Какой четырехугольник называется ромбом сформулируйте особое свойство ромба

Ромб, его свойства и признаки.

Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.

ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.

Дано: – ромб

и диагонали.

Доказать: .

Доказательство.

Для того, чтобы доказать, что , нам нужно доказать, что хотя бы один из четырёх углов, которые получаются при пересечении диагоналей, равен .

1. Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. .

2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов

, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).

3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.

Дано: – ромб

и диагонали.

Доказать: – биссектриса и

– биссектриса и .

Доказательство.

Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.

1. Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и .

2. Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и , ч.т.д.

ТЕОРЕМА. У ромба высоты равны.

Дано: – ромб

и – высоты.

Доказать:

Доказательство.

Рассмотрим и .

по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

Итак, ромб обладает следующими свойствами:

У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.

Теперь определим признаки ромба.

ТЕОРЕМА (I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Дано: – параллелограмм

Доказать: – ромб.

Доказательство.

Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.

– ромб (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.

Дано: – параллелограмм

Доказать: – ромб.

Доказательство.

Рассмотрим .

по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).

– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Дано: – параллелограмм

– диагональ

– биссектриса

Доказать: – ромб.

Доказательство.

Так как – биссектриса , то .

по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Дано: – параллелограмм

и – высоты

Доказать: – ромб.

Доказательство.

Рассмотрим и .

по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – ромб.

Доказательство.

Проведём диагональ и рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Значит, по признаку параллельности прямых, и , следовательно, – параллелограмм, у которого все стороны равны, значит, он является ромбом, ч.т.д.

Итак, признаки ромба:

Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен , а длина меньшей диагонали равна см.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
Из вершины ромба проведены перпендикуляры и к прямым и . Докажите, что луч является биссектрисой .
Сторона ромба равна см, . Из вершины проведены высоты и к сторонам и соответственно. Найдите расстояния . Докажите, что треугольник равносторонний.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Найдите углы ромба.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
Точки – середины сторон ромба . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.
В ромбе точки – середины его сторон. Докажите, что точки лежат на одной прямой с серединами отрезков: а) и б) и .
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе биссектриса угла пересекает сторону и диагональ соответственно в точках и . Найдите угол , если .
В ромбе угол равен . Докажите, что если один из углов треугольника равен , то и остальные его углы тоже равны по .
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до прямой равно м. Найдите длину высоты ромба, проведённой к стороне .
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
В ромбе с острым углом , равным , проведена диагональ . Найдите угол .
В ромбе с тупым углом диагонали пересекаются в точке . Один из углов треугольника равен . Найдите остальные углы этого треугольника и угол .
В ромбе . Диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
В ромбе – точка пересечения диагоналей, – перпендикуляры, опущенные на стороны соответственно. Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . На сторонах взяты точки соответственно, . Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе угол тупой. На стороне взята точка . Прямые и пересекаются в точке . Найдите угол .
В ромбе угол острый. Отрезок является перпендикуляром к прямой – точка пересечения диагоналей, а – общая точка прямых и . Найдите .
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Два ромба и имеют общую вершину острого угла, причём, , а лучи и пересекаются в точке – точка пересечения диагоналей ромба – биссектриса треугольника . Докажите, что .
На сторонах ромба взяты точки соответственно. Каждая из прямых параллельная одной из осей симметрии ромба. Диагональ пересекает отрезок в точке , о отрезок – в точке . Докажите, что диагонали четырёхугольника равны, и определите вид выпуклого четырёхугольника .
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Точка лежит на стороне параллелограмма так, что – биссектриса угла . Прямая параллельна и пересекает сторону в точке . Найдите величину угла между прямыми и .
Отрезки – биссектрисы углов параллелограмма . Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и – в точке , при этом . Найдите длину отрезка .
В ромбе диагонали и пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали и ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
На стороне параллелограмма взята точка так, что .

Докажите, что – биссектриса угла .
Найдите периметр параллелограмма, если .

В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .

Докажите, что треугольник равнобедренный.
Найдите сторону , если , а периметр параллелограмма равен .

Один из углов ромба равен . Определите остальные углы.
В ромбе проведена диагональ . Определите вид треугольника и найдите его углы, если .
В ромбе , диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы и , если .
Известно, что четырёхугольник является ромбом. Докажите, что .
Один из углов ромба на больше другого. Найдите углы треугольника , если – точка пересечения диагоналей.
На рисунке – равнобедренный, точки и – середины его боковых сторон, – точка на основании, . Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если см.
В ромбе . Найдите углы треугольника .
Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Найдите острый угол ромба , если высота , проведённая из вершины тупого угла, делит сторону пополам.

На каждой стороне ромба отложены, как показано на рисунке, равные отрезки . Определите вид четырёхугольника . Ответ объясните.
В ромбе из вершины тупого угла проведена высота к стороне , а из вершины тупого угла проведена высота к стороне . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный треугольник вписан ромб , имеющий с ним общий угол. Найдите периметр ромба, если боковая сторона треугольника равна см.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.
Один из углов ромба равен . Найдите угол между меньшей диагональю ромба и его стороной.
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если разность и равна .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если .
Периметр ромба равен , один из его углов . Найдите меньшую диагональ ромба.
Сторона ромба равна см, а острый угол равен . Из вершины тупого угла проведена высота, которая делит сторону на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
Диагональ ромба, лежащая напротив угла , равна . Найдите периметр ромба.

Источник

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a√2 + 2 · cosα

d1 = a√2 – 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a√2 + 2 · cosβ

d2 = a√2 – 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2 – d22

d2 = √4a2 – d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

Урок по теме: «Ромб. Свойства и признаки»

(учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Гудина. «Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений.» Москва: «Просвещение»  1999)

Тип урока: урок изучения нового.

Учебная задача урока:  «открытие» особых свойств и признаков ромба;

 установление отличий в формулировках и доказательствах свойств и признаков ромба от

формулировок и доказательства свойств и признаков параллелограмма и прямоугольника;

Диагностируемые цели урока:

Знает:

определения ромба;
формулировку признаков и свойств ромба;

Умеет:

Выделять ромб среди прочих четырехугольников
Доказывать свойства и признаки ромба
Самостоятельно выстраивать ход доказательства теорем

Понимает:

Отличия ромба от прочих четырехугольников
Принципы доказательства признаков и свойств ромба
Практическую ценность изученного материала

Учебные действия, формируемые на уроке:

Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика.
Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование – определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка – выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, волевая саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, способность к волевому усилию к выбору в ситуации мотивационного конфликта и к преодолению препятствий.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия способов взаимодействия, в том числе совершенствование навыков работы в группе, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение.
Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей, структурирование знаний, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые методы.

Форма работы: фронтальная, групповая.

Средства обучения: традиционные, презентация.

Структура урока (45 мин.):

Мотивационно-ориентировочный этап (2 мин.);
Содержательный этап (40 мин.);
Рефлексивно-оценочный этап (3 мин.).

1й урок

(урок изучения нового)

Сформулируйте определение параллелограмма?

Параллелограмм и прямоугольник.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ученики сразу дают верные ответы, т.к. этот материал изучен ранее.

Сформулируйте определение прямоугольника?

Изобразите на предложенных рисунках свойства параллелограмма и прямоугольника соответственно.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Схема оформляется в процессе перечисления свойств параллелограмма и прямоугольника с целью последующего использования при «открытии» формулировок определения, свойств и признаков ромба.

(I часть доски)

Содержательная часть

Постройте параллелограмм, у которого все стороны равны.

Чтобы в следующий раз не говорить о параллелограмме, у которого все стороны равны, дадим ему название. Что вы можете предложить?

Такой параллелограмм называется ромбом.

Сформулируйте тему урока.

Какова цель сегодняшнего урока?

Сформулировать определение ромба.

Сформулируйте свойства параллелограмма.

Какими свойствами обладает ромб? Почему?

Сформулируйте их.

Ромб.

Изучить новую геометрическую фигуру, установить какими свойствами она обладает; выделить ее признаки.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны.

2. В параллелограмме противоположные углы равны.

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма односторонних углов параллелограмма равна 180.

Теми же, что и параллелограмм. Т.к. ромб является параллелограммом.

Свойства:

1. В ромбе противоположные стороны равны.

2. В ромбе противоположные углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма односторонних углов ромба равна 180.

(II часть)

Учащиеся предлагают различные варианты («правильный параллелограмм», «равносторонний параллелограмм», «особый параллелограмм» и т.д.) после некоторых рассуждений и корректировки ответов учащихся учитель предлагает верный ответ, который является обобщением всех ответов.

Данная схема оформляется в процессе формулирования свойств ромба. Она поможет учащимся в усвоении нового материала и лучшему запоминанию взаимосвязей между четырехугольниками.

Продолжение схемы на I части доски.

Постройте ромб АВСD. Проведите диагонали АС и ВD.

А О С

АВСD – ромб

АС и ВD – диагонали.

Сравните взаимное расположение диагоналей ромба?

Докажите истинность или ложность выдвинутого предположения.

Доказательство:

Определите вид АВD.

Чем является диагональ АС в равнобедренном треугольнике АВD?

Какой вывод следует из выше доказанного?

Подведем итог проведенного доказательства. Что доказано?

Сформулируйте утверждение, которое сейчас обсуждаем.

Определите вид утверждения утверждение?

Сформулируйте это свойство, используя модель формулировки «если, то»

Сформулируйте обратное утверждение.

Докажем это утверждение.

Что дано и что нужно доказать?

А О С

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

Постройте диагонали АС и BD.

Определите вид треугольника АВС

Сравните стороны параллелограмма?

Сделайте вывод из условия о том, что параллелограмме АВСD все стороны равны?

Сформулируйте определение ромба.

А что вы только что доказали?

Сформулируйте доказанное утверждение.

Чем является доказанное утверждение?

А к какому виду теорем оно относится?

Постройте ромб и его диагональ.

Сравните АВD и DВС.

Как называется прямая, которая делит угол пополам?

Какие гипотезы можно выдвинуть?

Мы выдвинули два предположения. Докажем их истинность.

В С

А D

Дано: АВСD ромб.

АС и ВD – диагонали.

Доказать: АС и ВD – биссектрисы.

Доказательство:

Определите вид треугольника АВD?

Каким свойством обладают равнобедренные треугольники?

Какой вывод можно сделать, если известно что АС – диагональ ромба и биссектриса равнобедренного треугольника АВD?

Определите вид треугольника АВС.

Какой вывод можно сделать, если известно что ВD – диагональ ромба и биссектриса равнобедренного треугольника АВC?

Сформулируйте утверждение, которое вы доказывали.

Справедливо ли такое утверждение для другой пары треугольников?

Почему?

Сравните результаты доказательств обоих рассуждений.

Поэтому для удобства доказательства можно применять любую пару треугольников.

Сформулируйте доказанное предположение.

Тогда сделайте вывод, какое утверждение мы доказали. Назовите ее.

Сформулируйте другую гипотезу.

Справедливо ли это утверждение?

Сформулируйте определение биссектрисы треугольника и определение биссектрисы угла ромба

Однако заметим, что утверждение о равенстве углов, разделенных диагональю, является более широким. Поэтому за основную теорему примем именно это утверждение, а утверждение о биссектрисах углов мы будем использовать как следствие из этого свойства.

Дайте название этому свойству.

Сформулируйте свойство еще раз.

Сформулируйте это свойство в условной форме.

Сформулируйте обратное утверждения.

Докажем его истинность.

В С

1 2

А D

Дано: АВСD – параллелограмм;

ВD – диагональ;

1=2.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

Определите вид АВD.

Какой вывод из этого следует?

Подведите итог рассуждению.

Сформулируйте условие теоремы.

Сформулируйте ее посылку.

Сформулируйте ее заключение.

Сформулируйте полностью доказанное утверждение.

К какому виду утверждений оно относится?

Определить вид этой теоремы.

Какие свойства и признаки вы сегодня изучили?

Сформулируйте их.

АВСD – ромб

АС и ВD – диагонали

_________________________

А О C АСВD

Записывается учащимися в

тетрадях как комментарий

D к рисунку

На глаз можно определить, что они перпендикулярны.

Доказательство:

1. АВD – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника), т.к. AB=AD (по определению ромба).

2. АО – медиана и высота равнобедренногоАВD, т.к. АО=ОС, ВО=ОD(по свойству диагоналей ромба).

Диагональ АС перпендикулярна диагонали ВD ромба АВСD.

Мы доказали, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

Диагонали ромба перпендикулярны.

Данный вид формулировки задания относится к теоремам-свойствам.

Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Дано: параллелограмм ABCD, АСBD.

Доказать:ABCD – ромб.

А О С

Доказательство:

1. АВС – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), т.к. ВО –высота и медианаАВС, ( ВО=ОD (по св-ву диагоналей параллелограмма))т.е. АСВD. Следовательно, АВ=ВС (по следствию из определения равнобедренного треугольника).

2. АВ=ВС=СD=АD, т.к.в параллелограмме АВСD АВ=СD, ВС=АD (посвойствупараллелограмма)АВ=ВС (из п.1)



АВСD – ромб (поопределению).

Ромбомназывается параллелограмм, у которого все стороны равны.

Мы доказали, что в параллелограмме АВСD все стороны равны (АВ=ВС=СD=DА). Значит, параллелограмм АВСD является ромбом.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказанное утверждение является теоремой.

Это теорема–признак.

В С

А D

На наш взгляд АВD=DВС.

Луч исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

1. В ромбе углы диагональю делятся пополам.

2. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов.

В С

А D

Дано: АВСD ромб.

АС и ВD – диагонали.

Доказать: АС и ВD – биссектрисы.

Доказательство:

1. АВD– равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника), т.к. AB=AD(по определению ромба).

В равнобедренном треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают.

АО – медиана равнобедренного АВD (по свойству медианы равнобедренного треугольника), т.к. АО=ОС (по свойству диагоналей ромба)



АО – биссектриса равнобедренногоАВD(по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника).

_____________________________________________________________________________



АС – биссектрисаА иС ромба АВСD.

2. АВС – равнобедренный(по определению равнобедренного треугольника), т.к. АВ=ВС (по определению ромба)



ВО биссектрисаВ равнобедренногоАВС (по свойству равнобедренного треугольника), следовательно, ВD – биссектрисаВ иDпараллелограмма АВСD.

В ромбе диагонали и биссектрисы его углов совпадают.

Да справедливо, т.к. ВСD – равнобедренный, т.к. ВС=DВ (по определению ромба). ОС является медианой и высотой равнобедренного ВСD , т.к. ВО=ОD (по свойству диагоналей ромба) и АCВD (по свойству перпендикулярности углов ромба).СО – биссектриса ВСD прямая АС является биссектрисой ромба АВСD.

АDС – равнобедренный, т.к. АD=DC (по определению ромба).

ОD – медиана и высота равнобедренного АDС, т.к. АО=ОС (по свойству диагоналей ромба) и АCВD (по свойству диагоналей ромба перпендикулярности)ОС – биссектриса АDСпрямая АС – биссектриса ромба АВСD.

Доказывая истинность выдвинутых предположений, мы установили, что независимо от выбранной пары треугольников результат доказательства не изменяется.

В ромбе углы делятся диагональю пополам.

Мы доказали свойство ромба о том, что в ромбе углы делятся диагональю пополам.

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов.

Это утверждение справедливо, т.к. биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Значит биссектрисой ромба можно назвать отрезок соединяющий противоположные вершины ромба.

Следовательно, эти два утверждения справедливы и эквивалентны.

Свойства ромба о биссектрисе углов.

В ромбе углы диагоналями делятся пополам.

Если параллелограмм является ромбом, то его углы делятся диагональю пополам.

Если в параллелограмме углы делятся диагональю пополам, то этот параллелограмм является ромбом.

В С

1 2

А D

Дано: АВСD – параллелограмм;

ВD – диагональ;

1=2.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

1. АВD – равнобедренный (попризнакуравнобедренноготреугольника), т.к. АО – медиана (т.к. ВО=ОD по свойству диагоналей параллелограмма),АО – биссектриса (поусловию)

АВ=АD(по следствию из определения равнобедренного треугольника)

2. АВСD– ромб (по определению ромба), т.к. в параллелограмме АВСD АВ=СD, ВС=АD (посвойствусторонпараллелограмма), АВ=AD (из п.1).

Дано: АВС