Какое свойство у диагоналей параллелепипеда

Объект изучения

Прежде чем рассматривать формулу диагонали параллелепипеда, следует изучить подробно, что собой представляет эта фигура. Речь идет о призме, для которой характерны следующие особенности:

• основание представляет собой прямоугольник или квадрат;
• она является прямой, то есть длина любого ее бокового ребра совпадает с высотой.

Как и любой объект в пространстве, параллелепипед состоит из набора элементов. К ним относятся:

1. 8 вершин (точки, в которых пересекаются 3 ребра).
2. 12 ребер (8 из них принадлежат двум основаниям и 4 являются боковыми).
3. 6 граней (2 из них называются основаниями, остальные 4 образуют боковую поверхность). Все грани — прямоугольники. Если они являются квадратами, получается частный случай прямоугольного параллелепипеда — куб.

Фигуру можно получить, если взять плоский четырехугольник с прямыми углами и переместить его вдоль направленного отрезка, который перпендикулярен его плоскости. Длина вектора будет высотой, а исходный прямоугольник — основанием.

С прямоугольным параллелепипедом удобно работать, поскольку его форма идеально соответствует декартовой системе координат. По этой причине существует множество формул, применяя которые можно рассчитать любую геометрическую характеристику объекта.

Теорема Пифагора

Теорема справедлива для любого треугольника с прямым углом. Данные исторических архивов свидетельствуют, что греческий философ Пифагор впервые доказал, что при складывании квадратов катетов всегда получается квадрат гипотенузы, то есть стороны, которая лежит против прямого угла.

Теорема Пифагора — полезный геометрический инструмент при расчетах параметров не только треугольников, но и прямоугольников. Если 2 противоположные (несмежные) вершины четырехугольника соединить, получится отрезок, который называется диагональю. Она делит фигуру ровно на 2 половинки, каждая представляет собой треугольник с углом 90 градусов, если исходный четырехугольник является прямоугольным.

Исходя из геометрических построений можно понять, что прямоугольник имеет 2 одинаковые диагонали. Если предположить, что стороны фигуры равны a и b, диагональ c легко рассчитывается по теореме Пифагора: c = (a 2 + b 2 )^0,5.

В случае квадрата получается еще более простая формула: c = a*(2)^0,5.

Диагональ параллелепипеда

Особое внимание этому элементу фигуры принято уделять по причине того, что он часто используется для вычисления объема и площади поверхности, совместно с двумя другими линейными параметрами. Прямоугольный параллелепипед определяется тремя линейными характеристиками.

Геометрический элемент

Чтобы построить диагональ параллелепипеда, необходимо рассмотреть его произвольную вершину. Она соединена ребрами с тремя другими. Еще 3 можно соединить с помощью диагоналей граней. В итоге остается лишь одна вершина, которая с исходной соединяется отрезком, проходящим через весь объем фигуры. Этот отрезок называется диагональю параллелепипеда.

Из этих рассуждений несложно понять, сколько диагоналей у параллелепипеда — 4. Их особым свойством является равенство длин. Оно следует из факта симметричности фигуры.

Вывод формулы

Для определения длины диагонали параллелепипеда следует ввести некоторые обозначения. Все вершины одного основания будут A, B, C, D, а их аналоги — A1, B1, C1, D1.

Пусть следует найти диагональ AC1. Дополнительными обозначениями сторон, которые облегчат процедуру вывода формулы, будут:

• a — сторона AB;
• b — сторона AD;
• h — высота параллелепипеда, равна длине сторон AA1, BB1, CC1 и DD1.

Сначала необходимо рассмотреть треугольник ABC, который лежит в плоскости одного из оснований. В нем угол B является прямым, а сторона AC — гипотенуза. Если применить теорему Пифагора, получится следующий результат для длины AC: AC = (a 2 + b 2 )^0,5.

Теперь следует обратить внимание на фигуру, которая ограничена вершинами A, C и C1. Это прямоугольный треугольник, в котором стороны AC и CC1 являются катетами, а диагональ AC1 — гипотенуза. Используя введенные обозначения и снова применяя теорему греческого философа: AC1 = (AC 2 + CC1 2 )^0,5 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5.

Полученное выражение является искомой формулой для диагонали. Равенство позволяет сделать умозаключение: какие бы стороны ни образовывали фигуру, и какой бы формы она ни была, ее объемная диагональ всегда больше, чем любая из диагоналей грани. Они станут равны только в случае вырождения параллелепипеда в прямоугольник на плоскости (h = 0).

Случай куба

Все рассуждения касательно вывода формулы диагонали параллелепипеда остаются верными для куба. Поскольку фигура обладает высокой симметрией в пространстве, для однозначного определения всех ее параметров необходимо знать лишь одну-единственную сторону квадрата. Пусть это будет a. Общая формула для длины диагонали имеет вид: AC1 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5.

Если подставить сюда вместо b и h длину стороны a, получается следующее простое равенство: AC1 = a*(3)^0,5.

В кубе его объемная диагональ приблизительно в 1,225 раза больше, чем аналогичный отрезок для грани.

Объем и площадь поверхности

Полученная формула для диагонали не является исключительно теоретической. Ее можно применять для расчета важных для практики величин, например, объема фигуры и площади ее поверхности.

Объем V и площадь поверхности S вычисляются по таким формулам:

• V = a*b*h;
• S = 2*(a*b + a*h + b*h).

V и S однозначно определяются, если знать 3 линейных параметра фигуры. Одним из них может являться длина объемной диагонали, которая зависит от тех же величин, что V и S.

При решении задач, в которых необходимо найти какой-либо объемный параметр или характеристику площади через известные диагонали, потребуется выполнять вычисления с квадратными и кубическими уравнениями.

Косоугольная фигура

Параллелепипед бывает не только прямоугольным, но и наклонным или косоугольным. Основной его отличительной чертой является, что боковое ребро наклонено к плоскости прямоугольного основания под некоторым углом, который отличается от 90 градусов. В таком случае высота фигуры оказывается меньше длины этого ребра.

Наклонный параллелепипед также имеет 4 диагонали в объеме, однако они не всегда имеют одинаковую длину. В этом случае не существует какой-либо конкретной формулы для расчета длины. Для решения подобных сложных задач можно воспользоваться двумя методами:

1. Если известны двугранные углы, определяющие наклоны боковых граней по отношению к основаниям, можно воспользоваться знаниями тригонометрии для вычисления диагоналей. Метод является достаточно сложным, поскольку требует знания других теорем.
2. Если известны координаты вершин параллелепипеда в прямоугольной декартовой системе координат, можно воспользоваться достаточно простым методом вычисления длин отрезков. Для этого следует найти разности соответствующих координат выбранных вершин, возвести каждую из разностей в квадрат, взять сумму полученных трех слагаемых и возвести ее в степень ½. Это обычный метод нахождения длины отрезка по координатам его концов.

Пример решения задачи

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники ABCD и A1B1C1D1. Известны следующие его параметры:

• диагональ грани бокового четырехугольника AD1 = 5 см;
• высота AA1 = 4 см;
• объем V = 64 см.

Необходимо найти объемную диагональ этой фигуры.

Пусть AB = a, AD = b, AA1 = h. Для решения задачи сначала необходимо выписать известные равенства, выраженные через параметры a, b, h:

• V = a*b*h = 64;
• AD1 2 = a 2 + h 2 = 5 2 = 25.

Из выражения для AD1 и h = 4 см получается значение a = 3 см. При подстановке его в формулу для V, получается значение стороны b = 5,33 см.

Теперь остается подставить значения a, b, h и рассчитать по формуле значение AC1. Получается число: AC1 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5 = (3 2 + 5,33 2 + 4 2 )^0,5 = 7,31 см.

Таким образом, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Для определения их длины необходимо сложить квадраты длин всех сторон объемной фигуры и взять квадратный корень от полученной суммы.

Одной из самых распространённых фигур в геометрии является прямоугольный параллелепипед. Формула его диагонали позволяет найти различные параметры объекта из-за своих замечательных свойств. Знать, что она представляет, необходимо не только для решения задач, связанных с многогранником, но и для успешного изучения стереометрии. Поэтому важно не только запомнить теоремы и формулы, дающиеся учителем в шестом классе средней школы, но и уметь применять знания.

Общие сведения

В математике существует раздел, который называют стереометрией. Это наука, изучающая свойства фигур в пространстве. Геометрические объёмные тела состоят из точек, прямых и плоскостей. В зависимости от их взаимного расположения формируется та или иная фигура. Основным телом в стереометрии является многогранник — поверхность, состоящая из определённого числа многоугольников.

По сути, параллелепипед — это фигура, состоящая из шести прямоугольников. Его часто называют шестигранником. Образовывается он путём пересечения трёх пар плоскостей параллельных друг другу. Стороны, формирующие параллелепипед, называют гранями, а точки ограничивающие отрезки — вершинами. Таким образом, многогранник имеет шесть сторон и восемь вершин.

Прямоугольный объект отличается тем, что все углы в нём равняются девяносто градусов, а в основании лежит прямоугольник. Одной вершине прямоугольного многогранника сразу принадлежит три ребра. В литературе их часто называют измерениями. Правильным многогранником называют тот, у которого длины двух граней-измерений равны.

Фигура отличается следующим:

• стороны, располагающиеся напротив друг друга, не только равны, но и параллельны;
• линии, соединяющие по диагонали вершины пересекаются в одной точке делящую их пополам;
• квадрат диагонали можно найти как сумму трёх измерений — высоты, длины и ширины;
• если основания представляют собой квадрат, то фигуру называю кубом.

Кроме этого, объём прямоугольного объекта можно найти, перемножив три размерности фигуры. Если стороны основания обозначить как a и b, а высоту c, то формула для вычисления будет выглядеть как V = a * b * c. В частном случае объём для куба вычисляют по упрощённой формуле: V = a3. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности равняется: S = 2ab + 2bc + 2ac.

В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Его объём будет составлять третью часть от размера основного геометрического тела. Из типовых предметов с формой параллелепипеда в качестве примера можно привести спичечный коробок, кирпич, упаковочную почтовую коробку.

Диагонали параллелепипеда

Пусть имеются две параллельные поверхности АВС и А1B1C1. Плоскость АА1В1 пересекается с ними соответственно по линиям АВ и А1В1. Учитывая свойства параллельных площадей, можно утверждать, что прямые АВ и А1B1 будут параллельными. А так как и отрезки АА1 и ВВ1 параллельны по условию, то АВВ1А1 параллелограмм. Значит, все грани параллелепипеда — параллелограммы.

Если взять параллелепипед построенный на двух параллелограммах ABCD и А1B1C1D1 расположенных в параллельных плоскостях и соединить их вершины A1C, D1B, можно заметить, что отрезки являются диагоналями как четырёхугольника A1D1CB, так и параллелепипеда.

В четырёхугольной фигуре замкнутые линии A1D1 и BC параллельны и равны, отсюда следует — A1D1CB параллелограмм (по признаку параллелограмма). Значит, так как в четырёхугольной фигуре на плоскости диагонали пересекаются в одной точке, при этом делятся ею пополам, то и все диагонали параллелепипеда А1С1, С1А и D1В, DB1 будут пересекаться в этой точке.

Доказательство можно построить и следующим образом. Для любой пары противолежащих граней фигуры справедливо, что их соответствующие углы будут одинаковы, а значит A1ADD1 = B1BCC1 и их плоскости параллельны. Учитывая параллельность отрезков AB — DC и D1C1 — DC, верно будет утверждать, что AB не пересекает D1C1.

Если между AB и D1C1 провести плоскость, то AD и BC будут параллельны друг другу. Отрезки AC1 и BD1, так как являются диагоналями параллелепипеда, должны в ней делиться пополам. Для примера можно рассмотреть диагональ AC1 и A1C. Они будут диагоналями параллелограмма AA1C1C. Поэтому A1C пересекает AC1 в середине. Значит, три диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. По аналогии можно привести доказательство и для четвёртого отрезка B1D.

Таким образом, можно сформулировать три свойства диагоналей в параллелепипеде:

1. В прямоугольном многоугольнике они пересекаются в одной точке.
2. Диагонали не могут быть параллельными, но при этом равны друг другу.
3. Найти диагональ в прямоугольном параллелепипеде можно по формуле: d = √(a² + b² + c²).

Зная эти свойства, можно приступать к решению задач. При этом стоит знать и сколько диагоналей у параллелепипеда — всего их четыре, а не шестнадцать, как думают, некоторые, прибавляя к четырём диагонали прямоугольников, формирующих объёмную фигуру.

Решение задач

В школе ученикам после рассмотрения теоретического материала учитель обычно предлагает для закрепления знаний решить несколько задач. Самостоятельное решение позволяет усвоить тему и научится применять теорию на практике. Существует набор типовых примеров, решив которые, школьник может переходить к следующим темам. Вот некоторые из них, часто попадающиеся в контрольных работах и тестах:

1. Найти, у какого прямоугольника объём будет больше, если три измерения первого равны: 1, 2, 2, а диагональ второго составляет семь единиц. Так как большая фигура будет иметь длиннее диагональ, то нужно вычислить её значение у первой фигуры и выполнить сравнение. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, то есть d 2 = √ 12 + 22 + 22 = √9 = 3 единицам. Значит, объём первой фигуры будет меньше чем второй на четыре единицы.
2. В прямоугольном параллелепипеде грань AA1 равняется 150 сантиметров, а отрезок AB = 2√9 метров. Найти диагональ фигуры. В первую очередь необходимо выбрать размерность, так как длины даны в сантиметрах и метрах. Для удобства вычислений можно взять метры. Фигура прямоугольная, значит, грани являются прямоугольниками. Отсюда следует, что обе диагонали одинаковые. Поэтому можно составить равенство: A1D = AD1. Вписанный треугольник A1B1D имеет прямые углы, так как ребро A1B1 перпендикулярно стороне AA1D1D. Опираясь на теорему Пифагора, можно сказать, что гипотенуза B1D, являющаяся диагональю, равна: B1D = √A1B12 + A1D2 = √1,52 + (2√9)2 = √2,25 + 6 = 2,87 метра.
3. Пусть в прямоугольном многограннике два отрезка у основания равны двум и трём сантиметрам, а высота фигуры составляет шесть сантиметров. Найти диагональ. Для удобства можно принять, что AB = 2, AD = 3, AA1 = 6. В прямоугольнике диагональ основания будет равняться BD. Учитывая теорему Пифагора и то, что угол A равняется девяносто градусов, можно составить равенство: BD2 = AB2 + AD2. В треугольнике BB1D, у которого угол B составляет также девяносто градусов, диагональ будет равна сумме квадратов: B1D2 = BD2+BB12. Выполнив подстановку BD2 из первого равенства во второе, можно получить искомое выражение: B1D2 = AB2 + AD2 + BB12 = 22 + 32 + 62 = 49. Значит, длина диагонали в параллелепипеде равна: B1D = √49 = 7 сантиметрам.

Использование онлайн-калькулятора

Конечно же, на обычном калькуляторе не зная формул и свойств прямоугольного параллелепипеда ответ, даже на простую задачу, найти невозможно. Но решить практически любой сложности задание можно на так называемых онлайн-расчётчиках или используя математический онлайн калькулятор.

По сути, это интернет-сайты, предлагающие пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению различных геометрических величин. Для того чтобы их использовать, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой гаджет, поддерживающий работу с веб-обозревателем.

Пользователю, загрузившему сайт с онлайн-калькулятором, можно даже не знать формулы и вообще не понимать, что собой представляет геометрическая фигура. Всё что от него требуется, так это внимательно вести в специальную форму условия задачи и нажать кнопку вычислить. Конечно же, такое решение нельзя назвать самостоятельным. Но использование сайтов подходит идеально для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте.

Тем более, кроме непосредственно автоматического вычисления диагонали объёмного многогранника большинство сервисов содержат на своих страницах краткую теорию, а также примеры с подробным решением типовых заданий.

Из существующих сервисов можно выделить:

1. Geleot. Калькулятор-справочник. Все математические разделы снабжены интерактивными калькуляторами, которые позволяют быстро и в автоматическом режиме проводить расчёты.
2. Allcalc. Кроме, стандартного доступа через веб-страницу, сайт предлагает своим пользователям скачать приложение для Android OS. На проекте присутствуют авторские калькуляторы с таких сайтов как 4×4.lviv, Papaimama, V-stroim и многих других.
3. Planetcalc. Особенность сайта в том, что для пользователей доступно написание комментариев под любым калькулятором. Это даёт возможность не только совершенствовать процесс, но и обмениваться опытом.
4. Infofaq. На своих страницах содержит довольно подробные теоретические выкладки. На сайте в простой и доступной форме даны общие понятия и выложены основные формулы.

Приведённые онлайн-калькуляторы предлагают универсальные способы решения задач. Они дают возможность разобраться в вычислении примеров и заданий, хорошо закрепить пройденный материал и в дальнейшем без труда справляться не только с домашними, но и контрольными заданиями.