Какой математический символ обязательно содержится в иррациональном

Числа Фибоначчи в Европе популяризовал Леонардо Пизанский (по прозвищу Фибоначчи – сын Боначчи), в задаче о кроликах:

Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов (самку и самца) в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения.

Оказывается, число кроликов по месяцам описывается последовательностью

1, 2, 3, 5, 8, 13,…

В ней каждое число равно сумме двух предыдущих. Условия задачи все равно нереалистичны, так что можно не стесняться: предположить, что кролики бессмертны, и продолжить последовательность до бесконечности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, ….

Есть свидетельства, что последовательность задолго до Леонардо была известна в Индии, и что в честь Фибоначчи ее назвал Эдуард Люка.

Про экспоненциальный рост

Как мы видим, последовательность очень быстро растет (экспоненциально, как последовательность степеней). Примерно как 1, 2, 4, 8, 16, 32, … или 1, 10, 100, 1000, … (тоже экспоненциальный рост.) Экспоненциальный рост вообще встречается в природе и в приложениях: так растут популяции, капиталы в банке, число радиоактивных атомов и число зерен на шахматной доске (Вы же помните легенду про жадного султана и бедного изобретателя шахмат ;))

В природе экспоненциальный рост имеет место лишь приблизительно и только в некоторых пределах.

Красивые фотографии

Последовательности в природе, напоминающие Фибоначчи, тоже похожи на Фибоначчи только приблизительно и в некоторых пределах. Широко известны примеры из мира растений: семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса. Видимо, здесь задействован один механизм (я скопировала первую попавшуюся картинку из интернета):

Отчасти популярность чисел Фибоначчи связана с такими красивыми картинками. В интернете их полным-полно.

А вот скажем, закон радиоактивного распада не менее поразителен, история его открытия драматична, человечество поставило его себе на службу… но он не так популярен в СМИ. Нет для него таких красивых картинок, да и описывается он дифференциальным уравнением, а любителей дифференциальных уравнений меньше, чем любителей красивых картинок.

В математике

В математике бывают объекты, которые задаются очень просто, но показывают удивительно сложные и многогранные связи между своими компонентами. Например: треугольник в планиметрии, конические сечения, треугольник Паскаля, простые числа, … Они завораживают нас как картинки в калейдоскопе. Чуть повернешь – и открываются новые узоры, новые свойства. Числа Фибоначчи –один из таких объектов. Каждый математик на пути в науку их обязательно встречал.

Чтобы перечислить все их удивительные свойства, нужна отдельная книга (и кстати, выходит журнал с таким названием, посвященный одним только числам Фибоначчи). Скажу только, что отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему приближает золотое сечение, и чем числа больше, тем приближение лучше.

Почему же математики выделили числа Фибоначчи в отдельную группу чисел

Потому что любят все классифицировать и раскладывать по полочкам. Раз есть объект – надо дать ему название. На сайте https://oeis.org/A000045 , где собраны большинство последовательностей чисел, встречающихся в математике, последовательность Фибоначчи идет под номером 45. Она вовсе не такая уж исключительная, кроме неё на этом сайте собрано около трети миллиона последовательностей. Каждая из них тоже представляет собой «отдельную группу чисел».

Специалист по теории чисел Леопольд Кронекер считал, что только одна из них создана Богом (и это вовсе не последовательность Фибоначчи, а другая, на сайте ее номер 27), а остальные – дело рук человеческих.

В целом журналисты несколько преувеличивают значимость чисел Фибоначчи: они, безусловно, прекрасны, но стоят в одном ряду с многими другими не менее прекрасными и полезными математическими объектами.

Ответ – да, но с небольшой поправкой – такое число уже, строго говоря, называется не целым ℤ, а гиперцелым *ℤ. Гиперцелые числа *ℤ являются подмножеством гипервещественных чисел *ℝ и изучаются в нестандартном математическом анализе.

Арифметические операции для чисел в такой форме можно определить как предел соответствующих операций для конечных чисел. И несложно показать, что такой предел всегда существует. Действительно, числам вида a₀a₁a₂… и b₀b₁b₂ можно сопоставить бесконечные десятичные дроби  a₀,a₁a₂ и b₀,b₁b₂. Сумма таких дробей – всегда есть бесконечная десятичная дробь с₀,c₁c₂. Тогда и суммой  a₀a₁a₂ + b₀b₁b₂ будет являться с₀c₁c₂. Аналогично для остальных операций. Например, возьмем a = 52525252… и b = 501501501…, тогда a + b =1026754026754…

В математической практике, однако, компоненты множества *ℤ обычно записывают не как a₀a₁a₂…, а в виде множества (a₀, a₁, a₂, …) (где a₀, a₁, … – любые целые числа, не только однозначные), а арифметические операции общепринято делать покомпонентно:  (a₀, a₁, a₂, …) + (b₀, b₁, b₂, …) = (a₀ + b₀, a₁+b₁, a₂+b₂, …). 

Такие представления чисел редко приносят что-то принципиально полезное, но позволяют по другому взглянуть на некоторые математические конструкции. Например, интеграл можно определить через значения функции в точках a, a + dx, a + 2dx, …, a + ndx, где n – элемент множества *ℤ, a dx – бесконечно малая величина (то есть, обратная к бесконечно большой).