Какое свойство тела выражает момент инерции и как он вычисляется

Когда тело продолжает двигаться при отсутствии на него воздействия каких-либо сил, говорят о проявлении инерции. Именно ею объясняются трудности удержаться на ногах при резком торможении автобуса или усидеть в седле велосипеда, когда под колеса резко выбегает кот. Кроме инерции, проявляющейся при движении тел по прямой, аналогичное явление бывает при вращении вокруг оси. В таком случае в физике говорят о моменте инерции – скалярной величине, измеряющей инертность тела при осевом вращении.

Момент инерции и его физический смысл

Обеспечить поступательное движение предмета при его толкании будет тем тяжелее, чем больше он весит. Аналогичные эксперименты предусматривались школьной программой и относились к прямо направленному действию.

Источник: encrypted-tbn0.gstatic.com

Было понятно, что именно масса тела характеризует  степень его инертности и является ее мерой.

При совершении предметом вращательных движений наблюдается иной вид зависимости. В данном случае мерой инертности выступает момент инерции.

Момент инерции – скалярная измеряемая характеристика инертности тела в момент совершения осевого вращения.

Задачи по определению величины момента инерции решаются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера, смысл которой заключается в следующем:

МИ для тела, вращающегося вокруг какой-либо оси, равна сумме слагаемых единиц: момент инерции предмета, который вращается вокруг оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, а также произведения массы на расстояние между осями, возведенное в квадрат.

Источник: theslide.ru

В приведенной формуле используются следующие обозначения: d – расстояние между осями, m – масса тела, Iz – момент инерции относительно рассматриваемой оси, а Ic – относительно оси, которая проходит через центр масс. В профильной литературе и учебниках буква I может заменяться J.

Формулировка способа количественного измерения момента инерции при осевом вращении предмета стала возможной в результате работы двух ученых-математиков: Гюйгенса и Штейнера. Теорема дает возможность быстрого решения задач на определение инерции предмета любой формы, для которого уже просчитана центробежная сила. Формула Штейнера позволяет вычислить момент инерции этого предмета относительно выбранной оси, проходящей параллельно прямой, следующей через центр фигуры.

Единицы измерения в системе СИ

Единицей измерения момента инерции, принятой в системе СИ, является кг, умноженный на метр в квадрате – кг·м². В еще одной системе измерения (СГС) единицей измерения является грамм на квадратный сантиметр – г·см².

Как рассчитать момент инерции, формула

Измерение значения момента инерции можно произвести теоретически, согласно формуле. Для этого условно движущийся предмет разбивается на мелкие составляющие, масса которых обозначается  dm. В конечном итоге момент инерции (МИ) равняется сумме произведений всех образовавшихся масс на расстояние до оси, возведенное в квадрат.

Источник: works.doklad.ru

Исходя из этой формулы, момент инерции, кроме массы тела, определяется положением оси, вокруг которой предмет вращается, а также его формой и габаритами.

Возможность рассчитать моменты инерции полезна, к примеру, при исследованиях свойств и структуры элементов Солнечной системы. Это так называемый безразмерный момент инерции. Высчитанная по формуле величина дает представление о распределении массы по глубине.

Виды моментов инерции

Кроме безразмерного момента инерции, в физике существуют понятия:

• центробежный МИ;
• главный МИ;
• геометрический МИ;
• МИ относительно плоскости;
• центральный МИ;
• тензор инерции;
• эллипсоид инерции.

Центробежными МИ относительно прямоугольных осей координат (декартовой системы) считаются Jxy, Jxz, Jyz. Ось ОХ является главной, когда центробежные моменты инерций Jxy и Jxz равняются нулям.

Любая точка тела может являться центром трех главных осей инерции. Они характеризуются взаимной перпендикулярностью. МИ относительно них считается главным для данного предмета. Главные оси, которые пролегают через центр масс, – являются главными центральными осями инерции предмета. МИ относительно них – главные центральные МИ. Для однородного тела ось симметрии всегда является главной центральной осью инерции.

Для геометрических МИ существуют формулы, основывающиеся на объеме относительно оси и площади относительно оси.

Твердое тело может иметь МИ относительно плоскости. Тогда это – скалярная величина, которая рассчитывается суммированием произведений массы каждой точки предмета и расстояния от нее до плоскости, возведенного в квадрат.

Понятие «Центрального МИ» связано с точкой О, МИ относительно полюса либо полярным МИ.

Момент инерции тела относительно оси вращения

МИ служит единицей измерения инерции тела, которое вращается вокруг оси, подобно тому, как масса является мерой при поступательном движении.

Определить МИ предметов касательно оси вращения позволяет формула Штейнера.

Пример:

Наглядное подтверждение применения формулы Штейнера – расчет МИ стержня, ось вращения которого проходит через конец.

Моменты инерции простейших объектов

Момент инерции некоторых однородных тел, имеющих простую форму, в зависимости от характеристик осей вращения можно определить по следующим формулам:

1. МИ точечного предмета либо полого цилиндра с тонкими стенками (с массой m и радиусом r) = mr2
2. МИ диска или сплошного цилиндра = 1/2 mr2
3. МИ цилиндра с толстыми стенками, у которого внешний радиус обозначен r2, а внутренний – r1, :

    
   В указанных случаях ось вращения является осью цилиндра.

4. МИ сплошного цилиндра с осью вращения, перпендикулярной образующей цилиндра, расположенной по центру масс:

    

5.  МИ полого цилиндра с тонкими стенками и осью, перпендикулярной к цилиндру и проходящей через центр масс:

    

6. МИ прямого тонкого стержня с осью, перпендикулярной к нему и проходящей через центр масс:

    

7. МИ сферы с тонкими стенками и осью по центру = 2/3 mr2
8. МИ шара с осью по центру = 2/5 mr2
9. МИ равнобедренного треугольника с осью, перпендикулярной его плоскости и проходящей через вершину:

    

Примеры решения задач

Применение на практике приведенных формул происходит, например, для решения следующих задач.

Пример №1

Задано найти МИ однородного диска с известными массой и радиусом. Из дополнительных сведений: ось вращения – через центр диска.

Для решения диск разбивается на тонкие кольца, радиусы которых равняются от 0 до R. Взяв одно из них и обозначив его радиус буквой (r), а массу – (dm), формула для расчета МИ  (согласно теореме Гюйгенса-Штейнера) выглядит следующим образом: (dJ=dmr2.)

С учетом подстановки в конечную формулу для определения МИ формулы для массы кольца получаем:

Пример № 2

Задано найти у того же диска МИ относительно оси, которая проходит через середину радиуса.

Из предшествующего задания используем найденную величину МИ относительно оси, которая проходит через центр масс. Используя формулу Штейнера, решаем задачу.

Если решать аналогичные задачи нет желания или времени, а контрольную работу нужно сдать в срок, на помощь придут сотрудники Феникс.Хелп. 

Основные понятия и суть

Инерция — это способность тела сохранять приданную ей скорость движения при отсутствии какого-либо внешнего воздействия. Например, во время езды на общественном транспорте всем приходится держаться за поручни. Если этого не сделать, то при изменении скорости движения транспортного средства существует большая вероятность упасть вперёд или назад. Другими словами, возникает какая-то сила, влияющая на пассажира. Когда её действие заканчивается, движение человека всё равно продолжается.

Это свойство и описывается понятием инертность. Раньше изучали это явление известные учёные Галилей, Ньютон, Мах. В соответствии с их исследованиями было установлено классическое правило момента вращения, физический смысл которого заключается в распределении массы в теле, определяемой суммой произведения простейшей массы на расстояние до начального множества в квадрате. Классическая формула, описывающая характеристику, выглядит следующим образом: Ja = Σmi*r2j. В ней:

• mi — масса в точке;
• rj — расстояние от точки до координаты.

То есть момент — это скалярная величина, являющаяся мерой инертности. В качестве единицы измерения по международной системе принято использовать произведение килограмма на квадратный метр (кг*м²). Обозначают параметр латинской буквой I или J. При умножении момента инерции на угловое ускорение можно определить сумму моментов всех сил, приложенных к телу: M = I * E. Фактически это уравнение является аналогом второго закона Ньютона.

М — это момент силы, оказывающий вращательное движение и воздействующий на ускорение тела, а E — угловое ускорение. Мера инертности тела отличается от массы тем, что вторая проявляется, когда его необходимо разогнать, а первая — при его раскручивании.

Вычисление параметра

Характеристика инерции тел зависит от их количественных показателей и формы. Для того чтобы найти характеристику, можно рассмотреть вращение материальной точки, находящейся на невесомой штанге, имеющей длину r и массу m. Для такой ситуации формулу момента инерции можно записать: I = m*r2. Длина r представляет собой радиус кольца, по которому происходит вращение объекта по оси. Таким образом, рассматриваемый момент зависит не только от массы тела, но и геометрических характеристик.

Любое тело можно описать совокупностью материальных точек. Для понятия процесса лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть имеется невесомый цилиндр, способный вращаться по радиусу Rc. На него намотана верёвка, к которой приложена сила F. На цилиндр будут насаживаться тела с различной формой. Если известны его радиус и сила, с которой происходит раскручивание, то справедливо будет записать следующее выражение: M = F*Rc.

Допустим, на цилиндр помещены два тела. Одно имеет массу m1 и радиус вращения r1, а другое — m2 и r2. Используя основное уравнение динамики вращательного движения для первого тела с угловым ускорением ƹ1, момент силы можно определить как M1 = I1 * ƹ1. Соответственно, для второго предмета сила будет определяться по формуле: M1 = I2 * ƹ2.

Если эти два тела жёстко скрепить между собой, то они буду представлять собой составные части одного предмета, поэтому их угловые ускорения станут одинаковы (ƹ1 + ƹ2 = ƹ), а требующийся момент M станет равный сумме M1 + M2. Подставив значения, получим равенство M = I1*ƹ + I2*ƹ. Выражение можно упростить до вида M = ƹ (I1+I2). То есть нужный момент для тела, состоящего из совокупности точек, будет равен произведению суммы моментов инерции на угловое ускорение обоих тел.

Из сказанного можно сделать вывод, что момент инерции всего тела равен сумме моментов составных частей. Другим словами, он обладает свойством аддитивности. Используя это, можно составить алгоритм расчёта для любой формы.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

• Аддитивность — свойство, обозначающее, что величина целого значения определяется суммой соответствующих ему частей.
• Формула нахождения момента для материальной точки I = m*r2.

Всё тело можно разделить на мельчайшие частички, которые представляют собой материальные точки. Номера этих кусков обозначают в виде i. Масса произвольной части будет определяться как дельта mi. Пусть этот кусок находится на расстоянии ri от оси вращения O. Для этой части момент вращения находится с помощью выражения Ii = Δ mi*ri2. Учитывая аддитивность, общий момент будет равен I = Σ Δ mi*ri2, где i принимает значение от 1 до n.

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

• прямая пропорциональность массе;
• соответствие квадрату размера;
• изменение с учетом оси вращения.

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000. Получается, если спицу будут закручивать с одинаковым моментом вокруг вертикальной оси и горизонтальной, то в первом случае она станет крутиться в 15 тыс. раз быстрее.

Моменты простейших объектов

Проведение интегрирования — довольно трудная операция, предполагающая хорошее знание высшей математики. Существует таблица, в которой собраны вычисления инерции для простейших геометрических фигур. При взятии сведений из неё важно обращать внимание на то, относительно какой оси приводится момент вращения объекта. Характеристика инерции для наиболее используемых объектов в физике имеет следующий вид:

1. Кольцо. Предположив, что точка имеет симметричное значение с противоположной стороны оси, можно утверждать, что формула не изменится. Если же точку распределить по плоскости перпендикулярной оси, то получится кольцо. Оно будет иметь такую же массу с кусками, находящимися на одинаковом расстоянии от центра r. Вычисление момента относительно оси вращения выполняют по той же формуле, что и для материальной точки: I = m * r2.
2. Тонкостенный цилиндр. Нарисовав такую фигуру и указав на ней ось вращения, массу и радиус, несложно будет увидеть, что формула для нахождения момента будет аналогична кольцу.
3. Диск. Вращение его происходит относительно оси, проходящей через его центр. Учитывая, что масса однородного диска распределена по всей его площади, то момент его будет меньше, чем у кольца. Проведённые расчёты показали, что момент диска будет меньше в два раза. Таким образом, формула выглядит как I = m*r2 / 2.
4. Сплошной цилиндр. Получают такую фигуру простым распределением массы сплошного диска вдоль оси. По аналогии с кольцом расчёт его характеристики инерции будет совпадать с однородным диском.
5. Шар. Момент проходящей оси через центр тяжести равен удвоенному произведению m*r2, разделенному на 5: I = (m*r2) * 2/5.
6. Сфера. Такой объект отличается от шара лишь тем, что внутри он полый. Направление вращения оси происходит через центр. Значение параметра для неё будет больше, чем шара, так как масса собрана не статически в одном месте, а размещена по всей поверхности. Расчёты показывают, что найти момент можно по формуле I =2*m*r2 /3.
7. Стержень. Момент вращения проходит через центр вдоль оси, перпендикулярной стержню: I = (1/12) * m*L2. L — длина стержня.

При использовании этих формул необходимо учитывать, что единицей измерения момента инерции является кг* м², поэтому при расчёте величины следует приводить значения к этим единицам.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема была названа в честь двух математиков, давших формулировку определению характеристики параллельных осей. Например, пусть имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, можно вычислить момент тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры. В своём выводе учёные опирались на две формулы:

1. Вычисления координаты центра масс: X = (m1*x1 + m2*x2+…+Mi*Xi) / (m1+m2+…+Mi) = (Σ Δ mi*ri 2)/ m.
2. Универсального расчёта инерции любого тела: I = Σ Δ mi*ri 2.

Обозначив центр произвольной оси буквой O, а один из множества кусков — Δm, можно воспользоваться универсальной формулой. Сначала необходимо определить квадрат расстояния до оси вращения ri. Для этого через центр проведём ось Oц, а расстояние между O и Oц обозначим как d.

Указанные значения нужно выразить через координаты кусочка. Для этого строится ось абсциссы, проходящая через Oц, и ординаты — O. При таком выборе направления начала координат x центр масс равняется d, а у — нулю. Фактически получится прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать: I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результате можно отметить, что момент в точке O будет прямо пропорционален расстоянию между Δ m и центром. Это и есть главный вектор на чертеже. Для его обозначения вводится длина r’.

Находится ri’2 по формулам для прямоугольного треугольника, в котором один катет равняется yi, а другой — xi — Oц. Значение ri’ совпадает с длиной гипотенузы. Таким образом, ri’2 = (xi — Oц)2 + yi2. Подставив полученное равенство в формулу нахождения параметра момента в центре, можно получить следующую формулу: Io = Σ Δ mi* ((xi — Oц)2 + yi2). После ряда подстановок и упрощения выражения в итоге получится равенство Io = I + m*x i2 — 2*m*xi2 = I — m*xi2.

Так как x центра масс совпадает с d, расстоянием между осями, одну из которых можно направить через центр, то формулу можно переписать как Io = I — m*d2. Выразив из выражения произвольный момент, формула Штейнера примет вид I = Io + m*d2.

Другими словами, теорема определяет, что характеристика инерции тела относительно любой оси находится как сумма моментов относительно параллельной оси, пересекающей центр масс, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Сопротивлением вращению пренебрегают.

Пример задачи

Допустим, есть монета с массой m и радиусом r. Вращение происходит вокруг оси, распложенной по касательной. Необходимо найти момент вращения.

Для этого нужно знать характеристику прямой, пересекающей центр монеты Io. Решение будет определяться суммой Io и расстоянием от центра до касательной, которая равняется диаметру монеты: I = Io + md2. Фактически задача состоит в нахождении Io. Определяется этот параметр согласно теореме о взаимно перпендикулярных осях.

Момент вращения относительно диска определяется с помощью выражения I1 = m* d2 / 2. Для решения задачи она будет выглядеть Io = m* d2 / 4. Подставив все данные, получим: I = (1m*d2 / 4) + (md)2 = 5*m*d2 /4.