а необходимо найти либо ${{K}_{1}}$, либо ${{K}_{2}}$. Вот именно сейчас такую задачу мы и решим.

Самое обидное, что именно такие чаще всего и попадаются на всяких контрольных, зачетах и экзаменах. Они будут вам встречаться на исследованиях, где необходимо определить какую-нибудь статистическую величину. Поэтому именно сейчас мы попытаемся решить такую задачу.

Задача № 2

Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа, каждым из которых любой зритель может воспользоваться с равной вероятностью. Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью в 0,99 любой зритель смог раздеться в том гардеробе, в который он обратился сразу после входа в театр.

Я думаю, очевидно, что в данной задаче общее количество испытаний, т.е. человек, которые придут в театр, не более 1000 — $n=1000$.

Всего входов два, при этом в каждый с одинаковой вероятностью входит один и тот же человек — $p=frac{1}{2}$.

Следовательно, $q=1-frac{1}{2}=frac{1}{2}$.

Кроме того, общая возможность того, что при 1000 испытаний количество успеха попадет в искомый нами диапазон, равно 0,99 — ${{P}_{1000}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)=0,99$. Остается разобраться с числами ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{2}}$, т.е. границами диапазона. ${{K}_{1}}$ — наименьшее количество людей, которые могут обратиться в данный гардероб. Очевидно, будет «ноль», потому что меньше нуля прийти не может — ${{K}_{1}}=0$. Остается вопрос: «Чему равно ${{K}_{2}}$?». Именно это нам и нужно найти по условию.

Опять запишем интегральную теорему Муавра-Лапласса:

[{{P}_{1000}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}} right)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}} right)]

Посмотрим:

[np=1000cdot frac{1}{2}=500]

[sqrt{npq}=sqrt{1000cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}}=sqrt{250}=5sqrt{10}=15,8]

Подставим все полученные числа в формулу, с учетом того, что ${{K}_{1}}=0$:

[{{P}_{1000}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-500}{15,8} right)-Fleft( frac{0-500}{15,8} right)=0,99]

Теперь внимательно посмотрим на эту формулу. Отдельно посчитаем значение функции Муавра-Лапласса в следующей точке:

[Fleft( frac{-500}{15,8} right)=-Fleft( 31,6 right)=0,5]

Итого переписывая, мы получаем:

[Fleft( frac{{{K}_{2}}-500}{15,8} right)+0,5=0,99]

[Fleft( frac{{{K}_{2}}-500}{15,8} right)=+0,49]

Единственный способ, при помощи которого можно решить этот пример — это взять таблицу значений функции Муавра-Лапласса и посмотреть, когда она равна $0,49$, при каком $x$. Проблема состоит в том, что точного значения мы не найдем. Однако есть значение функции Муавра-Лапласса в точках $2,32$ и $2,34$ :

[Fleft( 2,32 right)=0,48983]

[Fleft( 2,34 right)=0,49036]

Где-то между ними лежит наша искомая величина $0,49$. А между числами $2,32$ и $2,34$ лежит величина $2,33$. Так и запишем:

[frac{{{K}_{2}}-500}{15,8}=2,33]

Теперь нам осталось решить простейшее уравнение:

[{{K}_{2}}-500=2,33cdot 15,8]

[{{K}_{2}}-500=36,8]

[{{K}_{2}}approx 536,8=537]

Ответ: 537.

Каверзные вопросы

Подождите, есть несколько вопросов. Во-первых, почему мы так легко вынесли «минус» из функции Лапласса наружу, а во-вторых, почему мы постоянно пользуемся калькулятором?

Давайте для начала посмотрим на формулу функции Муавра-Лапласса:

[Fleft( x right)=frac{2}{sqrt{2text{ }!!pi!!text{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

Это, прежде всего, интеграл от «нуля» до $x$ в прелах четной функции, поэтому если перед $x$ внезапно появится «минус», мы можем поменять местами верхние и нижнее пределы интегрирования, при том перед самим интегралом также появится знак «минус», и больше никаких изменений не будет. Это одно из ключевых свойств определенного интеграла.

Кроме того, в таблице значений все аргументы функций приведены именно в виде десятичных дробей, поэтому считая значение функции, мы просто обязаны перевести то, что стоит у нас внутри скобок, в десятичную дробь, в том числе с помощью калькулятора.

В заключение посмотрим еще одну задачку, в которой мы не только еще раз отработаем использование стандартной формулы, но и вспомним, что такое вторая версия теоремы Муавра-Лапласса, отличная от интегральной, и в каких ситуациях она применяется.

Задача № 3

Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найдите вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет:

а) 15 ошибок;

б) менее 20 ошибок.

Решение пункта б)

Что касается б), то тут все вполне очевидно — это чистейшая теорема Муавра-Лапласса, причем интегральная. Так и запишем:

[n=1100]

[p=0,01]

[q=0,99]

[{{K}_{1}}=0]

[{{K}_{2}}=19]

Теперь запишем интегральную формулу Муавра-Лапласса:

[{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} right)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}} right)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}} right)]

Посчитаем:

[np=1100cdot 0,01=11]

[sqrt{npq}=sqrt{11cdot 0,99}=sqrt{frac{11cdot 11cdot 9}{100}}=sqrt{frac{{{11}^{2}}cdot {{3}^{2}}}{{{10}^{2}}}}=frac{11cdot 3}{10}=3,3]

Осталось подставить числа в формулу:

[{{P}_{1100}}left( 0;19 right)approx Fleft( frac{19-11}{3,3} right)-Fleft( frac{0-11}{3,3} right)=]

[=Fleft( 2,42 right)+Fleft( 3,33 right)=]

[=0,49224+0,49960=0,99184approx 0,99]

Ответ: 0,99

Решение пункта а)

А теперь давайте разберемся с пунктом а). В нем от нас требуется, чтобы при тех же исходных данных, вычислить, что в итоге появится ровно 15 ошибок.

Очевидно, что это идеальная задача для применения второй версии теоремы Муавра-Лапласса — не интегральной. Давайте я ее запишу:[]

[{{P}_{n}}left( K right)approx frac{1}{sqrt{npq}}cdot varphi left( frac{K-np}{sqrt{npq}} right)]

Выпишем известные данные:

[n=1100]

[p=0,01]

[q=0,99]

Решим:

[{{P}_{1100}}left( 15 right)approx frac{1}{3,3}cdot varphi left( frac{15-11}{3,3} right)approx 0,303cdot varphi left( 1,212 right)approx ]

[approx 0,303cdot 0,1919approx 0,058]

Ответ: 0,058.

Ключевые моменты

Вот и все, что я хотел вам рассказать об интегральной теореме Муавра-Лапласса, такой, на первый взгляд сложной, но очень простой на практике. Все, что вам необходимо — это

Знать сами формулы для обеих теорем Муавра-Лапласса, в том числе, интегральной.
Грамотно считать корни и элементы $np$, которые являются матожиданием.

В ближайшее время я размещу на своем сайте целый комплект задач, посвященный теоремам Муавра-Лапласса, в том числе, интегральной. Поэтому присоединяйтесь к нам на YouTube, ставьте лайки и пишите комментарии. До новых встреч!

Смотрите также:

Локальная теорема Муавра — Лапласа
Схема Бернулли. Примеры решения задач
Тест по теории вероятностей (1 вариант)
Задача 7 — геометрический смысл производной
Периодические десятичные дроби
Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат

Источник