Какой геометрический свойства параболы
Геометрические свойства параболы
Автор Рябов Александр
Руководитель Авилов Н.И.
Из школьного курса алгебры известно, что парабола – это график квадратичной функции y=ax2+bx+c, где а0. Но исторически раньше появилось её геометрическое определение, которое в школьной программе не отражено. Вот оно: парабола – это геометрическое место точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки F и от данной прямой d.
Покажем, что эти определения равносильны. В самом деле, если ввести прямоугольную систему координат так, как это показано на рисунке, то можно определить координаты произвольной точки M(x,y) параболы, фиксированной точки F(0,d) и основания H(x,-d) перпендикуляра MH к фиксированной прямой x= – d. Найдем длину отрезков MF и MH, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками координатной плоскости: MF=и MH=. По геометрическому определению отрезки MF и MH равны, значит , отсюда после упрощений получим формулу параболы.
Точку F называют фокусом параболы, прямую x= – d называют директрисой параболы. Например, для параболы y=x2 фокусом является точка (0; 0,25), директрисой – прямая x= – 0,25.
Используя это геометрическое определение параболы, нетрудно смастерить устройство, с помощью которого можно чертить параболу. Для этого к вершине острого угла чертёжного треугольника нужно укрепить нить длиной, равной катету. Второй конец нити с помощью кнопки укрепить на бумаге. Ещё понадобиться линейка и карандаш. Зафиксировав положение линейки, заставим другой катет скользить по линейке. Карандаш, прижатый к первому катету так, чтобы нить оставалась в натяжении, будет рисовать параболу. Это отражено на фотографии.
Рассмотрим несколько геометрических свойств параболы.
Свойство 1. На каждую ветвь параболы y=x2 «нанизаны» прямоугольники размером 1×1, 3×1, 5×1, 7×1, и т.д. Это следует из известного равенства 1+3+5+7+ . . . +(2n –1)=n2.
Свойство 2. Если на ось Оу последовательно и плотно «нанизать» квадраты со сторонами 1, 2, 3, . . . n через диагональные вершины, то все остальные вершины этих квадратов принадлежат одной параболе.
Доказать это можно так. Пусть М(х,у) – вершина n-го квадрата. Тогда , . Выразив n из первого равенства и подставив во второе, получим, что . Это значит, что вершины квадратов лежат на параболе .
Свойство 3. Точки параболы с целочисленными абсциссами можно построить следующим образом. В координатной плоскости проведем вертикальные лучи, проходящие через точки с целыми координатами, и выберем один из них, например,
5-ый луч. Отметим на нем точки с целыми координатами.
Построим класс наклонных лучей, выходящих из начала координат и проходящих через целочисленные точки выбранного вертикального луча. Из множества точек пересечения, получившихся при этом, отметим те, которые являются точками пересечения лучей с одинаковыми номерами. Например, точка М – это точка пересечения 4-ого вертикального луча и 4-го наклонного луча. Покажем, что все отмеченные точки лежат на параболе у=x2. В самом деле, каждая точка определяется как точка пересечения двух прямых: наклонной прямой и вертикальной прямой . Поэтому координаты точек пересечения удовлетворяют уравнению у=x2, то есть лежат на параболе.
.
Можно ещё отметить, что здесь на рисунке, кроме точек параболы у=x2, оставшиеся точки пересечения принадлежат семейству парабол, заданных формулой , где . Изображенная на рисунке парабола принадлежит этому семейству парабол при .
Отметим, что построение наклонных лучей можно начинать не только с пятого вертикального луча, а вообще с любого луча, например с -го вертикального луча. Тогда точки пересечения, построенные описанным способом, принадлежат семейству парабол, заданных формулой , где
Свойство 4. На оси Оу выберем какую-либо точку с целочисленной координатой и построим прямые углы с вершинами 1, 2, 3, . . . на оси Ох. Отметим точки пересечения двух соседних лучей: первого со вторым, второго с третьим, третьего с четвертым, . . . и т.д. Оказывается, эти точки лежат на параболе, заданной формулой . На рисунке изображены точки параболы . Эта формула получается из общей при
Свойство 4. Нарисуем концентрические окружности радиусов 1, 2, 3, … и к каждой окружности проведем по две касательные, параллельные друг другу. Точки пересечения этих прямых и окружностей определяют множество парабол.
Точки одной из них изображены на рисунке. В самом деле, рассмотрим рисунок в прямоугольной системе координат. Тогда координаты отмеченных точек связаны системой уравнений , так как каждая точка является точкой пересечения окружности и прямой. Исключая из этой системы R, получим уравнение параболы . Отметим, что точка О является фокусом параболы, прямая является её директрисой.
Интересная картинка получается, если ячейки раскрасить в шахматном порядке. На нем теперь явно просматриваются чередование парабол, нарисованных синими и белыми криволинейными четырехугольниками. Можно показать, что это семейство парабол задается одной формулой , где , причем при n>0 определяются параболы, расположенные ветвями вверх, при n
Свойство 5 ( найденное мною). Вершины четырёхугольника ABCD лежат на параболе y = x2. Если диагонали AC и BD параллельны биссектрисам координатных углов, то сумма абсцисс вершин A, B, C, D равна нулю. В самом деле, прямая AC задается формулой y = – x+a, тогда, учитывая, что точки А и В лежат на параболе, заметим, что абсциссы этих точек удовлетворяют уравнению х2+х – а=0. По теореме Виета х1+х3=–1. Аналогично доказывается, что х2+х4=1. Теперь понятно, что х1+х2+х3+х4=(х1+х3)+(х2+х4)= –1+1=0.
Литература
Журнал «Квант», №2, 1971 г.;
Пидоу Д., Геометрия и искусство, «Мир», М., 1979 г.;
Сергеев И.Н. и др. Зарубежные математические олимпиады, «Наука», М., 1987 г.
Источник
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.
Директориальное свойство параболы
Точка называется фокусом параболы, прямая — директрисой параболы, середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок , соединяющий произвольную точку параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.
Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .
Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:
(3.51)
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).
Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса и уравнение директрисы . Для произвольной точки , принадлежащей параболе, имеем:
где — ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:
Возводим обе части уравнения в квадрат: . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы
т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.
Уравнение параболы в полярной системе координат
Уравнение параболы в полярной системе координат (рис.3.45,в) имеет вид
где — параметр параболы, а — её эксцентриситет.
В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем . Поскольку , получаем уравнение параболы в координатной форме:
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( для эллипса, для параболы, для гиперболы).
Геометрический смысл параметра в уравнении параболы
Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) , получаем , т.е. . Следовательно, параметр — это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.
Фокальным параметром параболы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при получаем , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.
Замечания 3.11.
1. Параметр параболы характеризует её форму. Чем больше , тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).
2. Уравнение (при ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат и каноническая .
3. Уравнение определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).
Уравнение , также определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат и канонические системы координат .
4. График квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при ) или вниз (при ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
которое приводится к каноническому виду , где , при помощи замены и .
Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с и , переименования координатных осей (3.38), а в случае еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.
5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки , принадлежащей параболе, и координаты точки , симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.
Пример 3.22. Изобразить параболу в канонической системе координат . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя в уравнение параболы, получаем . Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: . Координаты фокуса , т.е. . Составляем уравнение директрисы , т.е. .
Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы
1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету , называется:
а) эллипсом, если ;
б) гиперболой, если ;
в) параболой, если .
2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями. Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.
3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке понимается предельное положение секущей , когда точка , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.
Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке является биссектрисой внешнего угла треугольника (а нормаль — биссектрисой внутреннего угла треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника (а нормаль — биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника (а нормаль — биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.
4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы, поясняющие физический смысл термина “фокус”. Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:
– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);
– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);
– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).
5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:
– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы);
– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы.
Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы), сопряженным к этим хордам.
Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).
Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.
Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке можно определить как предельное положение параллельных секущих , когда точки и , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.
6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра притяжения.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Источник
Цели работы:
1)Изучить геометрические свойства параболы
2)Найти применение к решению алгебраических, геометрических, и физических задач.
Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых и использовались ими для описания различных природных явлений от траектории брошенного камня до орбит космических тел. В школьном курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим свойствам, возрастанию, убыванию и т. п. Геометрические же свойства кривых остаются в стороне.
В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.
Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.
Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, уголь¬ник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикре¬пим один конец нити к фокусу, а другой – к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие каса¬лось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натяну¬той. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.
Осью параболы называется прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе.
Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.
Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпен-дикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом параболы, и расстояние до некоторой фиксированной прямой той же плоскости, называемой директрисой параболы, равны.
Отрезок, соединяющий точку параболы с фокусом, называется фокальным радиусом точки праболы.
Если парабола описывается каноническим уравнением y 2 = 2 px, то её фокус — точка F(p/2, 0), а директиса описывается уравнением x = − p/2:
Применение параболы в физике, технике
Пусть мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10м/с. Тогда высота h (в м), на которой находится мяч, есть квадратичная функция времени полота t (в с). Если считать, что g =10 м/ , то функцию h= f(t) можно описать формулой h= 1,5+10t-5 . График этой функции – часть параболы, изображенной на рисунке 2.5. По графику видно, что мяч взлетел примерно на 6.5 м и после двух секунд полета упал на землю.
- Связь с космическим миромТраектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (нейтронной звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).
Применение параболы в физике, технике, баллистике
Можно привести немало примеров применения квадратичной функции, из которых главный известный из учебника физики — уравнение пути s равномерно-переменного движения с начальной скоростью v, ускорением а и путем, пройденным до начала отсчета b :
S=2at2+vt+b.
Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха какого либо объекта (мяча, артиллерийского снаряда) соответствует параболе.
Траектория полета баскетбольного мяча 
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0_(%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0)
https://sys-tema.ru/index.jsp?pk=Postroenie-paraboly
https://prosto-obo-vsem.ru/tag/modeli-iz-bumagi/
https://www.cross-kpk.ru/ims/00908/file/temi/2-go%20por/Files/Istoria%20primen.htm
Источник