Какое свойство лапласа отражает что умножение аргумента оригинала

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 мая 2020; проверки требует 1 правка.

Символы со сходным начертанием: L · Ⅼ · Լ

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение[править | править код]

Прямое преобразование Лапласа[править | править код]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию называют изображением функции .

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: и , причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа[править | править код]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича[2].

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа[править | править код]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

-преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

Свойства и теоремы[править | править код]

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и — аналитическая функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
: преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

Если изображение — аналитическая функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

где — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, если все полюсы функции находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править | править код]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Применения преобразования Лапласа[править | править код]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.[3]
Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

По заданному входном воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
По д.у. составляю передаточную функцию.
Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
Определяют оригинал.[4]

Связь с другими преобразованиями[править | править код]

Фундаментальные связи[править | править код]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона[править | править код]

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Преобразование Фурье[править | править код]

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом :

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина[править | править код]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование[править | править код]

-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где — период дискретизации, а — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля[править | править код]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография[править | править код]

Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

См. также[править | править код]

Первая теорема разложения
Вторая теорема разложения
Преобразование Фурье
D с чертой-преобразование
Дифференциальные уравнения

Ссылки[править | править код]

Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org)
Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru

Примечания[править | править код]

Источник

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

, и — постоянные числа, то .

Используя свойства интеграла, находим

Пример №78.4.

Найти изображения функций

( — любое число), .

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

т.е.

Аналогично получаем формулу

Далее,

, т. е.

Наконец,

, т.е.

Аналогично получаем формулу

Подобие

Если

, то , т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Например, пусть

. Тогда

Смещение (затухание)

Если

, то , т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной .

В силу формулы (78.1) имеем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример №78.5.

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

Если

, то , т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив

, получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции

и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

Функция

называется обобщенной единичной функцией (см. рис 305).

Так как

, то .

Запаздывающую функцию

можно записать так:

Пример №78.6.

Найти изображение

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция

должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию

как

т. е.

(см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Если же понимать функцию

как

т. е.

(см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим .

Пример №78.7.

Найти изображение функции

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции

и обобщенной единичной функции . Поэтому .

Пример №78.8.

Найти изображение функции

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда

и :

т.е.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Изображение функции

будет равно

Замечания.

Изображение периодического оригинала с периодом, равным , есть .
Свойство опережения
применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если

и функции являются оригиналами, то

По определению изображения находим

Итак,

. Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной :

Читайте также: Какие свойства у глины

Аналогично найдем изображение третьей производной

Применяя формулу (78.11)

раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)—(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

, то ; если , то , и, наконец, если , то , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на .

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример №78.9.

Найти изображение выражения

если

Решение:

Пусть

. Тогда, согласно формулам (78.11) — (78.13), имеем

Следовательно,

Дифференцирование изображения

Если

, то

т. e. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на

Согласно теореме 78.1 существования изображения,

является аналитической функцией в полуплоскости . Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру (обоснование законности этой операции опустим), получим

т.е.

. Тогда , и вообще .

Пример №78.10.

Найти изображения функций

Решение:

Так как

, то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем , т. е.

Далее находим

, т.е. . Продолжая дифференцирование, получим

С учетом свойства смещения получаем

Согласно формуле (78.5),

. Следовательно,

т. e.

, или

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Интегрирование оригинала

Если

, то , т. е. интегрированию оригинала от 0 до соответствует деление его изображения на .

Функция

является оригиналом (можно проверить).

Пусть

. Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

(так как

). А так как

то

. Отсюда , т. е. .

Интегрирование изображения

Если

и интеграл сходится, то , т. e. интегрированию изображения от до соответствует деление его оригинала на .

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Пример №78.11.

Найти изображение функции

; найти изображение интегрального синуса .

Решение:

Так как

, то , т.е. . Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем .

Умножение изображений

Если

, то

Можно показать, что функция

является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Область

интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая

, получим

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции

и и обозначается символом , т. е.

Можно убедиться (положив

), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. .

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.

Пример №78.12.

Найти оригинал функций

Решение:

Так как

и то

т.е.

Аналогично получаем

Следствие 78.2. Если

и также является оригиналом, то

Запишем произведение

в виде

или

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам

и . Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример №78.13.

Найти оригинал, соответствующий изображению

Решение:

Так как

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Умножение оригиналов

Если

и , то

где путь интегрирования — вертикальная прямая

(см. рис. 310) (примем без доказательства).

Резюме

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

Линейность: .
Подобие: .
Смещение: .
Запаздывание: .
Дифференцирование оригинала:
Дифференцирование изображения
Интегрирование оригинала: .
Интегрирование изображения: .
Умножение изображений: .
Умножение оригиналов: .

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Таблица оригиналов и изображений

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Примеры решения задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Источник